例談數(shù)學(xué)題中隱含條件的挖掘

楊秀英

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué)；隱含條件；挖掘

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 C

【文章編號(hào)】 1004—0463（2016）03—0121—01

從某種意義上講，解數(shù)學(xué)題是一個(gè)從題目所列條件中不斷地挖掘并利用其中的隱含條件，進(jìn)行推理和運(yùn)算的過(guò)程.本文結(jié)合教學(xué)中的幾個(gè)典型例子，剖析解題時(shí)導(dǎo)致錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因以及如何注意挖掘題目中的隱含條件。

一、 挖掘隱含集合元素的條件

例1 已知集合A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A∩B={3，7}，求實(shí)數(shù)a的值.

正解：∵A={2，3，a2+4a+2}，A∩B={3，7}.

∴a2+4a+2=7，解得a=1或a=-5.

當(dāng)a=1時(shí)，A={2，3，7}，B={0，7，3，1}，符合條件.

當(dāng)a=-5時(shí)，A={2，3，7}，B={0，7，3，7}，不符合集合元素互異性這一條件，應(yīng)舍去.

∴實(shí)數(shù)a的值為1.

分析：這道題容易出錯(cuò)的原因是學(xué)生忽視挖掘集合元素的條件，即互異性和無(wú)序性，所以在解得a=1或a=-5后，不去檢驗(yàn)集合B是否成立.

二、挖掘隱含某一變量的條件

例2 已知x≥0，y≥0，且x+2y=1，試求x2+y2的取值范圍.

錯(cuò)解：由x+2y=1，得x=1-2y.

則x2+y2=（1-2y）2+y2=5（y-）2+.

∵ y≥0， ∴5（y-）2+≥.

即x2+y2≥， ∴x2+y2的取值范圍為[，+∞].

分析：導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因是已知條件中給出了兩個(gè)變量的范圍，又給出了兩個(gè)變量的等量關(guān)系，要運(yùn)用此等量關(guān)系將所求式子轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的二次函數(shù)式，還隱含了要利用此等量關(guān)系求得某個(gè)變量的范圍.

正解： ∵x≥0， ∴x=1-2y≥0 ，解得y≤，

又∵y≥0 ， ∴ 0≤y≤.

x2+y2=（1-2y）2+y2=5（y-）2+，

當(dāng)0≤y≤時(shí)，≤5（y-）2+≤1 .

∴≤x2+y2≤1. ∴x2+y2的取值范圍為[，1].

三、挖掘隱含函數(shù)奇偶性的條件

例3 已知函數(shù)f（x）=ax5+bsin3x+10，且f（3）=5，求f（-3）的值.

正解：設(shè)g（x）=ax5+bsin3x，則g（x）為奇函數(shù)，f（x）=g（x）+10.

所以f （-3）=g（-3）+10=-g（3）+10=-[f （3）-10]+10=15 .

分析：這道題容易出錯(cuò)的原因是忽視挖掘函數(shù)奇偶性這一條件.通常求函數(shù)值應(yīng)有確切的函數(shù)解析式，本題是涉及兩個(gè)參數(shù)a，b的解析式，只給出f （3）=5這一條件，無(wú)法求得參數(shù)a，b的值.仔細(xì)觀察由f （3）=5，求f （-3）的值，啟發(fā)我們聯(lián)想函數(shù)的奇偶性，不難發(fā)現(xiàn)解析式中隱含著g（x）=ax5+bsin3x是奇函數(shù)這一條件，于是問(wèn)題迎刃而解.

四、挖掘隱含向量夾角是銳角的充要條件

例4 已知向量=（1，2），=（1，m），試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得與的夾角為銳角.

錯(cuò)解：∵·=1+2m>0，與的夾角為銳角.

∴·>0，即1+2m>0，解得m>-.

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-，+∞）.

分析：導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因是忽視隱含向量夾角是銳角的充要條件.對(duì)兩個(gè)非零向量與，如與的夾角θ為銳角，則·>0，反之，則不一定成立.這是因?yàn)楫?dāng)·=

cosθ>0時(shí)，與的夾角θ也可能為0.因此與的夾角θ為銳角的充要條件是·>0且與不同向，這樣在上述m的取值范圍（-，+∞）中應(yīng)除去與的夾角為0的情況.

∵ 與的橫坐標(biāo)都是1，

∴當(dāng)m=2時(shí)，與同向.

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-，2）∪（-2，+∞）.

編輯：謝穎麗 .