高考數學三角函數題的解答策略

徐秀琴

【關鍵詞】 數學教學；三角函數；解答策略

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2016）03—0122—01

三角函數是高中階段繼指數函數、對數函數之后的又一具體函數，這部分知識公式多、內容豐富、變化靈活、滲透性強.通過對這幾年高考試題的分析可知，該部分在試卷中一般是2～3個選擇題或者填空題，一個解答題：選擇題是有針對性地考查本專題的重要知識點；解答題一般有三個命題方向，一是以考查三角函數的圖象和性質為主，二是把解三角形與三角函數的性質、三角恒等變換交匯，三是考查解三角形或者解三角形在實際問題中的應用。筆者認為，具體解答時，熟練掌握以下解題策略，將有助于提高我們靈活解決考查這部分知識的習題的能力.

策略一：數形結合的思想

例1 試求函數f （θ）=+的最小值.

分析：本題難度較大，用一般方法不易求解，且過程十分繁瑣，于是考慮能否將 “數”轉化為“形”.

解：利用1=cos2θ+sin2θ可將函數變形為

f （θ）=+=x+y

則x為點M（cosθ，sinθ）到點P（1，1）的距離，y為點M到Q（-1，0）的距離，而點M（cosθ，sinθ）顯然為單位圓上的動點，故求f （θ）的最小值問題可以轉化為求單位圓上的動點M到兩定點P、Q的距離和的最小值，結合右圖易知： MP+MQ≥.

策略二：換元的思想

例2 已知sinθ-cosθ=，求sin3θ-cos3θ的值.

解：設sinθ=a，cosθ=b，于是a2+b2=1，a-b=.

∴（a-b）2=a2+b2-2ab=?ab=.

∴sin3θ-cos3θ=a3-b3=（a-b）（a2+b2+ab）=×=.

策略三：分類討論的思想

例3 已知-≤β<，3sin2α-2sin2β=2sinα，試求sin2β-sin2α的最小值.

解：∵-≤β<，∴-≤sinβ<，0≤sin2β<.

∴0≤2sin2β<1. ∴0≤3sin2α-2sinα<1.

即3sin2α-2sinα≥0

3sin2α-2sinα-1<0，解得≤sinα<1或-∴y=sin2β-sin2α=（3sin2α-2sinα）-sin2α

=（sinα-）2-

當sinα∈[，1）時，y是增函數.當sinα=時，ymin=-.

當sinα∈（-，0]時，y是減函數.當sinα=0時，ymin=0.

綜上，函數y=sin2β-sin2α的最小值為-.

策略四：化歸與轉化的思想

例4 化簡sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos2αcos2β

解法一：從“角”入手，復角化單角

原式=sin2αsin2β+cos2αcos2β-（2cos2α-1）（2cos2β-1）

=sin2αsin2β+cos2αcos2β-（4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1）

=sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β-

=sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β-

=sin2β+cos2β-=.

解法二：從“名”入手，異名化同名

原式=sin2αsin2β+（1-sin2α）cos2β-cos2αcos2β

=cos2β-sin2αcos2β-cos2αcos2β

=cos2β-cos2β（sin2α+cos2α）

=（1+cos2β）-cos2β（+）=.

解法三：從“形”入手，采用配方法

原式=（sinαsinβ-cosαcosβ）2+2sinαsinβcosαcosβ-cos2αcos2β

=cos2（α+β）+sin2αsin2β-cos2αcos2β

=cos2（α+β）-cos（2α+2β）=.

策略五：構造模型的思想

例5 化簡sin2α+sin2β+2sinαsinβcos（α+β）.

分析：因所給三角函數表達式與余弦定理有類似的形式，故可考慮構造外接圓直徑2R=1的三角形ABC，其中A=α，B=β，C=180°-（α+β）.

在△ABC中用正弦定理與余弦定理，得：

sin2α+sin2β+2sinαsinβcos（α+β）=sin2（α+β）

編輯：謝穎麗