反思通性通法，打造高效課堂 反思通性通法，打造高效課堂

閔小梅

[摘要]對通性通法的教學進行反思，在指出某些規律性和普遍意義的常規解題模式和常用數學思想方法的同時反思其本質，以便學生理解并能靈活運用，從而打造高效課堂。

[關鍵詞]通性通法；裂項相消；求和；高效課堂

通性通法，是指具有某些規律性和普遍意義的常規解題模式和常用的數學思想方法。這種具有普遍意義的解題方法，是數學方法的主流，也是高考中的重要考查點。而想要打造高效課堂，我們也必須從通性通法抓起。作為教師，我們當然會注重通性通法的教學，在見到某種常規題型時一定會給出常規思路、方法，學生見多了、聽多了、做多了，也就條件反射式的接受了這些通性通法，只要符合形式就會套、搬，但一旦形式稍作修改，學生就會無所適從，明知是符合某種規律，卻怎么也套不出。這時，我們的“高效”課堂就變成了“無效”課堂。

例 （江門市2015屆普通高中高三調研測試理科數學第17題）

已知{an}是等差數列，a2=3，a3=5。

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）對一切正整數n，設bn=（-1）nnan·an+1，求數列{bn}的前n項和Sn。

解 （1）數列{an}的通項公式an=a1+（n-1）d=2n-1（過程略）。

（2）由（1）得an+1=2n+1，bn=（-1）nnan·an+1=（-1）nn（2n-1）（2n+1）=14（-1）n2n-1+（-1）n2n+1。

n>1時，Sn=b1+b2+…+bn=14-1-13+13+15+…+（-1）n2n-1+（-1）n2n+1

=14[-1+（-1）n2n+1]=（-1）n-2n-14（2n+1）。

n=1時，S1=b1=-13也符合上式，∴n∈N*，Sn=（-1）n-2n-14（2n+1）。

在本題第（2）問中，主要考查數列求和之裂項相消法，很多學生能觀察到數列{bn}的通項bn=（-1）nn（2n-1）（2n+1）與我們平常做過的bn=1（2n-1）（2n+1）類型相似，所以首先想到的也是裂項相消求和，但大部分學生卻怎么都裂不出。為何如此呢？我們不妨先回顧一下數列中裂項相消求和的幾種常見類型：

（1）1[]n n+k=1[]k1[]n-1[]n+k；

（2）1[]n+k+n=1[]k（n+k-n）；

（3）1[]2n-1 2n+1=1[]21[]2n-1-1[]2n+1。

在這些裂項中，其特點都是裂成兩項相減的形式，而在上例中，數列{bn}的通項最終要裂成兩項相加的形式，盡管學生對裂項相消求和的常見類型很熟悉，但沒遇到過上例形式，大部分學生對此題就只能觀之而無從下手了。

原因只是學生學得不夠靈活，不能做到舉一反三嗎？其實不然，反思我們的教學，數列中“裂項相消求和”是通性通法，我們在教學時想必大多數老師在經過簡單的舉例求證后相應的就給出了一般規律，而且這個規律對學生來說也很容易求證得到。反觀上例，也是典型的裂項相消法，為何我們的學生做不出來呢？再反思“裂項相消求和”這種通性通法，對上面幾種常見的類型人人都知道可以裂項，都知道可以裂成這樣，那為什么可以裂成這樣？我們在教學時有沒有反思過這種通性通法的本質是什么呢？

經過反思總結，我們不難發現，“裂項” 這種通性通法的本質其實也就是一個“待定系數法”。如在bn=1（2n-1）（2n+1）裂項時，不妨令bn=A2n-1-B2n+1，通過通分還原可以得到bn=A2n-1-B2n+1=2（A-B）n+（A+B）（2n-1）（2n+1），由待定系數法可得A-B=0A+B=1，解得A=B=12，于是就得到bn=1（2n-1）（2n+1）=1212n-1-12n+1。其他裂項亦是如此。

再回到上例bn=（-1）nn（2n-1）（2n+1）中，不妨令bn=（-1）nA2n-1-B2n+1，通過通分還原可以得到bn=（-1）nA2n-1-B2n+1=（-1）n·2（A-B）n+（A+B）（2n-1）（2n+1），由待定系數法可得2（A-B）=1A+B=0，解得A=14B=-14，于是就得到bn=（-1）nn（2n-1）（2n+1）=14（-1）n2n-1+（-1）n2n+1。

美國著名數學教育家波利亞認為中學數學教育的宗旨是教會年輕人思考，他說掌握數學就意味著要善于解題，他把“解題”作為培養學生數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑。事實上，學生解題能力的好壞從某種角度上來說也體現了我們的課堂教學是否高效，所以我們要培養學生的解題能力，打造高效課堂，也不妨試試多反思一下通性通法的教學。