正余弦定理在近幾年高考解題中的應用

王春萍

[摘要]新課程標準在貴州實施以后，從課改后的人教版教材及課標要求來看，課改以后的教學，更注重學生基礎知識的掌握和基本技能的應用，通過對近三年高考題的分析，可以發現正余弦定理在高考題中，以簡單題的形式出現，題目更加注重學生對知識的應用。

[關鍵詞]新課改；高考；應用

2010年普通高中新課程標準在貴州實行，《普通高中數學課程標準（實驗稿）》中對解三角形的要求是該課程需要8課時，在內容上要求（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和計算有關的實際問題。解三角形的教學要重視正弦定理和余弦定理在探索三角形邊角關系中的作用，引導學生認識它們是解決測量問題的一種方法，而不必在恒等變形上做過于繁瑣的訓練。

《2015年全國新課標高考文（理）科數學考試大綱》中對該部分的解釋是在內容上掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。在應用上，能夠運用正弦定理，余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。

一、正余弦定理基本內容

正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R（外接圓直徑）。

正弦定理的變式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC。

a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC。

余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。

若用三邊表示角，余弦定理可以寫為

cosA=b2+c2-a22bc；cosB=a2+c2-b22ac；

cosC=a2+b2-c22ab。

二、高考真題

例1 [2013·新課標全國Ⅱ高考文科·T4]△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b=2，B=π6，C=π4，則△ABC的面積為（ ）。

A。23+2 B。3+1 C。23-2 D。3-1

解析 選B。因為B=π6，C=π4，所以A=7π12。由正弦定理得bsinπ6=csinπ4，解得c=22。所以三角形的面積為12bcsinA=12×2×22sin7π12。

因為sin7π12=sinπ3+π4=32×22+22×12=2232+12，所以12bcsinA=22×2232+12=3+1，選B。

例2 [2014年全國新課標Ⅱ（理04）]鈍角三角形ABC的面積是12，AB=1，BC=2，則AC=（ ）。

A。5 B。5 C。2 D。1

解析 ∵S△ABC=12acsinB=12·2·1·sinB=12，∴sinB=22，∴B=π4，或3π4。當B=π4時，經計算△ABC為等腰直角三角形，不符合題意，舍去。∴B=3π4，使用余弦定理，b2=a2+c2-2accosB，解得b=5。故選B。

例3 [2015高考新課標2，理17]△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍。

（Ⅰ） 求sin∠Bsin∠C；

（Ⅱ）若AD=1，DC=22，求BD和AC的長。

解析 （Ⅰ）S△ABD=12AB·ADsin∠BAD，S△ADC=12AC·ADsin∠CAD，因為S△ABD=2S△ADC，∠BAD=∠CAD，所以AB=2AC。由正弦定理可得sin∠Bsin∠C=ACAB=12。

（Ⅱ）因為S△ABD∶S△ADC=BD∶DC，所以BD=2。在△ABD和△ADC中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB，AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC。AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6。由（Ⅰ）知AB=2AC，所以AC=1。

正余弦定理是高考的重要知識點之一，從新課標實行至今，貴州省已經有三屆高考學生是用的新課標2卷，根據這三年的出題形式來看，新課標2卷每年的有相應的考題出現，通過這些高考題的分析，對于正余弦定理，直接考定理應用的題不多。大多數試題主要考查定理變形的應用。

[參考文獻]

[1]杭美燕。高考中正余弦定理的應用及其分類[J]。數理化解題研究，2013（3）。

[2]張銀華。正余弦定理的運用例析[J]。理科考試研究（高中版），2014（5）。