一道數學題是如何被解出來的

薛明

【摘 要】問題就是一個不穩定系統，問題的解決就是由問題的初始狀態通過學生已具備的知識或經驗達到目標狀態的過程。通過波利亞《怎樣解題》數學思維的新方法在具體問題中的應用，發現解決數學問題的價值，也就是增強數學核心素養。

【關鍵詞】數學問題；解決；數學核心素養

一條數學問題究竟是如何被解出來的，體現了怎樣的數學核心素養。下面就以筆者參加2016年廣州市“卡西歐杯”中學數學教師“講題比賽”的題目為例。

在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1，1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于-1/3。

（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；

（Ⅱ）設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M，N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。

題目出處：這題目是2010年北京市數學理科高考題第19題，難度0.51。條件信息：考察軌跡方程；三角形中的幾何計算；點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題。

解題思路：第一問由所有已知條件組成的初始狀態如何到達目標狀態？此時的學生回憶所學，發現與課本學習的例題相仿，而且此時的學生已經具備知道求點的軌跡方程的步驟的知識儲備。初始狀態明晰、準確，目標清楚。從而將“建設限代化”——建系、設點、限制條件、代入、化簡這一系列操作在具體情境中進行運用。

題目條件中點有坐標說明已經建好系，因此按步驟設動點P（x，y），將題目條件kAP·kAP=-直接表達出來即可。因為點B與A（-1，1）關于原點O對稱，所以點B的坐標為（1，-1）。已知點P（x，y），點A（-1，1）利用已知兩點求斜率得kAP=，kBP=代入式，化簡可得點的軌跡方程。有的同學可能就此下結論，但也有部分同學在過去的運用中積累過相關經驗，會回顧下解題過程，仔細觀察斜率是個分式結構，根據分母不能為零得x≠±1，老師與學生再次一起總結，強化函數先求定義域避免錯誤。

第二問的目標狀態是問是否存在滿足所有初始狀態的點P。這是一道求解題，主要部分是未知量、已知數據和條件。設點P的坐標為（u，v），求解橫、縱坐標這兩個未知數就是目標。根據過去的經驗將題目的初始條件轉化成兩個關于橫縱坐標的方程可以得以求解。在具體情境中，△PAB與△PMN的面積相等就是一個等式。當面臨一個復雜問題時，應設法將其轉化為簡單問題，或從它相關的簡單問題入手。而將三角形面積表達出來促使學生畫出圖形進行分析，而表達出底和高的長度，在學生掌握了已知兩直線求交點、點到直線距離等公式的前提下成為可能。

思路背景：這些思路的發展宛如要進行一次此地到彼地的旅游需要做的攻略，由此地到彼地，需要若干途徑，而每個途徑又有若干步驟。也正如波利亞的《怎樣解題》120頁中示范的一個原始人如何渡過一條小溪進行的一連串的念頭，這一連串的念頭應該稱之為分析。分析是創造，綜合是執行。分析是設計一個方案，綜合是執行這個方案。而如何執行這個方案，課標中明確指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的、富有個性的過程。”

引導學生將文字語言轉化成圖形語言，盡量適當的畫圖，方便由圖像觀察。發現為求△PAB得面積，要求AB距離，求點P到直線AB的距離，從而要求AB直線方程，而求△PMN的面積，需知道M、N兩點的縱坐標，則需要求直線AP的方程和x=3聯立解方程，第二問經過分析變成若干需要解決的簡單的問題。

列出等式·2·│u+v││3-u│，這個化簡過程對大部分學生（屬于C類學校）較困難，老師需要示范如何勇敢的嘗試，細心的化簡。

思路背景：正如波利亞在《怎樣解題》79頁所說：“可以說教學生解題也是一種意志的教育，學生要解決對他來說并不容易的題目，他要學會面對失敗鍥而不舍，重視小的進步，靜候實質性的念頭，當這一念頭出現后全力以赴。”這也是數學教育最重要的一點。

筆者講到這里就已經用完賽時十五分鐘，說了下變式：如利用定義法、相關點法求點軌跡方程。獲得2016年廣州市“卡西歐杯”“講題比賽”二等獎。

倘若繼續思考，據波利亞著名的“怎樣結題表”，解題過程分為弄清問題、擬定計劃、實現計劃和回顧4個階段。我們適時向學生提出這樣的問題與建議：你能否用別的方法導出這個結果？你能不能把這個結果或方法用于其他的問題？

也許有的學生就會提供這種解法：│PA‖PB│sin∠APB=│PM‖PN│sin∠MPN（**）。而∠APB和∠MPN對頂角相等，化簡成，若仔細觀察圖形，過點M作直線平行于x軸，再過點A，P分別作這條直線的垂線交所作直線于D，E，△MAD相似于△MPE，，等式右邊同理。得即（3-u）2=│u2-1│，解得u=。這種方法思維量大，但是大大簡化了運算的繁瑣。

這道比賽題目取自于教材，但作了創新，重點考查了學生對知識的遷移能力，邏輯思維能力及代數運算能力和探究問題的能力，難度并不大，是一道難得的好題。通過這道經典數學問題的解決我們體會到數學問題解決就是主體創造性地應用數學去解決問題的學習活動，問題的解決是有價值的：可以使主體充分發揮自己的潛能，創造性地解決新情境下的問題；可以使主體在實際情境中獲取和構造數學，而不是機械地去模仿；可以使主體體驗數學的思想方法，構建屬于自己的數學觀念；可以激發主體的自主性心理特征，變得自尊、自信、自律和自我激勵，培養主體對數學的興趣。可見，數學問題的解決不僅僅局限于解答問題，而是一種全新的數學教育觀念。這與現在流行的數學核心素養不謀而合。數學核心素養不是指具體的知識與技能，也不是一般意義上的數學能力，可以理解為學生學習數學應當達成的有特定意義的綜合性能力。核心素養基于數學知識技能，又高于具體的數學知識技能。核心素養反映數學本質與數學思想，是在數學學習過程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性。適逢廣東高考今年初次使用全國卷，數學考題命題相對創新，難度相對增大，老師應該重視每一道數學題是如何被解出來的。講題時不僅僅講知識、方法，還要挖掘潛藏的能力、態度，培養學生在數學學習、數學解題的過程中逐步形成數學素養，這種素養是適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力，解決的也可能不是明顯的和直接的數學問題，而是學會從數學的角度看待問題，用數學的思維方法思考問題，用數學的方法解決問題。