重視概念本原加強整體感知
——從概念理解的角度設(shè)計《倍的認(rèn)識》教學(xué)

朱 強

（本文作者系朱樂平數(shù)學(xué)名師工作站“一課研究”組成員）

《倍的認(rèn)識》是一節(jié)概念學(xué)習(xí)課，需要學(xué)生從自己的經(jīng)驗出發(fā)，通過感知、認(rèn)識“倍”的概念本原（指概念中最根本、最重要的部分），從而達(dá)成對“倍”概念的理解和掌握。理解并掌握數(shù)學(xué)概念的核心是把握概念的實質(zhì)，而不僅僅是掌握概念的形式上的定義。所以，教師更應(yīng)該重視學(xué)生對“倍”概念的整體性感知和本原性理解，教學(xué)中要為學(xué)生提供這樣的路徑和機會。

一、拓展知識結(jié)構(gòu)，了解倍比和差比是比較兩個數(shù)量大小(多少)的兩種方法——“倍”的核心思想是“方法”

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科。研究數(shù)量關(guān)系從兩個量的比較開始。小學(xué)階段的比較主要有差比和倍比，也就是建立加法（減）結(jié)構(gòu)和乘（除）法結(jié)構(gòu)。小學(xué)生在學(xué)習(xí)“倍”之前，知識結(jié)構(gòu)主要以加（減）法結(jié)構(gòu)為主，比較兩個量的方法主要用“差比”。“倍的認(rèn)識”會進(jìn)一步幫助學(xué)生理解并構(gòu)建乘（除）法結(jié)構(gòu)，并學(xué)習(xí)另一種兩個量比較的方法——“倍比”。從加（減）法結(jié)構(gòu)到乘（除）法結(jié)構(gòu)，從差比到倍比，表面上看只是表達(dá)形式有了些變化，但實際上，學(xué)生在解決問題時，多了一條途徑，多了一種方法，也就意味著學(xué)生將面臨方法的判斷和選擇問題，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要發(fā)生一定程度“質(zhì)”的變化，而“倍”的學(xué)習(xí)是發(fā)生質(zhì)變的第一次機會?！氨兜恼J(rèn)識”要經(jīng)歷從單一結(jié)構(gòu)到多種結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改變將會給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來很大的挑戰(zhàn)。

【教學(xué)環(huán)節(jié)1】

引出“倍”，建立差比、倍比的并行結(jié)構(gòu)，對比兩種比法。

1.教師出示2個紅氣球和6個藍(lán)氣球的圖片，提出問題：

（1）你從圖中知道了哪些數(shù)學(xué)信息？

（2）藍(lán)氣球和紅氣球比，它們的數(shù)量有什么關(guān)系？

2.學(xué)生回答。

3.學(xué)生思考討論。

（1）你是怎么比的？和別人有什么不一樣？

（2）兩個數(shù)量比較，大家用了幾種比法？有什么不一樣？

（3）你能給這些比法取個名字嗎？

4.小結(jié)揭題：兩個事物（數(shù)量）進(jìn)行比較，可以用差來比，也可以用倍來比。用差比已經(jīng)學(xué)過，今天學(xué)習(xí)用倍比。

紅：○○

藍(lán)：○○○○○○

【評析】差比是一種一一對應(yīng)的關(guān)系，是一一對應(yīng)后數(shù)量的多少之比。而倍比是一份與多份的對應(yīng)關(guān)系，即“倍”是從一個標(biāo)準(zhǔn)量引出的“幾份”與“一份”的比，其標(biāo)準(zhǔn)量“一份”可以是一個也可以是多個。大部分學(xué)生并不清楚差比和倍比實際上是比較的兩種不同方法，這兩種方法都可以描述兩個數(shù)量的關(guān)系，以前用相差多少來描述，現(xiàn)在可以用另一種方式來描述。這兩種方法是平行并列的。這一環(huán)節(jié)設(shè)計，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)兩種方法的同時存在，并通過對比發(fā)現(xiàn)、體會兩種方法的異同，整體感受知識的自然發(fā)生發(fā)展過程，幫助學(xué)生初步感知、建立以下知識結(jié)構(gòu)：

二、感知本質(zhì)屬性，理解“倍”是描述兩個數(shù)量間相比后產(chǎn)生的一種關(guān)系——“倍”的實質(zhì)是“關(guān)系”

“倍”用來描述兩個數(shù)量比較后產(chǎn)生的一種關(guān)系，源于乘法的意義，是“幾個幾”抽象后形成的概念，但這僅僅停留在對“幾倍數(shù)”的理解，淡化了對于兩個量的比的關(guān)系，淡化了以一個數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，另一個數(shù)里有幾個這樣的標(biāo)準(zhǔn)，就是說這個標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的幾倍的本質(zhì)概念。因為數(shù)學(xué)中的“倍”，是指兩個數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，在除法算式里一般是指“商”，這個商可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或者是分?jǐn)?shù)。因此，如果僅從乘法的角度去認(rèn)識“倍”，顯然是不全面的，學(xué)生理解起來也是有難度的。雖然學(xué)生在乘法中有了一份一份疊加的經(jīng)驗，卻缺少了除法中“份”與“份數(shù)”的關(guān)系，也就是一份一份均分的過程。

【教學(xué)環(huán)節(jié)2】

認(rèn)識“倍”，深化概念理解，感知本質(zhì)屬性。

1.教師根據(jù)學(xué)生回答出示：“藍(lán)氣球數(shù)量（6個）是紅氣球數(shù)量（2個）的3倍”。

提出問題：你是怎么看出藍(lán)氣球的個數(shù)是紅氣球的3倍的？

2.學(xué)生回答。

3.教師根據(jù)學(xué)生回答板書：把2個紅氣球看成1份，藍(lán)氣球有這樣的3份，所以藍(lán)氣球的個數(shù)是紅氣球的3倍。

4.教師提問：你有辦法讓藍(lán)氣球數(shù)量不是紅氣球的3倍嗎？

（1）改變藍(lán)氣球個數(shù)。

（2）改變紅氣球個數(shù)。

5.教師用圖形和線段圖兩種方式表示倍數(shù)關(guān)系，請學(xué)生解讀倍數(shù)關(guān)系。

6.請學(xué)生觀察實物圖、圖形圖、線段圖這三種表達(dá)方式，有什么發(fā)現(xiàn)？為什么？

7.整理歸納：回憶剛才的學(xué)習(xí)過程，我們是怎樣比較兩個量的關(guān)系的？

【評析】“關(guān)系”有一定的抽象性，所以學(xué)生在認(rèn)識和應(yīng)用“倍”時會感覺比較困難。分析學(xué)生在倍的認(rèn)識中的錯誤原因，一是因為學(xué)習(xí)了乘法后，數(shù)量間關(guān)系從單一的差比（加減），增加了倍比，學(xué)生因此產(chǎn)生了選擇性困難，兩種比較方法混淆不清；二是因為數(shù)量間關(guān)系不夠清晰。這一環(huán)節(jié)的設(shè)計，通過學(xué)生對已有經(jīng)驗的提取和整理，發(fā)現(xiàn)把一個量看成一份，另一個量有這樣幾份就有幾倍，幫助學(xué)生在兩個數(shù)量的比較過程中感受倍的含義，初步構(gòu)建倍的模型。在此基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生對兩個數(shù)量間“3倍”關(guān)系進(jìn)行“破壞”，通過“一份數(shù)”或“幾份數(shù)”的改變來構(gòu)建新的倍數(shù)關(guān)系，從而進(jìn)一步感知數(shù)量間的相依變化，促進(jìn)對倍本質(zhì)屬性的理解。此外，這一環(huán)節(jié)還用實物圖、圖形圖、線段圖等多種表征形式來逐步抽象兩個量的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生更好地感知和理解。

三、滲透函數(shù)關(guān)系，感受兩個量之間的變化規(guī)律——“倍”的根本是“對應(yīng)”

克萊因提出了一個重要的觀點——以函數(shù)概念和思想統(tǒng)一數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容，他認(rèn)為：“函數(shù)概念，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學(xué)教材集中在它周圍，進(jìn)行充分地綜合。”函數(shù)思想的本質(zhì)是建立和研究變量之間的對應(yīng)關(guān)系，是中學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一條主線。在小學(xué)階段，讓小學(xué)生感知變量和不變量之間的關(guān)系，經(jīng)歷一些函數(shù)的雛形，可以豐富他們對函數(shù)的感受，有助于小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深刻性，有助于中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接。倍的認(rèn)識教學(xué)是一個很好的滲透函數(shù)思想的契機。

【教學(xué)環(huán)節(jié)3】

應(yīng)用“倍”，探求倍數(shù)關(guān)系的數(shù)量結(jié)構(gòu)，感受函數(shù)變化。

1.紅氣球2個不變，藍(lán)氣球2個2個增加，藍(lán)氣球個數(shù)和紅氣球個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系如何變化？藍(lán)氣球2個2個減少呢？

2.藍(lán)氣球12個不變，紅氣球是（ ）個時，藍(lán)氣球個數(shù)是紅氣球的（ ）倍。

動手操作，畫一畫、圈一圈、填一填，將結(jié)果整理成表格。

3.藍(lán)氣球個數(shù)是紅氣球的3倍不變，紅氣球和藍(lán)氣球怎么變化？（現(xiàn)場輸入數(shù)據(jù)，培養(yǎng)統(tǒng)計意識）

4.對比三張表，你有什么發(fā)現(xiàn)？

先獨立觀察，再小組合作討論交流。

5.小組匯報。

【評析】數(shù)學(xué)新課程把函數(shù)思想作為貫穿中小學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要思想，教材作為課程實施的載體，系統(tǒng)地挖掘并整理小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊含函數(shù)思想的因素，對提高小學(xué)教師對教材中函數(shù)思想的認(rèn)識，進(jìn)而在教學(xué)中有效地滲透函數(shù)思想具有重要的意義。函數(shù)的核心就是“把握并刻畫變化中的不變，其中變化的是‘過程’，不變的是‘規(guī)律’(關(guān)系)”。學(xué)生樂意去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能將規(guī)律表述出來的意識和能力，就是函數(shù)思想在教學(xué)中的滲透。

這個教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計了“1倍數(shù)不變”、“幾倍數(shù)不變”和“倍數(shù)不變”這三種情境，為學(xué)生提供了感受數(shù)量間函數(shù)變化的機會，既可以更全面、更深入地認(rèn)識倍，又可以在活動觀察中體會數(shù)據(jù)一一對應(yīng)的關(guān)系，感受到一個數(shù)據(jù)隨另一個數(shù)據(jù)的變化而變化的過程，這對學(xué)生函數(shù)思想的形成有很大的幫助。三張表、三種變化一起在同一課中出現(xiàn)，對學(xué)生來說有一定難度，需要給學(xué)生一定的時間和空間。

四、把握知識體系，體會“倍”只能解決兩個量比較中的部分關(guān)系——“倍”的作用是“基礎(chǔ)”

“倍”的概念是一個起始概念。這一概念的生長點是乘法的意義，下位知識是有關(guān)“倍”數(shù)的三類應(yīng)用題，建立正確的“倍”概念，是解答有關(guān)“倍”的應(yīng)用題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵。在后繼學(xué)習(xí)中，除法、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比這些知識都與“倍”概念有著千絲萬縷的聯(lián)系，因此，“倍的認(rèn)識”有著重要的承前啟后的基礎(chǔ)性作用。有些學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時會遇到一些困難，主要原因是對單位“1”的理解以及量率對應(yīng)上把握得不是很好，究其根本就是對“1倍數(shù)”為標(biāo)準(zhǔn)量以及一份對多份的對應(yīng)理解不夠，無法順利實現(xiàn)遷移和轉(zhuǎn)化。

【教學(xué)環(huán)節(jié)4】

突破“倍”，認(rèn)識特殊“倍數(shù)”，開啟后繼學(xué)習(xí)之門。

1.認(rèn)識“1 倍”。

圖示2個紅氣球和4個藍(lán)氣球，藍(lán)氣球減少2個，藍(lán)氣球個數(shù)和紅氣球比有什么關(guān)系呢？

2.認(rèn)識“一半”。

藍(lán)氣球如果再減少一個呢？藍(lán)氣球個數(shù)和紅氣球比有什么關(guān)系呢？

3.你還能舉出兩個量相比卻不太好用倍來說關(guān)系的例子嗎？那我們怎么辦呢？

4.整理小結(jié)。

【評析】“倍”是比出來的，“1倍”是誰和誰比？當(dāng)兩個量同樣多時，兩個量都是對方的“1倍”，當(dāng)一個量時，自己就是自己的“1倍”。當(dāng)比較量比標(biāo)準(zhǔn)量少時，兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系怎么說？當(dāng)比較量比標(biāo)準(zhǔn)量大時，兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系又怎么說？顯然沒有學(xué)過分?jǐn)?shù)的學(xué)生是無法回答的，但這個環(huán)節(jié)的設(shè)計，讓學(xué)生感受到了不是所有兩個量都能用“倍比”，現(xiàn)在都能用“倍”來表達(dá)，有一部分還等著我們后繼學(xué)習(xí)。同時又能體會到，這部分暫時不能用“倍”來表達(dá)的和今天的“倍”是師出同源、一脈相承的，這樣就能為將來的分?jǐn)?shù)、比等知識的學(xué)習(xí)埋下一顆種子。

綜上，筆者認(rèn)為，“倍”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要概念，學(xué)生對這個概念的理解和掌握程度會影響其后續(xù)的學(xué)習(xí)?！胺椒ā薄ⅰ瓣P(guān)系”、“對應(yīng)”、“基礎(chǔ)”這幾個關(guān)鍵詞是“倍”概念中最重要的部分，教學(xué)中要加以重視。