數列遞推思想的應用

黃旭東

數列作為高考的考點與熱點，在歷年的高考中所占比例較大，特別在綜合題中的應用，能力要求越來越高.其中數列遞推思想，具有很強的邏輯性，是學習邏輯推理和化歸能力的好素材，也是數學教學中滲透數學思想方法的好載體，其遞推思想在解題中的應用相當廣泛.下面對數列遞推思想的應用作簡要梳理，供參考.

在歸納推理中應用

例1 如圖，一白珠下面掛一黑珠，每一黑珠下掛一黑珠與一白珠，則第11行黑珠的個數為________.

[…第一行][…第二行][…第三行][…第四行][…第五行][…第六行]

解析 設第行黑珠的個數為個，則，則第行黑珠的個數為等于第行黑珠的個數為與第行白珠的個數之和，由于第行白珠的個數即為第行中黑珠個數，故有.

點撥 此題通過運用遞推思想得到一個遞推關系，正是著名的“斐波拉契數列”. 在一些數列歸納通項的推理中，利用遞推思想，構建遞推公式，使有限拓展到無限，由特殊變成一般規律，這是解決此類問題常見思路與方法，同理這也體現了合理推理的精髓所在.

構建“遞推公式”，巧證數列不等式

例2 已知函數設滿足 ，，數列滿足，.證明：.

解析 本題可不用數學歸納法證，直接應用遞推公式證更加簡潔，簡證如下.

時，顯然成立.

時，由題意得，，且，

綜上所述，.

點撥 此題由兩邊結構中都有，故聯想遞推關系，類比“已知等比數列遞推關系求通項方法”，適當放縮使問題得以解決.在中學階段某些壓軸數列不等式的證明中，常利用此遞推思想結合放縮法進行轉化與化歸.

構建遞推數列模型，求無限往復數學問題

例3 設是正三角形的邊上的任意一點，從 向邊引垂線，垂足為，再從向邊引垂線，垂足為；再從向邊引垂線，垂足為，再從重復以上操作，得當時， 能否無限趨近于某一點？若能，請指出這一點的位置；若不能，請說明理由.

解析 此題為典型的無限往復問題，其本質為求極限點，看似很復雜，我們先不妨構建遞推關系，如圖.

不妨設 ，正三角形邊長設為1，

.

故當時，無限趨近于的距的等分處.

點撥 在無限反復問題中，過程較繁瑣. 這類問題通過構建相鄰過程的二元數量的遞推關系，由“理不斷”的無限反復變成相對固定的數列遞推模型來解決，問題解答順利而流暢！

用遞推思想解決一些濃度混合應用題

例4 現有流量均為300m3/s的兩條河流匯合于某處后，不斷混合，它們的含沙量分別為2kg/m3和0.2kg/m3. 假設從匯合處開始，沿岸設有若干觀測點，兩股水流在流經相鄰兩個觀測點的過程中，其混合效果相當于兩股水流在1秒鐘內交換100m3的水量，即從股流入股100m3水，經混合后，又從股流入股100m3的水量并混合.問：從第個觀測開始，兩股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3（不考慮泥沙沉淀）.

解析 設第個觀測點兩股水流含沙量分別為kg/m3與kg/m3，

則，

且 =①，

=②.

①-②得， =.

故從第9個觀測點開始，兩股水流含沙量之差小于0.01kg/m3.

點撥 在濃度混合問題中，不斷地“混合”，使問題變得較為“混沌”，此類問題可通過構建交叉遞推數列，再利用遞推數列的解法去化“混沌”為“清晰”，使思路明了而清晰.

遞推思想在計數方面的應用

例5 將一個圓分成個扇形部分，依次為，每一扇形分別用種不同顏色中任一種涂色，其中相鄰部分涂不同顏色，則不同的染色方案有多少種？

解析 設有種涂色方案，則表示用這種不同的顏色按同樣的規則填涂類似的塊區域.

顯然，先涂區域有種；再涂區域，不能與區域同色，有種，再涂區域，不能與區域同色，也有種，按照這種方式一直涂到區域.

我們不妨只考慮區域與區域不同色，則共有種.

但其中包含區域與區域同色的情形，當區域與區域同色時，可將此二區域視為一個區域來涂色，這種情形下的涂色方法恰為于是就得出了一個遞推關系：

上式可改寫成：.

即數列（）是一個公比為-1的等比數列.

綜上所述，

點撥 在一些復雜的計數問題中，運用數列遞推思維組建遞推關系可起到“皰丁解牛”的作用，使問題清晰而明了.需要說明的是，此題涉及到計數中的染色問題，通過遞歸關系得到一個一般化的通式，此式在染色問題中應用相當廣泛.

遞推思想在某些概率問題方面的應用

例6 已知，正四面體中，一枚棋子從一個頂點出發，選任何一條棱移動的概率都相等，每次移動前，擲一次骰子，出現偶數點，則棋子原地不動；若出現奇數點，則移動. 一枚棋子從點開始移動到點，求擲次骰子，才到達點的概率.

解析 設擲次骰子時到達點的概率為，由題意知，在點選擇任一條棱的概率均為，向前移動一次概率為 ，則分二類：（1）擲第次時不在點，則到達必順擲奇數點且從該點移動到，則其概率為；（2）擲第次時在點，則第次必順擲偶數點且不移動，則其概率為.

故由（1）（2）知，

則有，

故數列構成首項為

公比為的等比數列.

則有，即即擲次骰子，才到達點的概率.

點撥 此題位置不確定，擲點奇偶不定，關系復雜，利用遞推思想是最有郊的方法，通過構建遞推數列，問題迎刃而解.一般存在相互依存關系問題的概率都可運用遞推思路去解決.

綜上所述，靈活運用遞推思維，構造遞推數列解決某些問題，可以起到化繁為簡、化抽象為具體的奇效. 其運用過程中，融高度的邏輯性于一體，是數學中化歸思想的深度體現，因此在平時高考復習中，應引起我們足夠的重視.