觸摸數學的肌膚與靈魂
——《射線、直線和角》教學片斷與思考

張冬梅（特級教師）

教學片斷一：“神器”激趣，盡情想象中感悟射線的特征

師：今天老師給大家帶來了一個“神器”（激光測距儀）。瞧，從神器這個發射點發出的光線射到了哪兒？

生：屏幕上。（屏幕上有光點）

師：其實在發射點與屏幕上光點之間是有一條光線的，老師想個辦法讓大家看見。（教師噴水霧）

生：看到了，看到了！

生：這是一條線段。

師；能說說線段的特點嗎？

生：線段是直直的，有兩個端點。

（教師順勢板書：直的、兩個端點）

師：我們既然把這個叫做“神器”，那么一定有它的“神奇”之處。請兩個同學上來，我們一起來做游戲。

（學生A站老師對面，學生B站老師身邊）

師：（教師摁“神器”）從發射點到對面同學身上光點之間的這條線段有多長呢？我們再摁一下神器，神器就顯示出結果，（對著生B）來讀給大家聽一聽。

生 B：2.016米。

師對生A說：你退后幾步。

（再次測量后）生B：3.265米。

師：再大膽地退后。

（再次測量后）生B：5.866米。

師：大家發現隨著他的退后，這條線段越來——

生：越來越長。

師：雖然線段越來越長，但我們都能測量它的長度，所以我們說線段是有限長的。（板書：有限長）

師：再往后退。（生A一直退到了墻邊）

生 B：7.813米。

師：還能往后退嗎？（生A為難）那這樣，請你把門打開，（教師把光線射向門外）現在看到射到哪兒了嗎？

學生幾乎都站起來側身努力地尋找后：看不到。

師：那就讓我們一起閉上眼睛，隨著老師的語言盡情地想像。如果我手中的“神器”有無窮的能量，射出的光線沒有任何物體阻擋，一直射向無窮遠的地方，這是一條什么樣的光線呢？

（學生閉著眼睛想象）

師：我們腦海中的這條光線還能用線段表示嗎？

生：不能，因為線段是有兩個端點的，而這條光線可以直直地射向無窮無盡的地方。

師：那是一條什么樣的線？大家在學習單上把它畫下來。

（學生獨立畫后相互分享）

生：這條光線從這個發射點開始，直直地射向找不到頭的地方。

生：這條光線從這個發射點開始，直直地射向無窮遠的地方，連這張紙都裝不下這條光線。

……

師：我們聽到了一些關鍵的詞，說這條光線是——

生：直直的，而且還一直一直地射向無窮遠的地方。

師：大家腦海中的光線都是這樣的嗎？知道嗎？像這樣的光線我們就可以看作射線。

（板書上：射線）

師：射線是怎樣的圖形呢？

（屏幕動畫音響同步演示：把線段的一端無限延長就得到了一條射線）

師：說說射線的特征。

……

【思考：對于射線的認識，要引導學生經歷由具體實例抽象出幾何圖形的過程，但是，要在現實生活中找到射線相應的實體模型，還真的不易，無論是手電筒光線，還是夜幕中霓虹燈的燈光，如果沒有學生的想像，都很難理解“無限長”這一本質特征。怎么才能更好地幫助學生理解“無限長”的數學意義呢？課堂上，教師通過讓一個學生不斷地后退，改變發出光線的長度，生動地演繹了“線段一端延長”的過程，然后巧妙地“打開門”，讓光線射向無窮遠的地方，于是“線段的一端無限延長”的歷程成功演繹，實現了從有限到無限的突破。學生在教師語言的引導下，想像插上了翅膀：這條光線從這個發射點開始，直直地射向找不到頭的地方；這條光線從這個發射點開始，直直地射向無窮遠的地方，連這張紙都裝不下這條光線……此時此刻，射線的特征已經在學生的腦海中動態呈現，盡管“無限長”是個非常抽象的概念，但在學生的腦海里卻已烙下清晰的表象。這樣的過程，這樣的學習經歷，不僅能幫助學生借助生活中的具體實例理解抽象的數學概念，感受數學抽象的一般過程，也有利于學生體會數學與現實世界的密切聯系，激發學生的學習興趣。】

教學片斷二：理性思考，科學探索中體會研究方法

師：我們學線段、射線和直線有什么價值呢？讓我們一起來體會。

師：我們通常用大寫的字母表示平面上的點。連接A、B兩點的三條線中，哪一條最短？

生：是中間那條線段最短。因為上面的那條折來折去的，下面的那條是彎的，都走了很多彎路。

生：另外兩條不是直的線，我感覺如果把它們拉直，一定比中間的線段長。

師：嗯，但我們數學結論的得出不能僅憑“感覺”，我們要用科學的方法去證實。老師事先量出了原圖上這兩條線的長度（出示數據），大家量一量中間線段的長度吧。

（學生開始測量）

生：中間線段長30毫米。

師：通過測量，我們發現哪一條最短？

生：中間這條線段最短。

師：那拿出筆來，在圖上再畫出一條連接A、B兩點的、比紅色線段更短的線。

（學生開始在圖上琢磨，并忍不住小聲議論著）

師：有什么問題嗎？

生：畫不出來了，中間的這條線段已經最短了。

生：再畫一條最短的線，就跟線段AB重合了。

生：我覺得在連接A、B兩點的線中，這條線段是最短的了！（全班掌聲）

師：體會到線段的價值了嗎？

生：我知道了，如果從A走到B，走線段最近。

師：是的，所以，我們把連接兩點的線段的長度叫作這兩點間的距離。A、B兩點間的距離是多少？

生：30毫米。

師：還記得課開始時的“神器”嗎？我們測量出的發射點與遠方光點之間線段的長，其實就是發射點與光點之間的——

生：距離。

師：所以，這個“神器”有個大名，叫做激光測距儀。

【思考：“兩點間距離”的教學，教師們往往是直接告之，而我卻改變了教材的呈現方式，從“價值”出發，讓學生經歷研究的過程，懂得要得出一個數學結論的科學研究方法，從而培養學生的學科思維方式，并讓學生真切感受數學的精神、數學理性的精神！首先，是對于“哪一條最短”這一問題的處理，以往的教學可能只是停留在“觀察”與“感覺”的層面上。一個結論的得出確實可能始于“感覺”，但“感覺”不能成為最終得出結論的依據，“感覺”的正確與否需要科學地證明。課堂上，教師引導學生去測量、去驗證，正是想讓學生經歷這一“證明”的過程。通過測量，學生得出：在連接AB的三條線中，確實是線段AB最短。但是教師并不就此罷手，即時提出：再畫出一條連接A、B兩點的更短的線。學生在操作與思考中發現：在所有的連線中，線段最短。顯然，這一結論的得出，無論是學生的認識與體會，還是方法與經驗的積累，都是那么豐厚。正是因為“最短”我們才把“連接兩點的線段的長度叫作兩點間的距離”，也為以后學習“直線外一點到直線的距離”埋下伏筆。】

教學片斷三：尋根究底，數學史的介入理清圖形間的關系

師：經過一點可以畫多少條直線？

生：無數條，因為稍稍動一下方向就能畫出一條不同的直線。

師：那請大家經過這直線上的一點，再畫一條不同方向的直線。

（學生畫）

師：老師選了幾個有代表性的作品：

師：大家仔細看圖，從圖中你還看到了什么？

生：角。

師：是的，為了研究兩條直線的位置關系，人們想到了要研究角。

師：關于“角”，我們以前就認識過，請大家自學書本第78頁的例2，看看你又會有哪些新的收獲。

（學生自學后自主介紹角的相關知識）

【思考：“從一點引出兩條射線所組成的圖形叫作角”，要想理解教材上的這句描述性的語言，對學生來說并不難，學生完全可以通過自學完成學習目標。但是研究“角”的意義呢？“角”與射線、直線之間的關系呢？“角”在整個學科體系中的價值與地位呢？在“平行線和垂線”這個單元中為何安排角的知識的學習呢？在認識射線、直線這一課時中，又為什么還要安排學生認識角呢？教材是最重要的活動資源和進行教學活動的主要依據，但教材往往省略了一些概念的誕生細節，而深刻理解教材的編寫意圖，看到教材背后的一些東西，可能正是數學最本質的東西。對于這一系列問題的深入思考，讓我豁然開朗：經過一點的兩條不同直線，有著無數種位置關系；為了表示它們不同的位置關系，人們想到了研究“角”；當其中一個角確定了，兩條直線的位置關系也就確定了。尋找數學史，人類研究“角”的初衷不也正是要研究兩條直線之間的位置關系嗎？于是，從“畫一畫”開始，到數學史的介入，再到最后的自學書本，為學生開辟了一條新的深度學習的路徑，學生既理解了數學的諸多緣由，體會到“角”的價值所在，同時也理清了圖形之間千絲萬縷的關系。】

【課后分享】

1.智慧有大、小之分。莊子在《齊物篇》里說：“大智閑閑，小智間間。大言炎炎，小言澹澹。”數學課上，教師可以充分發揮自身的能動性與創造性，理性而深刻地把握教學內容，可以向前追溯這一內容的生活經驗與知識經驗有哪些，向后思索這一內容的數學意義是什么，在學科體系中的地位、價值又如何，蘊含了怎樣的數學思想方法，體現了怎樣的數學精神等等。只有這樣，教學才能觸及數學的肌膚與靈魂；只有這樣，數學知識才不是一個個孤立的、冷酷的“個體”，兒童才能在這種自然、和諧中感受數學本身的“親和”。

2.兒童自有兒童的哲學，教師要有一顆懂得兒童的心，要用熱愛、真誠、細膩去聽出兒童“嘰嘰喳喳”的精彩與美妙。數學是抽象而嚴密的，而擁有童心的數學教師，才能站在兒童的立場，努力地使數學具有“兒童”特質，教學時注重兒童化的改造，把成人世界里抽象嚴密的數學知識改造成兒童世界里所能理解的對象，對兒童數學學習進行理性氣質的塑造。

3.數學不是一種超然的知識與技能的客觀存在，而是人類主體不斷參與的探究結果。數學學習，自然也就不是接受“權威者”的既定知識，而是自主建構的過程。數學課上，兒童作為一個有血有肉、有情有智的完整的人投入數學學習，從而獲得作為人的全面發展，而不僅僅是習得數學的知識與技能。這就提醒我們教師關注學習自由——思考的自由、表達的自由、操作的自由、精神的自由等等。只有擁有了真正的自由，數學學習才會如呼吸一般自然而親和，學生才會在獲得數學知識與數學技能的同時，擁有良好的數學氣質與創造能力，實現充分而自由地成長。

我想，只有這樣的數學課堂才是我主張的親和數學課堂，是師生生命拔節的課堂。