極限思想在初等數學中的應用

馬天祥

【摘要】本文從教材內容、習題解答兩方面論述了極限思想在初等數學中的應用，從而得到加強極限思想在學習實踐中的應用具有重要的意義.

【關鍵詞】極限思想；教材內容；習題解答；應用

極限是微積分學的奠基概念之一，微積分中很多概念如導數、定積分等都是由極限來定義的，另外通過極限概念的學習還要掌握、應用極限思想.用極限的思想方法分析問題、解決問題時，先構造一個與未知量有關的變量，確認這個變量通過無限過程的結果就是所求的未知量，最后用極限計算求出未知量.人教版教材中沒有給出極限的嚴格定義，但無論是教材內容還是習題解答都大量地應用著極限思想.

一、在教材中的應用

人教版教材內容沒有按邏輯關系先學習極限，而是跳過了難理解的極限概念，直接用極限思想給出了導數、定積分的定義.至于導數，教材是通過討論氣球膨脹、切線斜率等歸納引入定義的.在定義中把符號“lim”作為瞬間變化率的記法來處理的，并稱它為極限.雖然沒用極限來定義導數，但整個導數定義都蘊含著極限思想.以求切線斜率為例：為了求函數y=f（x）圖像上在點（x0，f（x0））處切線斜率這一未知量，先找到割線斜率Δy[]Δx，當Δx無限趨近于0時，割線斜率Δy[]Δx就趨近于切線斜率.用數學語言表達為：limΔx→0Δy[]Δx=limΔx→0

個小區間上任取的一點.

二、習題解答中的應用

解答中學數學一些難度較大的習題時也可以借助極限思想，達到事半功倍的效果.下面就函數、解析幾何、不等式證明、數列、立體幾何五方面來說明極限思想在解題中的應用.

1.在函數中的應用

在處理有關函數問題時，應用極限思想，通過考查取值范圍內的極端值，可以簡化題目，排除錯誤選項，得到正確答案.

例1 已知0

A.loga（xy）<0 B.0

C.12

分析 當

x→a時，則y→a，此時xy→a2，從而

loga（xy）→2，所以排除A和B.當y→0時，則x→0，此時

xy→0，又因為0

2.在解析幾何中的應用

在解析幾何中，應用極限思想對條件的某種極限狀況進行分析，再將問題從極限狀況轉化到一般情況，使復雜問題變得簡單了.

例2 橢圓x2[]169+y2[]25=1的焦點為F1，F2，點P為橢圓上一動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P的橫坐標的取值范圍是.

分析 當P無限趨近于長軸端點時，∠F1PF2→0，當P點從長軸端點向短軸端點移動時，∠F1PF2越來越大.已知∠F1PF2可以為鈍角，故一定有一個P0點，∠F1P0F2=π[]2，P越過P0點后，∠F1PF2為鈍角，問題就轉化為求P0點的橫坐標.設P0（x0，y0），因為∠F1P0F2=π[]2，得

|P0F21|+|P0F22|=|F1F2|，即169+144[]169x20=2×144，解得x0=±13[]12199，故填-13[]12199

3.在不等式證明中的應用

在有些不等式證明中，若用極限思想，問題會迎刃而解.

例3 在區間（0，1）上任取x，y，z，求證1[]1-x6+1[]1-y6+1[]1-z6≥3[]1-x2y2z2.

分析 用無窮遞縮等比數列的求和公式，即利用極限思想把不等式左邊化為

1+x6+x12+x18+…+1+y6+y12+y18+…+1+z6+z12+z18+…=3+（x6+y6+z6）+（x12+y12+z12）+（x18+y18+z18）+…≥3+3x2y2z2+3x4y4z4+3x6y6z6+…=3（1+x2y2z2+x4y4z4+x6y6z6+…）=3[]1-x2y2z2.得證.

4.在數列中的應用

在解答數列題時，利用極限思想，考查項數無限增大時數列的特點，可以從整體上認識數列，從而簡化數列問題.

例4 已知數列{xn}中，a1=2，對于任意正整數n，總有an+1=an[]an-3，是否存在實數a，b，使得an=a-b-1[]2n對于任意正整數n恒成立？若存在，給出證明；若不存在，說明理由.

分析 若這樣的a，b存在，應用極限思想：由an=a-b-1[]2n，當n→+∞時，an→a；再由an+1=an[]an-3，當n→+∞時，得a=a[]a-3，解得a=0或a=4.

若a=0，則數列{xn}是以2為首項，以-1[]2為公比的等比數列，從而a1=2，a2=-1，這與an+1=an[]an-3相矛盾，應舍去.

若a=4，將a1=2代入an=4-b-1[]2n，得到b=-4，所以an=4+4-1[]2n，得a2=5，這與an+1=an[]an-3相矛盾，應舍去.綜上所述，這樣的實數a、b不存在.

5.在立體幾何中的應用

在立體幾何中，應用極限思想對位置極限狀況進行分析，往往能得到問題的結論，使復雜問題變得簡單了.

例5 正三棱錐相鄰兩側面所成的角為α，則α的取值范圍為.

A.0，π[]2

B.0，π[]3

C.π[]3，π[]2

D.π[]3，π

分析 設正三棱錐P-ABC，PO是過底面正三角形ABC中心且垂直于底面的垂線段.當PO→0時，相鄰兩側面夾角趨近于π；當PO→+∞時，正三棱錐無限趨近于正三棱柱，相鄰兩側面夾角趨近于π[]3，故選D.

在初等數學的學習中，要以教材內容為載體，理解、掌握極限思想，提高思維層次和數學素養.同時在解各類數學題時，有意識地應用極限思想解答，逐步提高利用極限思想分析問題、解決問題的能力，為高等數學的學習做好思維準備.

【參考文獻】

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[2]探討極限思想在高中數學客觀題中的實施要點[J].數理化學習，2015，（5）：50.