巧用類比，化難為易

吳東敏

【摘要】 類比是根據兩個不同的對象，在某些方面（特征、屬性、關系等）的類同之處，猜測這兩個對象在其他方面也可能有類同之處，并作出某種判斷的推理方法.本文分別介紹了類比的含義，類比的作用及類比在數學解題中的各種應用.

【關鍵詞】 類比；推理方法；數學；應用

一、類比法是重要的數學思想方法

類比法是根據兩個或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們在其他屬性上也相同或相似的推理方法. 通俗地說就是化“生”為“熟”，按照熟悉事物的性質、判定來研究陌生事物，使知識延伸.

在數學中，類比也是公認的非常重要的數學思想方法之一. 在初中數學的許多方面都發揮著積極作用. 美國數學家波利亞對類比法十分推崇，他在《怎樣解題》的第三部分——探索法小詞典里，首先談到的即是類比. 他認為： “在我們的思維、日常談話、一般結論以及藝術表演方法和最高科學成就中無不充滿了類比. 類比可在不同的水平使用.”“我們希望能預測結果，或者，至少在某種似乎可信的程度上預測結果的某些特征.這種似乎可信的預測通常是以類比為基礎的.” 波利亞還說“類比是一個偉大的引路人”. 在數學中，類比是發展概念、定理、公式的重要手段；是提出新問題和猜想的重要方法；更是探索問題、解題的好工具：求解數值時，類比能讓復雜問題簡單化；證明時，類比能提供參照和捷徑；記憶數學時，類比能讓知識形成網絡系統，讓記憶長了翅膀. 類比能使難點簡單化. 類比能使我們的知識更系統，思維更廣闊. 本文主要探索類比在解題中的應用.

數學解題與數學發現一樣，通常都是在通過類比、歸納等探測性方法進行探測的基礎上，獲得對有關問題的結論或解決方法的猜想，然后再設法證明或否定猜想，進而達到解決問題的目的.類比、歸納是獲得猜想的兩個重要的方法.

二、類比在數學解題中的應用舉例

1. 數和形的類比

類比分析 把數和形進行類比，從數看是一個式子，從形看是兩點的距離，這樣題目更直觀，分析起來就更簡單. 比如例1，如果單純從式子分析，很難做出來，但是從形，就很容易想到“兩點之間，線段最短”.

反思 數形結合，構造關聯問題，拓寬解題思路.

2. 類似圖形的類比（類似知識點的遷移類比）

例2 如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F.

（1）求證：△ADE∽△BEF；

（2）設正方形的邊長為4，AE = x，BF = y.當x取何值時，y有最大值？并求出這個最大值.

例3 如圖，等邊三角形ABC邊長為6，動點D，E分別在線段BC和AC上運動，且∠ADE = 60°保持不變；

（1）設DC = x，AE = y，求y與x的函數關系式（不用寫出x的取值范圍）；

（2）在（1）中，當y取最小值時，判斷△AED的形狀，并說明理由.

類比分析 兩道例題都是證相似，而且都有共同的特點，就是有三個同樣的角，而且這三個角的頂點都在同一直線上，這樣很容易通過外角求得一個角相等，再加上本來的另一個角，就證得了相似，然后利用相似的邊的關系求得第二問.

反思 有些幾何問題，或圖形相似，或條件相似，或結論相似，通過對比分析，常能悟出解題的思路.

3. 從復雜到簡單的類比

例4 （1）如圖1，D，O，A三點共線， DO = OA ，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點E，連接BC.求∠AEB的大小；

（2）如圖2，當D，O，A三點不共線，其他條件都不變，保持△OCD和△OAB的形狀和大小不變，求此時∠AEB的大小.

例5 已知：在△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，D為BC的中點.

（1）如圖（1），E，F分別是AB，AC上的點，且BE = AF，試說明△DEF為等腰直角三角形.

（2）如圖2，若E，F分別為AB，CA延長線上的點，仍有BE = AF，其他條件不變，那么△DEF是否仍為等腰直角三角形？請說明理由.

類比分析 這類題目，第一問都不是很難，第二問就是類比第一問，第一問證全等，第二問就證全等，第一問用了哪個定理，基本上第二問也用哪個定理，只是圖形點從線段上變到了線段的延長線上或者從在同一直線上變成了不在同一直線上，看起來圖形復雜很多，但是解題方法是沒變的.

反思 無論圖形變得多么復雜，基本圖形不變，抓住題目本質，復雜圖形只是基本圖形的變形，只要類比第一問，問題就會迎刃而解.

4. 解題規律的類比（相同性質的類比）

例6 若（x + y）2 + |x - 3| = 0，則xy = .

例7 若 + |m - 2| + （n - 3）2 = 0，則mnp = .

類比分析 一個數的平方，一個數的算術平方根，一個數的絕對值都是非負數，利用這個相似的性質，無論是數的平方，還是數的絕對值，或是算術平方根相加等于0，則每一項都是為0的.

反思 有些知識點有類似的性質，我們可以通過類比找到解題思路.

5. 歸納為同一題型的類比

例8 如左下圖，要在河邊修建一個水泵站，向張莊A、李莊B送水.修在河邊什么地方，可使使用的水管最短？

例9 如上右圖，正方形ABCD邊長為8，對角線交于點O， E為AB上的點，且BE = 2，直線AC上有點P，使得△EPB的周長最小，則最小周長為 .

類比分析 其實例9與例8是同一個問題：最短水管問題，利用對稱把其中一點對稱到另一邊，再利用“兩點之間，線段最短”來求解，只不過例9的“河“變成了一條線而已.

反思 數學中的很多題目其實是“換湯不換藥“，只要真正理解了題意，難題的模型其實只是基本圖形.

三、使用類比要注意的問題

1. 對類比的結論能進行辯證的處理

因為類比使用有“或然性”，屬于“合情推理”：或者正確，或者不正確，或者不完全正確，所以應明確告訴學生類比有可能失敗.

2. 類比可以從多方面進行

不要局限于一方面，可以多種類比，多方位、多角度，從條件、結論、圖形、方法、規律，等等.

3. 教師在平時的教學中要多挖掘教材的潛在知識，對學生多加引導

老師在平時的課堂上多加引導，創造寬松的環境，開放課堂，學生才能解放思維，敢于放膽去歸納、總結、類比，長此以往，才能掌握類比的思想方法并靈活運用.

【參考文獻】

[1]陳群頌. 也談難點的突破[J].中小學數學（初中版），2012（Z1）.

[2]薄守敏.類比法在小學數學教學中的幾點運用[D].連云港：連云港師范高等專科學校，2006.