不要讓“過程”成為“過去”

伊秀君

[摘 要]數學教學中，教師應把握學生已有的認知起點，既要巧妙激發學生的學習興趣，為學生搭建探究的平臺，又要引導學生“親歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程”，使學生對所學知識能“知其所以然”，從而積累數學活動經驗，感悟基本的數學思想方法。

[關鍵詞]面積 認知沖突 平行四邊形 束縛 思想方法 計算公式

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）17-018

縱觀眾多的“平行四邊形的面積”教學設計，存在著一個共性問題，即教師對教學過程的定位純粹是為了讓學生推導出平行四邊形的面積計算公式，一旦學生得到結論，“過程”也就成為了“過去”。這樣教學，學生的思維會被束縛，得不到發展。推導平行四邊形的面積計算公式并不是學習的關鍵，也不是這堂課的“結尾”，所以教師不要在公式上徘徊，應通過轉化思想，促使學生能夠自覺地進行學習過程的回顧，實現對所學知識能融會貫通的目的。

一、觀摩過程

我以最近聽到的“平行四邊形的面積”教學片斷以及課后追蹤測試情況為例，說明該課教學中存在的共性問題。

1.教學片斷

師：今天這節課，我們一起來學習平行四邊形的面積計算。（板書課題）

師：我們來當個小小魔術師，做一個“變一變”的小游戲。（出示一個不規則圖形）我們能用學過的面積公式來求出它的面積嗎？能把它轉化成學過的圖形嗎？（生用割補法將不規則圖形轉化為長方形，求出面積）

師：能用同樣的方法，把一個平行四邊形轉化成長方形嗎？（生運用割補法將平行四邊形轉化為長方形并求出面積，最后師生一起推導出平行四邊形的面積計算公式）

2.課后測試

第三天，我出了幾道題目進行課后跟蹤測試（如上表），并進行正確率的統計，發現變式題（2）和拓展題的正確率出乎意料的低。于是我找一些學生進行訪談，他們的回答都是一致的：沒有底和高，怎樣比較面積的大小？

二、回望教學

回顧上述教學過程，既有環環相扣的探究環節，又有熱熱鬧鬧的體驗活動，但學生腦海中留下的卻只有結論性知識，即平行四邊形的面積計算公式。分析其原因，是教學過程中存在著多重束縛。

1.被束縛的引入

在未學習平行四邊形的面積計算公式前，有近三分之二的學生誤用“底邊×鄰邊”來計算平行四邊形的面積。閱讀很多的教學設計，教師往往無視于學生的這一已有認知起點，創設“比較長方形和平行四邊形兩塊地的大小”等情境來引出平行四邊形的面積計算。這樣的引入雖然銜接了新的知識，但情境具有強烈的暗示性，相當于把例題中所蘊含的重要思想方法——轉化提前顯露，導致正式教學例題時，學生會很快地說出“將平行四邊形轉化成長方形”。因此，這樣的教學引入，沒有思考的價值。

2.被束縛的探究

人教版配套教學參考書上寫有一句話“探究平行四邊形的面積計算公式是本課教學的重點”，于是很多教師都把這一探究過程設計得完美無缺，并將探究定位為推導出平行四邊形的面積計算公式，而沒有把公式的推導當作一個具體問題的解決過程，讓學生真切地感受其中隱含的轉化的思想方法。這樣一節課下來，導致學生對豐富的過程性知識如過眼云煙，腦海中留存的只是一些結論性知識，即平行四邊形的面積計算公式。

3.被束縛的應用

公式推導出來之后，很多教師怕學生忘記公式，在計算平行四邊形的面積時都要寫上“S=ah”，或者在總結的時候問這樣一個問題“誰能說一說，要想求平行四邊形的面積就必須知道什么條件”。這樣教學會使學生形成思維定式：只要遇到求平行四邊形面積的問題，就必須找到平行四邊形的底和高；如果找不到底和高，就求不出平行四邊形的面積。所以，在完成前面的練習時，學生的解釋是“沒有底和高，怎么比較面積的大小”，從而導致學生在解題時完全依賴于模仿，思維被公式束縛。

三、重構課堂

基于以上分析，我重新設計了以下教學過程，以期能夠更好地解決教學中存在的問題。

1.引起沖突——將引入解縛

師（出示右圖）：請試著求出這個平行四邊形的面積。 （生嘗試，師巡視，指名用不同方法計算的學生到黑板上板演）

方法（1）：7×4=28（cm）2；方法（2）：（4+7）×2=22 （cm）2；方法（3）：7×5=35（cm）2。

師：這三種方法的答案都不一樣，肯定有方法錯了，我們來分析一下是哪種方法錯了。

生1：老師，第（2）種方法錯了，這種方法是用來求平行四邊形的周長的。

師：平行四邊形的周長在哪？誰能上來指一指？（生上臺指出平行四邊形的周長）

師：看來，方法（2）確實是錯了，我們把它擦掉。那么，方法（1）和方法（3）的答案也不一樣呀，肯定還有一種方法是錯的，那又是哪一種呢？

生2：認為方法（1）和方法（3）錯誤的同學都有，但認為方法（3）對的同學多一些。

……

2.自學知識——將探究解縛

（1）搜索與思辨。

師：你們認為方法（3）是對的，為什么？

生3：因為長方形的面積=長×寬，而平行四邊形能拉成長方形，拉好以后，平行四邊形的一條底邊相當于長方形的長，另一條底邊相當于長方形的寬，所以平行四邊形的面積=底邊×另一條底邊，我可以拉給大家看。（師把一個活動的平行四邊形框架遞給學生，生試拉）

師：另一條底邊我們叫它鄰邊。那么，你們認為平行四邊形的面積=底邊×鄰邊？

生：是的。（這時有更多的學生開始附和）

生4：不對。老師，把平行四邊形拉成長方形后，周長不變，但面積變小了，這個知識點我們在四年級時學過。

師：是嗎？那么，這兩種意見究竟誰對？我們來拉一拉。（師和一名學生操作：把平行四邊形框架拉成長方形，并分別描下這兩個圖形的輪廓，得到右圖）

師：這兩個圖形的面積大小一樣嗎？

生5：不一樣，變大了。把長方形左邊這一塊補到平行四邊形的右邊，即使剛好補滿，長方形還是比平行四邊形多出了上面一小塊，所以面積變大了。

師：說得很好。這說明把平行四邊形拉成長方形，面積變大了，不能用長方形的面積來代替平行四邊形的面積。（多媒體再次演示這一過程）

生6：看來，平行四邊形的面積不能用“底邊×鄰邊”的方法計算，那應該怎么計算呢？

……

（2）驗證與歸納。

師：方法（3）也不對，那么只有方法（1）對了，難道這樣就能證明方法（1）對了嗎？

生7：不行，需要驗證，可以把平行四邊形剪拼成長方形。（生動手剪拼，完成后反饋剪拼的過程）

生8：通過轉化，可以把這個平行四邊形看成是長為7厘米、寬為4厘米的長方形，所以7×4=28（cm）2是對的。

師總結得出：

3.延伸思想——將應用解縛

（1）計算下面各圖形的面積。（單位：cm）

反饋：分別可以把上面兩個平行四邊形看成是怎樣的長方形？

（2）一個平行四邊形的底是4厘米、高是3厘米，面積是多少？動手畫一畫，發現什么？（學生作品如下圖）

師：為什么這幾個平行四邊形的形狀不一，面積都是相等的？

師將所有的平行四邊形弄成同底等高的情況（如下圖），并出示一個長為4厘米、寬為3厘米的長方形，說明這些平行四邊形都可以轉換為這樣一個長方形，所以面積是相等的。

……

在得出平行四邊形的面積計算公式后，教師并沒有在公式的運用上徘徊，而是在練習中滲透轉化思想，都促使學生在解決中自覺地回顧學習過程。這樣教學，學生學到的不僅是一種方法，而是一種思想。重構的教學過程，學生解決問題時不再依賴記憶和模仿，并使學生的思維得到發展。

總之，課堂教學中，教師應尊重學生已有的認知起點，不斷激發學生的學習興趣，引導學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋和應用的過程。同時，教師要引導學生回顧學習過程，促進他們對數學知識本質的理解，達到活學、活用的目的。

（責編 杜 華）