高考中必然與或然思想的考查

王浩 高保中

概率與統計研究的是隨機現象，其研究對象——隨機事件具有兩個最基本的特征，一是結果的隨機性，二是頻率的穩定性. 研究的過程與方法是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規律去解決“偶然”的問題，這其中所體現的數學思想就是必然與或然思想. 近幾年高考中，對必然與或然數學思想方法的考查在素材、難度、分值上等總體相對穩定，難度定位在中等水平. 試題在源于教材的基礎上推陳出新，略加延伸又不盲目拔高. 該部分內容作為考查同學們分析、解決實際應用問題能力的重要載體，背景新穎，常給人耳目一新的感覺，充分體現了概率統計的工具性和交互性.

通過以上表格并結合前幾年的試題，我們不難發現：無論是文科卷還是理科卷，概率類試題的題量、題型、分值都比較穩定，并且同一省份的文理卷中此類試題常以“姊妹題”的形式出現，即背景相同，題型類似，但考查深度以及側重有所不同. 理科在解答題部分將會重點考查古典概率模型、幾何概率模型、互斥事件有一個發生的概率、相互獨立事件同時發生的概率、次重復獨立試驗發生次的概率、離散型隨機變量的分布列、數學期望（均值）與方差有關問題、回歸分析等. 文科不再考查排列、組合、二項式定理，刪除了事件的相互獨立性、獨立重復試驗，在解答題部分基本上都是以列舉計數的方法對概率進行考查，難度相對小，比較好把握，故本文主要針對理科試題進行比較研究.

探究必然與或然數學思想的考查

1. 對必然與或然基本數學思想的理解與靈活應用

掌握數學的基本思想和方法是我們學習數學的最重要的出發點和歸宿，也是高考命題者的一個立足點.在概率統計模塊中，必然與或然數學思想包括：抽樣原理、估計思想（樣本估計總體）、相關思想、擬合思想、檢驗思想、模擬思想等. 此類題難度一般不大，解題關鍵是對必然與或然基本思想的準確把握.

例1 對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每一個個體被抽中的概率分別為，則（ ）

A. B.

C. D.

解析 隨機抽樣主要有簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣這三種，根據隨機抽樣的概念，每一個個體被抽中的概率均為.

答案 D

點撥 破解此題不需要計算，關鍵是對隨機抽樣的有關概念實質的理解，對統計學中最基本方法的熟練掌握和抽樣的基本特征——“等可能性”的準確理解！

例2 根據如下樣本數據，得到的回歸方程為，則（ ）

答案 B

點撥 解決此題并不需要求出回歸直線方程，而只需根據散點圖擬合出回歸直線的大致圖象，并對回歸直線的斜率和截距作出判斷，重點考查了擬合思想. 近期高考對線性回歸問題要求一般都不高，主要有：根據樣本數據作散點圖來判斷兩個變量之間具有怎樣的相關關系；正確理解計算，的含義；利用回歸方程公式作簡單計算；利用回歸直線過樣本點的中心的特征處理問題等.

2. 對基礎知識、基本運算和基本技能的考查仍是重點

統計不難發現，各地概率統計試題中對基礎知識和基本運算、基本技能的考查仍占較大比例，常見問題有：頻率分布直方圖、古典概率、幾何概型的計算；均值與方差等數字特征的計算以及概率分布（如二項分布、正態分布）；線性回歸分析等有關問題，其中線性回歸分析對運算能力的要求較高.

例3 袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球. 從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為（ ）

A. 1 B.

C. D.

解析 從袋中任取2個球共有種，其中恰好1個白球1個紅球共有種，所以從袋中任取的2個球恰好1個白球1個紅球的概率為.

答案 B

點撥 本題意在考查基本知識與基本運算，涉及到排列組合的知識、古典概率的計算以及轉化與化歸思想應用. 解答此題的關鍵在于理解所取2球恰好1個白球、1個紅球，即是分步在白球和紅球各取1個球的組合.

例4 已知2件次品和3件正品放在一起，現需要通過檢測將其區分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.

（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；

（2）已知每檢測一件產品需要費用100元，設表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列和均值（數學期望）.

解析 （1）記“第一次檢測出是次品且第二次檢測出是正品”為事件A.

（2）X的可能取值為200，300，400.

點撥 高考中常常通過實際背景考查互斥事件、對立事件、相互獨立事件、獨立重復試驗的概率計算及離散型隨機變量的分布列和數學期望的計算，同時也考查二項分布、超幾何分布等特殊的概率模型. 解決此類問題時要注意分清類型，運用相應的知識進行解答，這些都是同學們需要掌握的基本解題技能.

3. 強化對數據的處理能力及圖表的閱讀理解能力的考查

概率統計問題離不開讀圖表、畫圖表和解釋圖表，根據圖表對數據進行處理分析，作出合理推斷，并能對推斷作出符合實際的評價. 故“讀”“畫”“識”“斷”是本模塊考查的一大特色.

例5 某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從，兩地區分別隨機調查了20個用戶，得到用戶對產品的滿意度評分如下：

（1）根據兩組數據完成兩地區用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結論即可）；

（2）根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：

[滿意度評分 低于70分 70分到89分 不低于90分 滿意度等級 不滿意 滿意 非常滿意 ]

記事件：“地區用戶的滿意度等級高于地區用戶的滿意度等級”. 假設兩地區用戶的評價結果相互獨立.根據所給數據，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率，求事件發生的概率.

解析 （1）兩地區用戶滿意度評分的莖葉圖如下.

通過莖葉圖可以看出，A地區用戶滿意度評分的平均值高于地區用戶滿意度評分的平均值；地區用戶滿意度評分比較集中，地區用戶滿意度評分比較分散.

（2）記表示事件：“地區用戶滿意度等級為滿意或非常滿意”；表示事件：“地區用戶滿意度等級為非常滿意”；表示事件：“地區用戶滿意度等級為不滿意”；表示事件：“地區用戶滿意度等級為滿意”.

則與獨立，與獨立，與互斥，且.

.

由所給數據得，，，發生的概率分別為.

故.

.

評析 本題考查同學們對數據的處理能力，考查知識點包括莖葉圖、互斥事件和獨立事件等. 應用莖葉圖將所給的較多數據進行處理，能夠更加清晰地看出數據間的關系，根據莖葉的密集程度比較平均值大小，如果密集主干部位在高位，那么平均值大；對于方差看它們數字偏離程度，偏離越大則方差大. 讀懂所求概率事件的含義，利用分類討論思想將事件分解為幾個互斥的情況來求解.

4. 充分發掘現實生活素材，考查分析問題和解決實際問題的能力

由于概率統計問題有廣泛的實際背景與應用價值，故高考中考查大家的應用意識與能力的應用題大都以概率統計題為載體，題材涉及生產、生活科研中的方方面面，考查分析和解決實際問題的能力，同時對閱讀理解的能力有較高的要求. 主要考查隨機變量分布列、期望和方差的應用、通過回歸分析進行預報預測等.

例6 某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量（i=1，2，···，8）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.

（1）根據散點圖判斷，與哪一個適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；

（3）以知這種產品的年利率z與x，y的關系為z=0.2y-x.根據（2）的結果回答下列問題：（i）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？（ii）年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？

附：對于一組數據，…，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

，

解析 （1）由散點圖可以判斷，適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型.

（2）令，先建立關于的線性回歸方程，由于，

，

所以關于的線性回歸方程為，因此關于的線性回歸方程.

（3）（i）由（2）知，當時，年銷售量的預報值.

年利潤的預報值

（ii）根據（2）的結果知，年利潤的預報值

所以，當，即時，取得最大值，

故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大.

評析 本題緊密結合生產實際，以某種產品的宣傳費，年銷售量和年利潤的關系問題為背景，考查線性回歸分析基本思想與方法及處理非線性擬合問題的轉化能力，是源于課本的試題類型，此類聯系實際生活生產的題型一般對考生的閱讀能力有一定的要求，對運算能力有較高要求，注意計算要細心，避免因計算失誤丟分. 解答非線性擬合問題，先作出散點圖，再根據散點圖選擇合適的函數類型，設出回歸方程，利用換元法將非線性回歸方程化為線性回歸方程，求出樣本數據換元后的值，然后根據線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數，即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進行預報預測.

5. 在思想方法交織線和能力層次的交叉區設計試題，綜合考查素質與潛能

近幾年高考概率統計綜合題常在思想方法交織線和能力層次的交叉區設計，將概率統計問題與函數、算法以及向量等其它數學知識交匯在一起，考查大家綜合運用相關知識和方法進行信息遷移和知識整合的能力.

例7 在區間上隨機取兩個數，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，為事件“”的概率，則（ ）

A. B.

C. D.

解析 因為，對事件“”，如圖（1）陰影部分；

對事件“”，如圖（2）陰影部分；

對事件“”，如圖（3）陰影部分.

（1） （2） （3）

由圖知，陰影部分的面積從小到大依次是，根據幾何概型公式可得.

答案 B

評析 將簡單的線性規劃和幾何概型交匯在一起出題在高考中十分常見，有時候還會涉及到定積分求面積，考查面十分廣泛。求解幾何概型的問題，一般先求出試驗的基本事件構成的區域長度（面積或體積），再求出事件構成的區域長度（面積或體積），最后代入幾何概型的概率公式即可. 對幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認識，它只與大小有關，而與形狀和位置無關，在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法.

從上面的歸納分析可以看出，考查必然與或然數學思想方法的命題總體較常規. 這類試題題型新穎靈活，交匯性強， 雖然在常規題型中常發生一定的“變異”，但試題總的來說難度不大，以考查基礎知識和基本方法為主，注重考查同學們的數學素養和數學應用能力. 因此同學們在復習時要重視基礎，基于考點抓重點；在臨考前，更應該通讀教材.