高中生數學素養的現狀及培養途徑

【摘 要】數學素養是世界數學教育關注的重要課題，同時也成為我國新一輪數學課程改革關注的熱點。當前高中生數學素養的現狀為：學生不會或不善于提出數學問題；不能很好地利用類比推理能力解決數學問題；應用數學語言表述問題的能力較弱；沒有認識到數學隱含的語言功能、文化價值。針對現狀，數學教學要不斷培養學生規范使用數學語言的能力、創設合適的問題情境提升學生提出問題的能力，通過過程教學，提升學生數學思想方法的運用能力、滲透數學文化提升學生的數學觀念素養。

【關鍵詞】數學素養；問題情境；數學思想方法；數學語言；數學文化

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）18-0034-05

【作者簡介】何睦，江蘇省張家港市常青藤實驗中學（江蘇張家港，215600）教師，江蘇師范大學數學與統計學院碩士研究生。

數學素養是世界數學教育關注的重要課題，具體表現為：其一，數學素養逐漸成為國際教育評價、國內外數學課程改革和數學教育研究共同關注的目標。其二，由于數學在社會生活和科技高速發展中的作用，數學素養已經成為公民進行社會生活或者從事社會工作必備的素養之一。同時，數學素養也是我國新一輪數學課程改革的關注熱點。“數學素養”一詞頻繁出現于新一輪高中數學課程改革的相關文件中。

鑒于此，近年來，越來越多的研究者關注數學素養，他們有的從理論層面探討數學素養的內涵、數學素養的取向、數學素養的科學建構，也有從實踐層面探索數學素養的生成途徑，但對于高中學生的數學素養的現狀與培養途徑鮮有探討。因此，了解高中學生數學素養的現狀，并在此基礎上開展有的放矢的教學，能有效地促進學生數學素養的提升。

一、對高中學生數學素養現狀的調查

1.調查依據。

在理論層面，學界對數學素養的認識觀點多，視角廣：有數學素養的“五要素”說，有數學素養的“特定區域和背景”說，“數學過程”說，等等。雖然學界對于“數學素養的內涵，其構成要素是什么”并沒有形成統一的認識和看法，但所有的研究者都從不同的角度突出了數學問題素養（具有問題意識，能夠“數學地”提出問題、分析問題、解決問題），數學思想方法素養（掌握數學思想方法，能正確運用邏輯推理以及合情推理方法解決數學問題），數學語言素養（理解并掌握數學語言，具備數學表達與交流的能力），數學知識與技能素養（掌握由數學概念和命題組成的整體性的基本理論體系），數學觀念素養（對數學有較為全面的認識，理解數學的本質，懂得數學的價值），等等。

鑒于這些素養為許多學者所認可，因此，我們以此五種核心素養作為制作問卷（見文末附錄）的重要依據，來考查高中學生數學素養的現狀。

2.調查對象。

本次調查的對象是張家港市的高二學生，共1600人參加本次調查，發放問卷1600份，回收的有效問卷1585份。

3.調查問卷。

本次調查問卷重點考查學生提出問題的能力（A1～A2，共2道），對數學思想方法的掌握能力（B1～B2，共2道），對數學語言的應用能力（C1～C2，共2道），以及對數學的認識和態度（D1～D6，共6道），調查時間40分鐘。考慮到數學知識與技能在其他能力考查中已有所體現，因此并沒有對其做專項考查。

4.調查結果與分析。

（1）關于提出問題的能力。

A1題的調查結果表明，所有學生都提出了數學問題。如：“蘆薈的種植成本和上市時間是否具有某種函數關系？”“選擇合適的函數擬合種植成本和上市時間的關系”“在哪一天上市，蘆薈的種植成本最低？”等等，平均每人提出數學問題1.9個。

A2題的調查結果表明，有82.1%的學生提出了問題，但不少學生提出的問題和數學無關，如“為什么高斯當年只有9歲？”“小學為什么會有這種問題？”等等。只有30.8%的學生提出了數學問題，如“能否歸納出研究此類問題的一般方法？”“更為一般的結論是什么？”“1到100的平方和是多少？”“1到100的倒數和是多少？”等等，平均每人提出問題0.62個。

調查結果反映出當前高中生數學的“提出問題”素養的現狀：從整體來看，對于具體的問題情境，所有學生都能提出相關的數學問題，而對于開放性的問題情境，學生表現為不會或不善于提出數學問題，或者說他們提出的根本不是數學問題。

（2）關于運用數學思想方法的能力。

數學知識是數學思想方法的載體，因此我們在編制問卷時，仍以問題解決的方式考查學生運用數學思想方法的能力和素養，選取類比推理和合情推理各1道，以考查學生數學思想方法素養的現狀。

B1題是一道類比推理題，調查結果表明，僅有40%的學生能運用題目所給的方法，類比得出“前k個正整數的平方和為 ”，22.1%的學生在推導過程中出現了計算失誤，約37.9%的學生并沒有給出解答過程。B2題是一道經典的合情推理題，48.2%的學生給出了正確的答案和推理過程，23.6%的學生僅給出了答案并沒有給出推理過程，其余學生沒有給出答案。

調查結果反映出當前高中學生數學思想方法素養的現狀：從整體上看，學生合情推理能力較弱，不能很好地利用類比推理能力解決某些數學問題。

（3）關于把握數學語言的能力。

C1題考查學生集合語言的使用以及將自然語言轉化為數學符號語言的基本能力。結果表明，97.4%的學生給出了“ ”的答案，84.6%的學生給出了“Q？哿R”的答案。不少學生在數學符號語言的使用上仍出現偏差，比如“ 埸N”“Q∈R”等不規范的表述。

C2題要求學生根據情境的描述，利用數學語言規范地表述所給出的圖形的基本特征，考查學生在現實情境中應用數學語言的能力。結果表明，有52.3%的學生能利用數學語言規范地表述圖形的基本特征，如“兩條直角邊長分別是3和4的直角三角形”，“以O為坐標原點，OA，OD所在直線作為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，其中O（0，0），A（4，0），B（6，2），C（5，5），D（0，5），E（-2，2），F（2，2），順次連接OA，AB，BC，CD，DE，EF，FO”。其余47.7%的學生則表現為不會表述，或者表述不規范，存在嚴重錯誤。

調查結果反映出當前高中學生數學語言素養的現狀：從整體來看，在數學問題情境中，運用數學語言表述數學問題的能力較強，但在現實情境中應用數學語言表述問題的能力較弱。

（4）關于對數學價值的認識。

考查學生對數學價值的認識在一定程度上體現了學生的數學觀念素養，設計6個選擇題，以了解學生對數學價值的認識，要求學生根據相關描述作出判斷，頻數統計見表1。

可以看出，大部分高中生都認可“現在生活處處充滿著數學”“數學是物理學、化學、生物學等自然科學的基礎”“數學是思維的體操，在個人智力發展的過程中發揮著不可替代的作用”，肯定了數學應用的廣泛性以及數學的教育價值。但只有近半數的學生認可“數學是科學的語言，數學也是一種日常生活的語言”“數學基本能力已經成為人的生活基本能力的重要組成部分”“數學是一種人類的文化”。為數不少的學生并不認可數學語言是表達科學規律、在日常生活中起著重要作用的一種語言，并不贊同數學能力是當前社會公民應具備的基本能力，同時也體會不到數學作為一種人類文化存在的意義。

調查結果反映出當前高中學生數學觀念素養的現狀：從整體來看，學生基本認可數學是一門應用極其廣泛的學科，是自然科學的基礎，同時在個人智力發展過程中發揮著重要作用。不少學生并沒有認識到數學隱含的語言功能、文化價值，忽視數學作為人類生活基本能力的存在。

二、對高中學生數學素養培養途徑的思考

雖然上述調查僅僅是對地方重點高中所做的調查，但是在一定程度上也反映了高中生數學素養的普遍現狀。針對高中學生數學素養的現狀，下文從“如何教”的角度來探討提高高中生數學素養的途徑，以期進一步改善現狀，有效地提升高中生的數學素養。

1.培養學生規范使用數學語言的能力。

人類的交流需要語言，數學的傳播也離不開語言。但是，光用自然語言進行數學交流是難以使得數學國際化的。正因如此，數學才有了有別于其他語言的“數學語言”。與一般語言相比，數學語言具有無民族性、無區域性的特點，并且它是世界上唯一通用的語言，所以數學語言理應成為推動數學發展的力量。在教學過程中，我們應明確數學學習的本質是數學語言的獲得、發展與應用，判斷數學教學是否有效的標準應是學生數學語言是否得到了發展和發展程度如何。在教學中，教師應注重培養學生用規范的數學語言表達數學問題并解決數學問題的能力，而教材概念、定理和符號的表述以及例題的解決恰好為數學語言的規范使用提供了范式，因此教師應關注教材在規范使用語言中的價值。同時教師也要積極創造機會，使學生獲得數學交流的機會，通過引導、示范，培養學生利用嚴謹、規范的數學語言表達和解決數學問題的能力，進而更加深刻地理解數學符號的內涵，有效地提升學生的數學語言素養。

2.創設合適的問題情境提升學生提出問題的能力。

數學的發展過程可以看成如下模式：問題的提出→問題的解決→新的問題的提出→新的問題的解決→……，可見問題的提出與解決對于數學研究至關重要。數學課堂教學是關于數學的教學，因此，數學課堂教學也就是提出問題、解決問題、提出新問題、解決新問題的過程。數學新課程改革倡導“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的課程模式，蘇教版教材的內容組織形式為：問題情境—學生活動—意義建構—數學理論—數學應用—回顧反思。可見，課程改革將問題情境作為數學知識產生的源頭。但新課程所倡導的“問題情境”其核心并非是單純的情境，而是隱含著數學問題的情境。如果只關注情境而忽視數學問題，學生難以形成問題意識，提出問題的能力也就薄弱，學生面對數學就缺乏深入思考的欲望，缺乏探究數學知識的能力，當然也發現不了數學問題，提不出數學問題。

3.通過過程教學，潛移默化地提升學生數學思想方法的運用能力。

不管是數學概念的形成還是數學規律的建構，都離不開數學思想方法的運用，數學思想與方法在個體發展過程中起著積極的作用。因此，在教學中，通過過程教學不僅要展示知識的形成過程，更要揭示在知識形成過程中體現的數學思想方法，有效地提升學生數學思想方法素養。因此，在過程教學中必須把握好以下四個教學的關鍵環節：其一，在概念教學中挖掘數學思想方法，教師要有意識地引導學生挖掘概念中體現的數學思想方法；其二，在定理和公式的教學中展現數學思想方法，要通過發現、歸納、猜想、演繹證明等活動方式讓學生經歷知識的“再創造”過程，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質；其三，在問題解決過程中揭示數學思想方法，數學問題的解決過程，實質上是命題的不斷變換和數學思想方法不斷利用的過程，在教學中要不斷地將數學思想方法的教學置于解題的中心位置，突出數學思想方法的解題功能；其四，在知識的歸納總結中概括數學思想方法。數學思想方法的概括包括兩個方面，一是揭示事物的普遍必然的本質屬性，例如“圓的方程及其幾何性質”的研究過程：圓的幾何生成方式-坐標法得到圓的代數方程-研究圓的幾何性質，這對后面學習“圓錐曲線”起到一個范例的作用；二是要明確數學思想和數學知識之間的聯系，將抽取出來的共性，推廣到同類的對象中，比如，通過換元的方法將復雜的方程、函數轉化為簡單的方程和函數，深刻認識換元法的優點在于將復雜問題化歸為簡單問題，化歸思想是換元法的高度概括。

4.滲透數學文化以有效提升學生的數學觀念素養。

《普通高中數學課程標準（實驗）》明確指出：“數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神。數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀。為此，高中數學課程提倡體現數學的文化價值，并在適當的內容中提出對數學文化的學習要求。”數學文化的滲透可以采取多樣化的方法，比如鼓勵學生就某個專題查找、閱讀、搜集相關文獻，在此基礎上開設專題演講或撰寫一篇研究報告，也可以將概念、定理的發生、演變、成形過程作為教學的主線，梳理概念、定理形成的歷史發生過程，讓學生體會概念、定理是如何發生和發展的。

當前的數學教學呈現給學生的只是“冰冷的美麗”，數學的文化價值往往淹沒在一大堆抽象符號、復雜的公式演算和邏輯推理的海洋里。而只有通過數學文化的滲透與融入，數學才能最終轉化為“火熱的思考”，學生才能初步了解數學與人類社會發展的關系，明晰數學的發生、發展及其應用的全過程，體會數學的人文價值、應用價值和科學價值；開闊視野，加強對數學的宏觀認識和整體把握，領會數學學科獨有的理性精神。在數學教學中，我們不但要向學生傳授知識，更要讓學生體會數學知識中蘊含的數學文化，了解“數學方式的理性思維”，有效地提升學生的數學觀念素養。

附錄：數學素養調查問卷

A1：請根據下面一段材料的描述，盡可能多地提出一些數學問題。

蘆薈是一種經濟價值很高的觀賞、食用植物，不僅可以美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內占有很大的市場。某人準備進軍蘆薈市場，栽培蘆薈，為了了解行情，進行市場調研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q（單位：元/10kg）與上市時間t（單位：天）的數據情況如下表：

A2：請你根據下面一段情境的描述，盡可能多地提出一些數學問題。

高斯用很短的時間計算出了小學老師的任務：自然數從1到100求和。他所使用的方法是：將1到100構造成50對101，即1+2+3+4+……+100=（1+100）+（2+99）+……（50+51）=50×101=5050，同時得到結果5050。那一年，高斯只有9歲。

B1：我們知道，前k個正整數的和公式可以借助等式（k+1）2-k2=2k+1累加得到：

（k+1）2-k2=2k+1，k2-（k-1）2=2（k-1）+1…，

32-22=2×2+1，22-12=2×1+1

（k+1）2-1=2（1+2+3+…+k）+k×1

1+2+3+…+k= =

問題：請你運用類比的數學方法推導前k個正整數的平方和公式。

B2：有三頂紅帽子和兩頂白帽子。將其中的三頂帽子分別戴在A、B、C三人頭上。這三人每人都只能看見其他兩人頭上的帽子，但看不見自己頭上戴的帽子，并且也不知道剩余的兩頂帽子的顏色。 問A： “你戴的是什么顏色的帽子？” A回答說：“不知道。” 接著，又以同樣的問題問B，B想了想之后，也回答說：“不知道。” 最后問C， C回答說：“我知道我戴的帽子是什么顏色了。”當然，C是在聽了A、B的回答之后而做出回答的。試問：C戴的是什么顏色的帽子？（要求：寫出你的判斷，并簡要說明理由。）

C1：請用規范的數學語言表述下列事實：（1）不是整數；（2）有理數都是實數。

C2：假設你在電話里與同學交談，你要求他作出如上圖所示的圖形，你的同學事先并沒有見過這一圖形，如何在電話里給他指示以保證他能準確地作出這兩個圖形？

D：根據下列描述，請根據你的理解選出你對這些描述的認識和態度。字母A表示贊同；字母B表示不確定；字母C表示反對。

D1：現代生活處處充滿著數學。（ ）

D2：數學是物理學、化學、生物學等自然科學的基礎。（ ）

D3：數學是科學的語言，數學也是一種日常生活的語言。（ ）

D4：數學基本能力已經成為人的生活基本能力的重要組成部分。（ ）

D5：數學是思維的體操，在個人智力發展的過程中發揮著不可替代的作用。（ ）

D6：數學是一種人類的文化。（ ）

【參考文獻】

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注：本文系蘇州市教育科學“十二五”規劃2013年度重點立項課題“基于數學素養生成的教學實踐與校本課程開發研究”（編號：130801243）和江蘇省“十二五”規劃重點自籌課題“高中數學研究性學習的實踐與認識”（編號：B-b/2015/02/119）的階段性研究成果。