立體幾何熱點掃描

秦愷然

立體幾何解答題，文科突出考查直觀感知和簡單的推理論證，比如證明線面平行或垂直，計算幾何體的表面積或體積等，不涉及線面角和二面角；理科更注重對空間想象能力和推理論證能力的考查，平行和垂直關系以及計算線面角或二面角都是重要內容，同時，題目的設計兼顧“幾何法”和“向量法”.

平行與垂直關系

例1 如圖，在直三棱柱中，面和面都是正方形且互相垂直，為的中點，為的中點. 運用向量方法證明：

（1）平面；

（2）平面平面.

分析 從點出發的三條直線，，兩兩垂直，可建立空間直角坐標系.

證明一 由題意得，，，兩兩垂直，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系.

設正方形邊長為1，則，，，，，，.

（1）

（2）設平面與平面的一個法向量分別為，.

點撥 空間中線面的平行與垂直的證明有兩個思路：一是利用相應的判定定理和性質定理去解決；二是利用空間向量法來論證，而用向量法證明空間線線、線面、面面平行或垂直時，實質上轉化成直線的方向向量與平面的法向量之間的關系. 利用空間向量證明平行與垂直的方法與步驟如下. （1）坐標運算法：①建立空間直角坐標系，建系時，要盡可能地利用載體中的垂直關系；②建立空間圖形與空間向量之間的關系，用空間向量表示出問題中所涉及的點、直線、平面的要素；③通過空間向量的運算研究平行、垂直關系；④根據運算結果解釋相關問題. （2）基向量運算法：①選基向量，要盡量選用三個不共面的且夾角最好為90°（其次為60°或120°）、模長或其關系已知的向量為基向量；②將相關向量用基向量表示；③將證明問題轉化為向量的運算；④根據運算結果得結論.

直線與直線或面的夾角

例2 如圖，長方體中，，，，點，分別在，上，. 過點，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形. 求直線與平面所成角的正弦值.

分析 由交線圍成的正方形，計算相關數據. 以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，并求平面的法向量和直線的方向向量，利用求直線與平面所成角的正弦值.

解 作，垂足為則，，因為為正方形，所以.于是，所以.以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，.設是平面的法向量，則即所以可取.又，故.所以直線與平面所成角的正弦值為.

點撥 （1）異面直線所成的角的范圍是（0，]. 求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉化為共面問題來解決. 具體步驟如下：①利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選擇在特殊的位置上；②證明作出的角即為所求的角；③利用三角形來求角.

（2）直線與平面所成的角的范圍是[0，]. 求直線和平面所成的角用的是射影轉化法.具體步驟如下：①找過斜線上一點與平面垂直的直線；②連接垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；③把該角置于三角形中計算.而利用向量法求線面角的方法：①分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角（或其補角）；②通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角.

二面角

例3 如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，，為的中點. 求二面角的余弦值.

分析 建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，平面AEF的法向量易得，只需求平面AEB的法向量. 設平面AEB的法向量，利用線線垂直，數量積為零，列方程求出法向量，再根據二面角公式求出法向量的余弦值.

解 取的中點，連接，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，，由于平面與軸垂直，則設平面的法向量為，平面的法向量，則，二面角的余弦值. 又二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.

點撥 二面角的范圍是（0，π]，解題時要注意圖形的位置和題目的要求.

（1）作二面角的平面角常有三種方法：棱上一點雙垂線法、面上一點三垂線法、空間一點垂面法.

（2）利用空間向量求二面角可以有兩種方法. 一是利用二面角的平面角的定義，分別在二面角的兩個半平面內找到一個與棱垂直且從垂足出發的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小. 二是通過平面的法向量來求：設二面角的兩個半平面的法向量分別為和，則二面角的大小等于兩個平面的法向量的角或其補角，設二面角為，即=（或=）. 利用兩個平面的法向量求二面角時，要注意觀察兩個半平面所成角的范圍，或者題目要求.

探索性問題

主要考查空間幾何體中尋找使結論成立的條件或探索使結論成立的點是否存在等問題，全面考查大家立體幾何及空間向量知識的應用，同時考查空間想象能力、邏輯思維能力、探究能力和運算能力以及函數與方程思想.

例4 如下左圖，在三棱臺中，分別為的中點. 若平面，，，求平面與平面所成的角（銳角）的大小.

分析 思路一：連接，設，連接證明兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空量向量的夾角公式求解；思路二：作于點，作于點，連接，證明即為所求的角，然后在三角形中求解.

所以平面與平面所成角（銳角）的大小為.

點撥 （1）利用空間向量解決立體幾何問題是一種成熟的方法，它無需進行復雜的論證推理，只需通過坐標運算進行判斷，但對運算有較高要求，運算結論要準確. （2）解題時，注意把要成立的結論做為已知條件，據此列方程或方程組，把存在性問題轉化為“點的坐標是否存在，在限制范圍內是否有解”等，因此把空間問題轉化為運算問題，使問題的解決變的簡單更有效.