一道例題引起的思考

李寧

【摘要】

通過對北師大版必修4教材中一個三點共線例題的研究得到三點共線的充要條件，再加以應(yīng)用.通過向量與其他數(shù)學(xué)知識的綜合，揭示數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)揮向量的工具性作用.

【關(guān)鍵詞】向量；三點共線；充要條件；應(yīng)用

一、課本例題的再認識（北師大版必修4例題）

如圖，A，B，C 是平面內(nèi)三個點，且A與B不重合，P是平面內(nèi)任意一點，若點C在直線AB上，則存在實數(shù)λ，使得

PC=λPA+1-λPB.

證明：如圖，因為向量BC與向量BA共線，根據(jù)向量共線定理可知

BC=λBA.

即PC-PB=λPA-PB，

PC=λPA+PB-λPB，

PC=λPA+1-λPB.

（該例題的結(jié)論非常重要，是判斷三點共線的重要依據(jù)，它的逆命題依然成立，由此可得出三點共線的充要條件.）

二、三點共線的充要條件

A，B，C是平面內(nèi)不重合的三個點，O是此平面上任意一點，則A，B，C三點共線的充要條件是存在實數(shù)λ，μ，使得

OC=λOA+μOB，λ+μ=1.

說明1：OA，OB，OC這三個向量中的任何一個向量均可以用另外兩個向量表示，且其系數(shù)之和為1.

說明2：特別地，在△OAC中，若B為邊AC的中點，則OB=12OA+12OC.

（這是三點共線的向量表示，有了這個重要結(jié)論，我們就能用向量的方法解決有關(guān)三點共線的問題.）

三、例題分析

例1 如圖所示，在△ABC中，H為BC上異于B，C的任一點，M為AH的中點，若AM=λAB+μAC，則λ+μ=.

解析 因為B，H，C三點共線，故AH=mAB+nAC，m+n=1.而M為AH的中點，故2AM=mAB+nAC，即AM=m2AB+n2AC，m+n=1.又已知AM=λAB+μAC，所以λ+μ=m2+n2=12.

（例1是對三點共線充要條件的直接應(yīng)用.）

【變式練習】已知△ABC中，AN=13AC，P為BN上一點，若AP=mAB+211AC，則實數(shù)m的值為.

解析 因為AN=13AC， 故AP=mAB+211AC=mAB+611AN，而B，P，N 三點共線，故m+611=1，m=511.

例2 已知D是△ABC邊BC的中點，過點D的直線分別交AB、AC于M、N，若AM=mAB，AN=nAC，則1m+1n=.

解析 因為D是△ABC邊BC的中點，所以AD=12AB+12AC，又AM=mAB，AN=nAC，故AD=12mAM+12nAN，而M，D，N 三點共線，所以12m+12n=1，1m+1n=2.

（例2比例1稍難，但學(xué)生通過思考不難發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)依然是三點共線的向量表示.）

【變式練習】如圖，給定兩個長度為1的平面向量OA，OB，它們的夾角為120°，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運動，OC與AB交于點D.若OC=xOA+yOB，x，y∈R，則x+y的取值范圍為.

解析 因為向量OD與向量OC共線，所以O(shè)D=λOC，λ∈12，1，又由A，D，B 三點共線知OD=mOA+nOB，m+n=1.所以λOC=mOA+nOB，即OC=mλOA+nλOB，m+n=1.又已知OC=xOA+yOB，所以x+y=mλ+nλ=1λ∈1，2.

通過向量與其他數(shù)學(xué)知識的綜合，揭示數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)揮向量的工具性作用.實際上，我們可以進一步由平面內(nèi)三點共線的充要條件，類比得到空間中四點共面的充要條件：A，B，C，D是平面內(nèi)不重合的四個點，O是空間內(nèi)任意一點，則A，B，C，D四點共面的充要條件是存在實數(shù)λ，μ，t，使得