聚焦圓錐曲線的熱點問題

佘媛媛 張世林

本部分內容主要以解答題形式考查，往往是試卷的壓軸題之一，一般以直線與圓錐曲線、圓與圓錐曲線為載體，考查弦長、定點、定值、最值、范圍問題或探索性問題，試題難度較大，能力要求高，綜合性強.

圓錐曲線中的范圍、最值問題

圓錐曲線的最值與范圍問題的常見解法：①幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；②代數法：若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立起目標函數，再求這個函數的最值.

例1 如 圖，點是橢圓的一個頂點，的長軸是圓的直徑.是過點且互相垂直的兩條直線，其中交圓于兩點，交橢圓于另一點.

（1）求橢圓的方程；

（2）求面積取最大值時直線的方程.

解析 （1）

（2）設，，，由題意知，直線的斜率存在，不妨設其為，

當且僅當時取等號.

故所求直線的方程為.

點撥 在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮：（1）利用判別式來構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；（2）利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數之間建立等量關系；（3）利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；（4）利用基本不等式求出參數的取值范圍；（5）利用函數的值域的求法，確定參數的取值范圍.

圓錐曲線中的定值、定點問題

定值、定點問題必然是在變化中所表現出來的不變的量，處理時直接推理求出定值，也可先通過特定位置猜測結論后進行一般性證明. 對于客觀題，通過特殊值法探求定點、定值能達到事半功倍的效果.

例2 已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點P（2，3），Q（2，-3）在橢圓上，點A，B是橢圓上不同的兩個動點，且滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由.

解析 （1）

（2）當時，的斜率之和為，設直線的斜率為，

則的斜率為，.

由整理得，

同理，的直線方程為，

可得.

∴直線的斜率為定值.

點撥 定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數表示要解決的問題，再證明要解決的問題與參數無關. 在這類試題中選擇消元的方向是非常關鍵的.

圓錐曲線中的探索性問題

探索性問題主要是存在性問題，求解時一般先假設存在，然后進行合理的推理論證，若得到的結論合符情理則假設成立，若得到矛盾的結論則假設不成立.

例3 如圖，拋物線的焦點為，拋物線上一定點.

（1）求拋物線的方程及準線的方程；

（2）過焦點的直線（不經過點）與拋物線交于兩點，與準線l交于點M，記QA，QB，QM的斜率分別為，問是否存在常數，使得成立. 若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

解析 （1）把代入，得，

所以拋物線方程為，準線的方程：.

（2）由條件可設直線的方程為，.

由拋物線準線：可知，.

又，所以①.

把直線的方程代入拋物線方程，并整理可得，

設，，由根與系數的關系知，

又，則.

因為共線，

所以，即.

所以

②.

綜合①②可知，即存在常數，使得成立.

點撥 解析幾何中的探索性問題，從類型上看，主要是存在類型的相關題型.解決問題的一般策略是先假設結論成立，然后進行演繹推理或導出矛盾，即可否定假設或推出合理結論，驗證后肯定結論. 對于“存在”或“不存在”的問題，直接用條件證明或采用反證法證明.解答時，不但需要熟練掌握圓錐曲線的概念、性質、方程及不等式、判別式等知識，還要具備較強的審題能力、邏輯思維能力以及運用數形結合的思想分析問題和解決問題的能力.