靜立人群與板聯合系統動力學特性研究

韓慧璇， 周　叮， 劉偉慶

(南京工業大學 土木工程學院，南京　211816)

靜立人群與板聯合系統動力學特性研究

韓慧璇， 周叮， 劉偉慶

(南京工業大學 土木工程學院，南京211816)

采用能量法研究靜立人群與板聯合系統的動力學特性。使用具有分布質量、阻尼和剛度的非均質彈性直桿模擬靜立人體，利用第一類切比雪夫多項式構造板的試函數，結合拉格朗日方程建立人-板聯合系統振動微分方程，分析了人-板系統的動力學特征，詳細研究了人的位置以及人板質量比對人-板系統動力特性的影響。分析表明：彈性人體模型比附加質量模型更科學合理，人群位于板動力變形較大處時對系統動力特性的影響尤為顯著。

人-板聯合系統；人體模型；振動微分方程；動力特性

隨著城市建設的迅猛發展和輕質高強建筑材料的應用，涌現了大批造型獨特、結構新穎的大跨公用建筑諸如大型車站、體育場館等。這些大跨結構大都具有自振頻率低和人群密度大等特點，結構很容易被駐留人群的活動所激振，使得人群的舒適度降低[1]，嚴重的甚至會導致結構損壞和人群擁擠踐踏，這類結構與人的相互作用問題引起了人們的廣泛關注。

人與結構相互作用問題的研究包括兩個方面[2]：結構動力學和人體生物動力學。目前，國內外學者對其研究主要包括三類：① 人的運動引起的激振力；② 人的駐留導致結構動力特性的改變；③ 靜止和運動人體模型的建立。早期研究通常將駐留人群荷載看作靜載，考慮為結構上的附加質量，認為人群會降低結構的頻率，而不改變結構的阻尼。Lenzing[3]通過對木板的動力測試發現，當人駐留在板上時，系統的自然頻率沒有減小，反而略有增加，且結構的阻尼顯著增加。Ellis等[4]測試Twickenham露天體育館看臺發現，人群駐留時，系統的動力特性增加了一個主要模態。使用傳統的附加質量模型不能解釋這些現象，需要將人體表征為附加于結構上的一個動力學系統。Matsumoto等[5-6]等研究并建立了不同的人體動力簡化模型，通過測試60位站立人體的基頻和阻尼比來驗證其人體模型。Sachse[7]將結構和人群分別簡化為單自由度體系，建立了有阻尼的人群-結構相互作用模型，但這種簡化方法沒有考慮人群與結構二階以上振型的相互作用。孫利民等[8]對人行橋人致豎向和側向振動方面進行研究，建立了同步調自激側向力模型，將同步調步行力等效為大小與振幅相關的附加剛度和阻尼。Zhou[9]將人群簡化成具有分布質量的單自由度質量-彈簧系統，忽略人體和結構的阻尼，研究了人群駐留對板動力特性的影響。

目前，對于人與結構相互作用的研究主要是人-梁系統[10]，而關于人-板系統的研究相對較少，且大多是只考慮樓板的一階模態并忽略人、板阻尼的影響[11]。本文利用生物力學知識，采用具有分布質量、剛度和阻尼的人體彈性模型。用切比雪夫多項式構造板的試函數，與能量法相結合，利用拉格朗日方程建立了人-板相互作用動力學模型，分析了人-板的動力學特征。

1　矩形薄板的振動分析

1.1矩形薄板的試函數

為了數學公式的方便簡潔，引入兩個無量綱參數：

α=2x/a，β=2y/b

(1)

式中，a和b分別為矩形板的長和寬，矩形板在豎直方向上的位移w為[12]：

(2)

式中，Wkl(α,β)為薄板的試函數，Akl(t)為其幅值坐標。

分別利用第一類切比雪夫多項式和簡單多項式構造矩形薄板的試函數：

(3)

Ps(χ)=cos[(s-1)arccos(χ)]，s=1,2,3,…

(4)

表1　矩形薄板不同邊界條件下的邊界函數分量

注：F：自由邊； S：簡支邊； C：固支邊

使用切比雪夫構造試函數有兩個顯著優勢：① 切比雪夫多項式可用統一的三角余弦函數表示，便于公式的推導和程序的編制；②Ps(χ)(s=1,2,3,…)在[-1,1]區間內是完備的正交級數，在所有多項式級數中，切比雪夫多項式的數值穩定和收斂性最好，可保證計算的魯棒性和高精度。圖1給出了前六項切比雪夫多項式的曲線圖。

圖1　前六項切比雪夫多項式Fig. 1 The first six Chebyshev polynomials

1.2矩形薄板的自振頻率和振型

板作自由振動時，令：

Akl(t)=Bklsin(ωt+φ)

(5)

式中，Bkl(k,l=1,2,3,…)是待定系數，ω為結構的固有頻率，φ為相位角。

板的最大勢能和最大動能分別為：

(6)

(7)

能量函數定義為：

=Umax-Tmax

(8)

對式(2)做截斷，由瑞利-李茲法得：

?/?Bkl=0,

(k=1,2,3,…,p;l=1,2,3,…,q)

(9)

將式(2)～(8)代入式(9)中，得頻率方程：

(k=1,2,3,…,p;l=1,2,3…,q)

(10)

式中：

λ2=ρhω2a4/(16D),γ=a/b,

(11)

式中，I=p×q。

取長寬比γ=1，泊松比μ=0.2。分別使用兩種多項式構造四邊固支矩形板的試函數，無量綱固有頻率的收斂性見表2。由表2可知，當試函數項數小于等于10時，切比雪夫多項式與簡單多項式的計算結果相同；當試函數項數大于等于12時，簡單多項式作試函數得到的矩陣方程呈病態，無法給出正確結果，而切比雪夫多項式的計算結果不單精確而且穩定，表明在求解高階模態頻率時，切比雪夫多項式的魯棒性顯著優于簡單多項式。

表2　使用切比雪夫多項式和簡單多項式作試函數的四邊固支矩形板頻率系數收斂性的比較

注：C表示切比雪夫多項式；S表示簡單多項式。

2　人體的模態參數

為研究人-矩形板聯合體系的動力特性，現根據生物力學知識,定義人體的模態參數、頻率和阻尼比的參數值。

2.1人體的模態函數φH(x)的確定

生物力學研究常用分段的連續彈性直桿近似模擬人體，本文采用的是簡單的兩段彈性直桿模型[13]，設每段直桿的質量均布，沿豎直方向的剛度也均布，如圖2所示。

每段直桿的軸向振動微分方程為

(12)

式中，mi和ki為每段桿件的單位長度的質量和軸向剛度。

令式(12)的解為：

ui(x,t)=Zsin(ωHt+φi)φi(x),i=1,2

(13)

圖2　人體豎直方向的振動模型Fig.2 The model of a body vibrating in vertical direction

式中，ωH為人體的振動頻率，φi為相位角，φi(x)為模態函數，Z為振幅。考慮人體腳部固定，頭頂自由，并利用上下兩段直桿連接處變形和受力的協調條件，得人體的振型函數為：

φ1(x1)=Dsinb1x10≤x1≤L1

φ2(x2)=D(sinb1L1cosb2x2+

(14)

從而得到人體垂直振動頻率的超越方程為：

(15)

進而得到人體總質量MT、人體與結構聯合質量MHS、人體模態質量MH的表達式：

(16a)

(16b)

(16c)

生物研究水平的局限性使人體均布質量和剛度很難精確獲取，因此根據已有研究[13]，取L1=L2，m2=2m1，k2=2k1，得廣義人體的等效質量為：MHS=0.765 9MT，MH=0.666 7MT。

2.2人體的平均頻率ωH和阻尼比ξH的確定

人體在垂直方向的固有振動基頻在4 Hz～6 Hz，阻尼比在40%～50%。根據Wei等[6]對60個站立人體的基頻和阻尼比的測量的數學平均，得人體的基頻ωH為5.5 Hz，阻尼比ξH為0.42。

3　人-板聯合系統動力學模型

人-矩形板聯合動力模型如圖3所示。假設有J人靜立在矩形板上，每個人距板中心的坐標位置為(αj,βj)(j=1,2,…,J)處。m(z)、k(z)、c(z)分別為廣義人體模型的平均分布質量、分布剛度、分布阻尼，坐標z表示人體部位到腳部的距離，L為人體高度，c(α，β)為矩形板的阻尼分布。

僅考慮人體的基階模態，第j個人體的豎向位移wHj(α,β,t)為：

wHj(α,β,t)=w(αj,βj,t)+wRj(z,t)=

w(αj,βj,t)+wHRj(t)φH(z)=

(17)

式中，wRj(z,t)為第j人相對于矩形板的豎向位移，w(αj,βj,t)為(αj,βj)處矩形板的位移，φH(z)為廣義人體的基階振型函數。

圖3　人-矩形板聯合系統模型Fig.3 The model of human-plate coupled system

人-矩形薄板聯合系統的勢能為：

(18a)

人-矩形薄板聯合系統的動能為：

人-矩形薄板聯合系統的阻尼耗能為：

(18c)

拉格朗日方程為：

(i=1,2,…,I)

(j=1,2,…,J)

(19)

將式(18a)～(18c)代入式(19)中，得到人-板聯合系統的I+J階自由振動微分方程：

式中:{X(t)}=[Y1(t),Y2(t),…,YI(t),wHR1,wHR2,…,wHRJ]T

引入如下參數：

考慮板模態的正交性，則式(20)中的廣義質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣分別為：

復模態分析法分析該振動方程，求出聯合系統前I+J階的復特征根λr和復特征向量{ψ}r。聯合系統的前I+J階頻率fr和阻尼比ξr分別為:

r=1,2,…,I+J

(21)

4　收斂性及精度驗證

為驗證本文所建立的人-板聯合系統模型的精度和準確性，對靜立人群與四邊固支混凝土方板聯合系統的前四階模態頻率和阻尼比的收斂性進行數值計算，計算參數為：板的平面尺寸a×b=11 m×11 m，厚度h=0.15 m。混凝土強度等級C30，密度ρ=2 400 kg/m3，泊松比μ=0.2，楊氏模量E=30×109N/ m2。取人體的平均質量MT=70 kg，基階模態質量46.669 kg，人體與結構聯合質量MHS=53.613 kg，平均基頻ωH=5.5 Hz，平均阻尼比ξH=0.42[6,14]，下面的研究著重于人體對結構固有頻率和阻尼的影響。

表3給出了人與板質量比ν分別為0.1、0.4和1.0時，不同項數切比雪夫多項式下該聯合系統前三階的固有頻率和阻尼比。由表3可知，結果隨所取多項式項數的增加而迅速收斂。當Ps(χ)取10×10項時，可保證前三階頻率和阻尼比具有5位數的精度，因此后續計算均取10×10項切比雪夫多項式。

為驗證本文人-板聯合系統模型的正確性，用Sap2000有限元軟件數值模擬靜立人群與四邊固支混凝土方板聯合系統的前三階頻率。取人體的間隙為0.5m，人群沿板中心四周對稱均勻分布，使用線性連接單元模擬人體的剛度KH，使用帶重量的黏滯阻尼器模擬人體的阻尼CH以及人體與結構的耦合質量MHS-MH，結果如表4所示。從表中看出，人-板1階頻率隨人板質量比的增加而增大，當人與板質量比為1.0時，1階頻率增大了12.306%； 但2階和3階頻率均隨人數的增加而逐漸減小，且與1階頻率相比，后兩階的變化幅度顯著降低，即高階頻率對人數的變化敏感性下降。人-板前3階頻率的理論解與有限元解吻合較好，其最大誤差為4.9603%，不超過5%，證明了本文方法的正確性。

表4　有限元和本文結果的比較

5　人對矩形薄板動力特性的影響

對于有人駐留的結構，人體主要對結構的低階模態有較大影響。本文對上節中的矩形薄板進行人體參數化分析，計算了人-矩形薄板聯合系統的前三階模態頻率和阻尼比，并將其與空板的模態頻率和阻尼比進行比較，空板的前三階無阻尼固有頻率為：f11=7.395 7 Hz，f12=15.083 9 Hz，f22=22.240 7 Hz。設前三階結構的阻尼比均為1%。

5.1單人對四邊固支方板動力特性的影響

讓單個人體的位置從板中心(0，0)變化到板端。圖(4a)～(4f)分別給出了單人-固支方板聯合系統以板振動為主的前三階模態頻率和阻尼比與所在位置的關系曲線。

由圖(4a)～(4f)可知，聯合系統的前三階模態頻率和阻尼比與人的位置相關,當人位于板動力變形較小處(板邊附近)時，人-板聯合系統的模態頻率和阻尼比基本等于該空板的前三階固有頻率和阻尼比。隨著人向板動力變形最大處(板中心)靠近，系統的第一階模態頻率逐漸減小，當人到達板中心時頻率值最小；而第一階模態阻尼比的變化趨勢與第一階模態頻率的變化趨勢相反。

對于其他邊界條件的矩形薄板，諸如三邊自由一邊固定的懸臂板也作了計算，可得到與四邊固支板同樣的結論：人體站立于板動力變形較大處(懸臂板邊緣)時的影響顯著，限于篇幅，這里不再綴述。

5.2人與板質量比對方板動力特性的影響

由上節的模擬結果可知，當單個人位于四邊固支薄板中心附近時，薄板的動力特性變化顯著，下面考慮人群沿板的中心四周對稱均勻分布，人體的間隙均為0.5 m。圖(5a)～(5f)分別給出了不同邊界條件下人-板聯合系統以板振動為主的前三階模態頻率和阻尼比與人-板質量比的關系曲線，圖5同時給出了傳統的人體附加質量模型對頻率和阻尼比的影響以及懸臂方板的計算結果。

由圖(5a)～(5f)可知，使用傳統的附加質量人體模型，人數的增加只降低人-固支方板聯合系統的前三階頻率，而系統的阻尼比不變，這明顯與Lenzing[3]的實驗結果不一致。使用本文的人體模型，人-固支方板聯合系統前三階的模態頻率和阻尼比均與人數相關。當人群沿板中心(固支板動力變形最大處)四周均勻對稱布置時，隨著人數的增加，系統第一階頻率逐漸增大，而第二階頻率和第三階頻率逐漸減小，系統前三階模態的阻尼比均隨人數的增加而增大，當人數增加到一定量后，人-板質量比對系統動力特性的影響趨于穩定。對于懸臂板，人群分布越靠近懸臂(懸臂板動力變形最大處)端，對系統動力學特性的影響越大。

(a) 第一階頻率圖(b) 第一階阻尼比圖(c) 第二階頻率圖

(d) 第二階阻尼比圖(e) 第三階頻率圖(f) 第三階阻尼比圖圖4 單人位置變化對人-板聯合系統的動力特性的影響Fig.4Thepositioneffectofsinglehumanonthedynamiccharacteristicsofhuman-platesystem

(a) 第一階頻率圖(b) 第一階阻尼比圖(c) 第二階頻率圖

(d) 第二階阻尼比圖(e) 第三階頻率圖(f) 第三階阻尼比圖圖5 人與板的質量比變化對人-板聯合系統的動力特性的影響Fig.5Theeffectoftheratioofhumantostructureondynamiccharacteristicsofhuman-platesystem

6　結　論

本文采用具有分布質量、阻尼和剛度的非均質彈性直桿的人體模型，建立了人-矩形薄板聯合系統的動力學分析模型，研究了人-板聯合體系的動力特性，主要結論如下：

(1) 使用切比雪夫多項式構造矩形薄板的試函數優勢顯著，數值計算的收斂性好、精度高，優良的魯棒性保證了結構高階動力學特性的計算有效性。

(2) 將人體作為一個彈性體系附加到結構上比傳統的將人體考慮為靜態的附加質量更為科學合理，減小了由于人體模型建立不夠準確帶來的誤差。

(3) 人群對板振動特性的影響與人-板質量比呈正比，人群位置靠近板動力變形較大處時對系統動力學特性的影響尤為顯著。

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Dynamic characteristics of a standing crowd-plate coupled system

HAN Hui-xuan, ZHOU Ding, LIU Wei-qing

(College of Civil Engineering, Nanjing Tech University, Nanjing 211816, China)

The dynamic characteristics of a standing crowd-plate system were studied adopting the energy method.The coupled model of the crowd-plate system was developed taking the standing human body as an elastic non-uniform column with distributed mass, damping and stiffness. The first kind of Chebyshev polynomials was applied to construct the trial functions for the plate. The governing vibration differential equations of the crowd-plate coupled system were derived using Lagrange equation. The effects of mass ratio of crowd to plate and position of human occupants on the dynamic properties of the crowd-plate system were investigated in detail. The results showed that regarding a crowd as an elastic model added to the plate is more scientific and rational compared with an added mass model; the influence of the crowd on the dynamic characteristics of the crowd-plate coupled system is much more significant when the crowd locates at the positions of the plate with larger dynamic deformations.

crowd-plate coupled system; human-body model; dynamic differential equations;f dynamic characteristic

10.13465/j.cnki.jvs.2016.13.030

國家自然科學基金(11372127)；江蘇省屬高校自然科學研究重大項目(12KJA580002)；江蘇省研究生科研目創新計劃項(KYZZ15_0232)資助

2015-04-27修改稿收到日期：2015-07-22

韓慧璇 女，博士生，1991年2月生

周叮 男，博士，博士生導師，1957年5月生

E-mail:dingzhou57@yahoo.com

TU311.3

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