在操作中感悟在應(yīng)用中提升
——《倍的認(rèn)識》教學(xué)設(shè)計

孫惠惠

（本文作者系朱樂平數(shù)學(xué)名師工作站“一課研究”組成員）

【課前思考】

倍的概念建立分兩個層次，第一層次是操作性意義的建構(gòu)，以圈出1份和幾份為基本過程溝通份數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系，“以一個量為標(biāo)準(zhǔn)，另一個量有這樣相同的幾份就是它的幾倍”。第二層次是數(shù)學(xué)性意義的建構(gòu)，溝通幾個幾和倍數(shù)的關(guān)系，如“3個2就是2的3倍”。學(xué)生只有經(jīng)歷了這兩個層次的概念建立過程，才有助于增進(jìn)對于份數(shù)、幾個幾、倍數(shù)之間的聯(lián)系與認(rèn)識，建立起完整的倍的概念。

【教學(xué)過程】

一、呈現(xiàn)情境，以兩數(shù)關(guān)系引出“倍”

師：（出示主題圖）觀察這幅圖，你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

生:白兔比黑兔多幾只？黑兔比白兔少幾只？兩種兔子一共有多少只……

師：同學(xué)們提出的問題都很有價值。其實，兩個數(shù)量之間除了比多、比少這樣的相差關(guān)系外，還有一種倍的關(guān)系。今天我們就來認(rèn)識這個新朋友——倍（板書課題：倍的認(rèn)識）。

【設(shè)計意圖：“倍”的本質(zhì)屬性是兩個量比較的結(jié)果，在學(xué)生已有的經(jīng)驗中兩個量之間的關(guān)系不是求和就是求差，而在這節(jié)課里，將認(rèn)識兩個量的另一種關(guān)系，這種關(guān)系是全新的，因此呈現(xiàn)新概念與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系和差異則是引入教學(xué)的有效契機(jī)。】

二、喚醒經(jīng)驗，基于份數(shù)感知倍數(shù)的操作意義

1.借助實物，初步感知2倍。

出示2只黑兔，4只白兔，引導(dǎo)學(xué)生邊圈邊說出：把2只黑兔看成1份（圈一個圈），白兔有這樣的2份（圈兩個圈），我們就說白兔的只數(shù)是黑兔的2倍。

2.抽象實物，直觀認(rèn)識2倍。

把3個紅蘿卜6棵青菜抽象成3個紅圓和6個綠圓，引導(dǎo)學(xué)生邊圈邊說出綠圓和紅圓的倍數(shù)關(guān)系。

3.變換圖形，豐富2倍表征。

出示兩行圖形，第一行5個五角星，第二行10個長方形，引導(dǎo)學(xué)生邊圈邊說出兩者的倍數(shù)關(guān)系。

4.對比實例，建立2倍模型。

師：這些圖中的形狀、個數(shù)都不一樣，但為什么我們都說第二行的個數(shù)都是第一行的2倍呢？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，不管第一行擺幾個,只要把它看成一份，第二行擺這樣的兩份,第二行的數(shù)量就是第一行的2倍。

【設(shè)計意圖：“倍”是一個數(shù)概念，對于倍的定義有操作性定義和數(shù)學(xué)性定義兩種，其中操作性定義能通過對“倍”形成過程的描述，將抽象的概念轉(zhuǎn)換成可觀察的操作過程；學(xué)生從圈實物圖、圈圓點圖到圈其他圖形，利用畫圖表征，層層反復(fù)操作和感知，在活動中親身經(jīng)歷了“倍”的形成過程，自主構(gòu)造出“2倍”的概念模型。】

三、主體探究，溝通幾個幾建構(gòu)倍的數(shù)學(xué)意義

1.動手操作，運用經(jīng)驗。

讓學(xué)生擺一幅有倍數(shù)關(guān)系的圖，具體的操作要求：

擺一擺

1.擺兩行，能清楚看出其中一行是另一行的幾倍。

2.擺完后同桌說一說：（）的數(shù)量是（）的（ ）倍。

2.成果展示，交流方法。

教師逐一出示收集的三幅學(xué)生作品（第一幅正向放，第二幅反向放，第三幅打亂放），請學(xué)生介紹。

生：我們組把3個小鳥看成1份，第二行有這樣的3份，第二行是第一行的3倍。

生：我們組把2個海豚看成一份，第一行有這樣的3份，第一行就是第二行的3倍。

生：第三幅也是3倍關(guān)系，我們可以把圖形重新擺一擺，就能看出是4個太陽是一份，小花有這樣的3份。

生：不用重新擺，圈一圈就行，先把4個太陽圈成1份，小花可以圈這樣的4份，小花的個數(shù)就是太陽的4倍。

生：數(shù)一數(shù)也可以，太陽有4個，小花有12個，12是3的4倍。

師：同學(xué)們的方法都很好，接下來請你仔細(xì)觀察，這些都是3倍關(guān)系的圖，誰能用一句話來說一說，怎么擺就一定是3倍關(guān)系。

生：只要先擺一份，再擺同樣多的三份，它們之間就是三倍關(guān)系。

【設(shè)計意圖：“倍”的概念建立過程中，把誰看成“1份數(shù)”是概念形成的重要環(huán)節(jié)，通過倍數(shù)創(chuàng)作素材的多元化和正向、反向、無序排放作品的解讀，讓學(xué)生能清晰體會到1倍標(biāo)準(zhǔn)的確立與它所在的行數(shù)、位置、所表示的圖形無關(guān)，只與和它比較的另一個數(shù)量的關(guān)系有關(guān)。這樣教學(xué)，學(xué)生能在辨析與思考中牢牢建立起“把哪一類物體的數(shù)量幾當(dāng)做1份數(shù)，另一類物體中有多少個同樣多的幾個，就是幾的多少倍”的表象。】

3.分析比較，溝通聯(lián)結(jié)。

師：剛才我們通過擺一擺、圈一圈已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它們的倍數(shù)關(guān)系，接下來，我們從數(shù)量上來觀察一下。如果一份是2，以2個為標(biāo)準(zhǔn)去數(shù)一數(shù)，1個2,2個2,3個2。3個2就是2的3倍。（板書3個2）

師：（指板書中的圖）如果一份是3，以3個為標(biāo)準(zhǔn)、以4個為標(biāo)準(zhǔn)去數(shù)一數(shù)呢？

根據(jù)學(xué)生回答板書3個3，3的3倍；3個4，4的3倍。

【設(shè)計意圖：基于前面大量份數(shù)關(guān)系與“倍”的溝通后，學(xué)生關(guān)于倍的概念結(jié)構(gòu)已經(jīng)初步形成，在本環(huán)節(jié)中，適當(dāng)溝通“幾份”與“幾個幾”后，學(xué)生就能快速在“幾個幾”和“倍”中建立聯(lián)結(jié)。】

四、層層跟進(jìn)，應(yīng)用“倍”的概念

1.變化標(biāo)準(zhǔn)量，體驗倍數(shù)結(jié)果的相對性。

師：看圖，你能快速說出圓的數(shù)量是三角形的幾倍嗎？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，倍是兩個數(shù)量之間的關(guān)系，缺少三角形就不能比。

師：想一想，三角形可能是幾個?把你們的猜想畫在練習(xí)紙上。

學(xué)生完成后，分別得出圓可能是三角形的6倍、3倍、2倍、1倍。

教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，同樣都是6個圓，但和它比較的三角形的數(shù)量在發(fā)生變化，圓的數(shù)量是三角形的幾倍也會發(fā)生變化。

2.辨析倍數(shù)關(guān)系，突出以誰為1倍標(biāo)準(zhǔn)。

（1）出示問題。判斷：這樣做對嗎？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)要找準(zhǔn)把誰看成一份數(shù)，不能說反了。

（2）討論如何修改,如三角形的數(shù)量是圓的2倍，圓的數(shù)量是三角形的一半。

3.三個量兩兩比較，熟練倍數(shù)的表述應(yīng)用。

師：如果我們在剛才的圖中再增加一行，你能從這幅圖中找出（）的數(shù)量是（）的（）倍嗎？

同桌說一說，看哪一桌找到的倍數(shù)關(guān)系多。

學(xué)生分別找出三角形的數(shù)量是圓的2倍，三角形的數(shù)量是長方形的6倍，圓的數(shù)量是長方形的3倍。