數形結合的思想在高中數學課堂中的實施

代德全 盤如春

【摘要】中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分，數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合.一方面，借助于圖形的性質可以將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示.另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，以獲得精確的結論.筆者從事高中數學教學多年，下面就談談我對數形結合思想的一些見解.

【關鍵詞】數形結合；高中教學；實例應用

【基金項目】本文為重慶市教育學會第八屆（2015-2017年）基礎教育科研立項課題（重點課題）“高中數學教學中問題呈現的直觀化對學生思維的影響”（課題批準號：XH2015A15）系列論文之一.

一、“數形結合”思想方法概述

（一）數形結合思想方法

中學數學研究的對象是現實世界的數量關系（數）和空間形式（形），數是數量關系的體現，而形則是空間形式的體現.“數”與“形”常依一定的條件相互聯系，抽象的數量關系有形象和直觀的幾何意義，而直觀的圖形性質也常用數量關系加以精確描述.那么“數形結合”就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，著名數學家華羅庚說過：“數與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休，切莫忘幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離.”這首小詩形象、生動、深刻的指明了數形結合的價值，也揭示了數形結合的本質.

（二）數形結合思想的價值

數形結合這種思維方法的應用，有助于我們解決許多問題，同時加深我們對數學問題本質的認識，使數學更具有創造性.

通過數形結合，首先是我們對幾何圖形性質的討論更廣泛、更深入了，研究的對象也更寬泛，方法更一般化了.其次是為代數問題提供了幾何直觀.由于代數借用了幾何的術語，運用了與幾何類比而獲得新的生命力，如線性代數正是借用了幾何學中的空間、線性等概念，用類比的方法把自己充實起來而迅速發展的.代數方法便于精細計算，幾何圖形直觀形象，數形結合、相互促進，使我們加深了對數量關系與空間形式的認識.數形結合把點與數、曲線與方程之間建立一一對應的思考方法，啟發我們將方程視為點，把某類函數的全體視作空間.形成了一種聯想的思維方式，拓展了我們思維的廣度與深度.

（三）“數形結合”思想方法在中學教學中的地位

1.從新課程對“四基”的要求來看數形結合思想

四基是基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.教師應幫助學生領會數學思想方法、掌握知識與技能，積累經驗.數學知識之間是相互聯系的，數學核心概念、基本思想始終貫穿于中學教學.由于數學高度抽象性，新課標把數形結合思想作為中學數學的重要思想.

2.從新課標對思維能力的要求來看數形結合思想

數形結合思想能幫助學生思維意識的提升.通過數形有機結合，把形象思維與抽象思維有機地結合，讓學生抽象思維具體化，初步形成辯證思維能力，同時幫助學生多角度、多層次思考問題.

3.從新課標數學內容的特點來看數形結合思想

數學過于抽象、過于形式化、過于符號化給人產生遙遠的距離感.再加上它曲折奧妙的邏輯推理造成學生認知上的特殊難度.可是通過數形結合思想可以形象直觀的揭示問題的本質，減輕學習的負擔，引發學生對數學的興趣.

4.從教與學的現狀來看數形結合思想

數形結合思想方法已深入中學解題功能，但在實際教育中還未真正落實到位，主要表現在數形結合思想方法的教育目標不夠明確，課堂教學隨意性，盲目性大，而計劃性、系統性、有序性、層次性、過程性則顯得不足.造成學生用數形結合思想方法來分析解決問題能力太差.因此，在教學中如何充分發揮數形結合思想的作用，重視數形結合方法的運用，是一個值得研究的課題.

二、數形結合在高中數學教學中的體現

在高中數學教材中，許多數式與方程都有幾何意義，許多圖形又都可以用數式與方程表示，這種對應關系是相互聯系密不可分的.如：

（1）實數對（a，b）與平面內的點（a，b）對應.

（2）方程y=kx+b的幾何意義是直角坐標平面上的一條直線，其中數k的幾何意義是斜率，即直線傾斜角的正切值；數b的幾何意義是直線在y軸上的截距.

（3）函數與圖像的對應關系：如：二次函數對應拋物線；三角函數對應正弦曲線等等.

三、部分案例分析

（一）利用數形結合思想解決最值、值域問題

利用數形結合思想有時可以解決一些比較復雜的最值和值域問題.特別是一些三角函數的題目.

應用數形結合解題時要注意以下兩點：其一數與形轉化的等價性，將復雜的問題轉化成簡單、熟知的數學問題，轉化前后的問題必須是等價的；其二，利用“數”的精確性和“形”的直觀性.總之，要讓學生真正掌握數形結合思想的精髓，必須有雄厚的基礎知識和熟練的基本技巧，如果教師只講解幾個典型習題并把學生講懂了，就認為學生領會了數形結合這一思想方法，是片面的.教師要有做好長期滲透的思想，平時要求學生認真上好每一堂課，學好新教材的系統知識，掌握各種函數的圖像特點，理解各種幾何圖形的性質.

【參考文獻】

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