水下空泡航行體載荷及推力最大值的最小化問題

陳瑋琪

（中國船舶科學研究中心 水動力學重點實驗室，江蘇 無錫214082）

水下空泡航行體載荷及推力最大值的最小化問題

陳瑋琪

（中國船舶科學研究中心 水動力學重點實驗室，江蘇 無錫214082）

研究了帶空泡水下航行體在規定距離內從初速加速到預定速度的一維水彈道優化問題，利用變分法求出了水下航行體加速過程中最大推力達到最小的最優彈道理論解，此解也可作為航行體最大載荷達到最小的理論解。

空泡；水動力；彈道優化；變分法；極大極小問題

0 引 言

在規定時間或距離內，使水下航行體加速到預定速度，往往是產品的設計要求。例如水下魚雷發射就會遇到此類問題。若加速過程能使其推力為最小，顯然在工程上極有意義。同樣，若加速過程還能使航行體的截面結構軸向載荷達到最小，在工程上也極有意義。如何設計出滿足上述要求的優化彈道，是本文研究的目標。

彈道優化（或稱軌跡優化）在航天器的軌道機動問題中已獲得廣泛研究[1-2]，相對來說，水下航行體的水彈道優化研究卻比較少。林明東（2012）[3]研究了無尾舵超空泡航行體在垂直縱向平面變深度機動的最小時間優化問題，Ahn[4]研究了超空泡航行體達到最大射程的流動布局設計問題。但是對以載荷最小化為目標的水彈道優化問題未見研究。之所以載荷在水彈道問題中比較重要，其原因是水密度要比氣密度要大約800倍，因此水動力載荷對結構的破壞作用不能不考慮。例如，魚雷發射時的加速過程就有可能破壞魚雷的結構，因此研究水彈道與載荷之間的關系是有意義的。

本文的問題可歸結為一個有限距離內最大載荷最小化（Max-Min）問題：設某一給定的水下航行體在推力作用下從靜止或初速開始沿水平方向加速，要求在經過規定的距離L后，運動速度達到要求的VL。航行體在中間過程的速度不做要求，可以任意變化。求航行體某一截面的最大載荷達到最小的運動方式。其具體解釋見下文。

由于航行體在路程［0，L］中的速度可以任意改變，因此航行體實際上可以有無窮多種運動形式從靜止加速到速度VL（見圖1）。

圖1是路程與速度x-V坐標圖，圖中畫出了滿足要求的三種運動形式示意圖，顯然，運動曲線1，2，3都能在經過距離L后達到速度VL。但是在這些不同運動形式中，有的運動形式中會出現很大的截面載荷，而有的運動形式中的截面載荷都比較小。無論如何，任何運動形式在路程中的某一點上，一定存在一個最大截面載荷。由于太大的截面載荷有可能給航行體的結構產生破壞，因此我們希望全程的最大截面載荷都不能太大，這就提出了一個問題，即在所有這些運動形式中，哪一種運動形式的最大截面載荷是所有運動形式中最小的一種？也就是說，本問題是求一條最優速度曲線，使得最大截面載荷達到最小。

在有攻角條件下，航行體受到的載荷比較復雜，既有軸向載荷，也有彎矩，本文作為初步研究，僅考慮0攻角的一維運動，即僅僅考慮截面的軸向載荷，但是得到的理論方法完全可用于有攻角的彎矩問題。

圖1 滿足條件的無窮多的運動形式Fig.1 Infinite trajectories that meet the conditions

1 數學模型

設帶空泡航行體在初始靜止水流場中運動，流場的無窮遠壓力為p，空泡壓力為pc，水密度ρ，見圖2。圖中xoy是建立在靜止水流場中的絕對坐標系，ξcη是建立在航行體上的體坐標系，航行體的軸向速度為對于直線運動，航行體的速度還可表示為位置坐標x的函數V（x）。

圖2 帶空泡水下航行體Fig.2 Underwater body attached cavity

特別是，當截面ξ移動到航行體尾部截面l，即取ξ=l時，（1）式可表示為：

當空泡長度固定時，航行體濕表面積也是固定的，因此粘性阻力可表示為其中粘性阻力系數Cv是一個常數，同時空化數σ和航行體的空泡附加質量也都是常數。但是這時的航行體的初始速度應有這是因為航行體只有達到一定速度后才有可能產生空泡。

因為當ξ=l時，表達式（2）中的質量、附加質量項都變成航行體本身的質量和附加質量，所以在（3）式中及后面的表達式中都省略帶括號的“l”。

即本問題是一個求泛函極值的問題，可以用變分法直接求解。

2 變分方法

變分法或Pontryagin極大值原理是求解彈道優化的經典變分方法。Pontryagin極大值原理要求優化的目標出現在終端時刻，但是本問題中的最大載荷的出現時間或位置是未知的，與具體軌跡有關，因此本問題不能直接應用Pontryagin極大值原理。為此本文將根據變分法原理[5]重新推導求解方法。

將（7）式代入泛函（5）式中，得到

其中：α∈R表示α可取任意實數。

將（9）式代入泛函（8），泛函就變為一個含參變量α的普通函數，即有

先考察（12）式的第二式，有

再考察第一式，由于

因此，如果（14）式成立，則（15）式自然滿足。再根據（7）式的假定，α=0就是方程的解，將之代入方程（14）即有

方程（16）即是推力最大值最小化的速度V*所應該滿足的微分方程。

3 求解理論解

則根據（3）式和（16）式，得到微分方程

或可改寫為

其中：c1是待定的積分常數。注意到，代入方程（21）得到

兩邊再次積分就能得到速度的解析解

其中：c2也是待定積分常數。兩個積分常數c1和c2由初始速度和末端速度條件確定：

求得

將之代入（23）式得到最終的理論解

公式（26）即表示帶空泡航行體在規定路程上最大推力達到最小的理論彈道。

以下是兩種特殊情況：

（1）對于全濕流航行狀態，解的形式同（26）式，僅僅是將A改為

（2）對于具有尖銳邊緣空化器的航行體，只要航行體開始運動，通氣空泡幾乎就可以立即生成，在這種情況下，當初始速度V0近似取0，產生的計算誤差也并不大。因此對于從靜止開始加速的帶尖銳邊緣的航行體，（26）式可簡化為近似表達式

公式（27）可用試驗檢驗。試驗中，航行體名義上經過10 m路程后從靜止加速到30 m/s。圖3是公式（27）計算的理論彈道與通過多次試驗摸索出來的最優彈道曲線的對比，從中可看出兩者相當吻合。

如果將（27）式代入（3）式并利用（2）式求出加速度，可得到從0開始加速的最小推力

圖3 理論結果與試驗結果的比較Fig.3 The comparison of theory and experiment

注意到T*是一個常數。公式（28）表明，要在規定路程上從0加速到預定速度VL，水下航行體的最大推力不可能小于T*，且最好采用常推力T*，這在工程上可行且易實現。

對于航行體不帶空泡的運動或截面載荷最大值最小化問題，其解的形式也同于（26）式，只是需要根據截面的位置而修改其中的K值。

4 結 論

本文首先提出了水下空泡航行體在規定距離內從初速（或靜止）加速到預定速度的推力及截面載荷最大值達到最小化的一維彈道優化問題，然后給出了求解這類問題的變分方法，并在一定條件下求出了最優彈道的理論解，給出了最小推力公式。其最優的含義是，在所有滿足條件的運動形式中，最優彈道所需要的最大推力達到最小。其解完全可用于截面載荷最大值最小化問題。后續工作將考慮攻角、重力、局部空泡變化及其對附加質量和粘性力的影響，并將本文的方法用于彎矩最小化的彈道優化問題。

[1]王常虹,曲耀斌,陸智俊,等.航天器有限推力軌道轉移的軌跡優化方法[J].西南交通大學學報,2013,48:390-394. Wang Changhong,Qü Yaobin,Lu Zhijun,et al..Trajectory optimization method for spacecraft orbit transfer with finite thrust[J].Journal of Southwest Jiaotong University,2013,48:390-394.(in Chiniese)

[2]岳新成.有限推力航天器最優軌道機動控制[D].北京:北京大學,2010. Yue Xincheng.On finite-thrust spacecraft orbital maneuver optimal control[D].Beijing:Peking University,2010.(in Chiniese)

[3]林明東,楊希祥,張為華,等.無尾舵布局超空泡航行體彈道優化設計[J].國防科技大學學報,2012,34:116-120. Lin Mingdong,Yang Xixiang,Zhang Weihua,et al.Trajectory optimization of planing supported supercavitating flight[J]. Journal of National University of Defense Technology,2012,34:116-120.(in Chiniese)

[4]Ahn S S.An integrated approach to the design of supercavitating underwater vehicles[J].Georgia Institute of Technology, 2007.

[5]歐斐君.變分法及其應用:物理、力學、工程中的經典建模[M].北京:高等教育出版社,2013.

Problem of the min-max load and min-max thrust of the underwater cavitation body

CHEN Wei-qi
(China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214028,China)

The trajectory optimization problem for minimizing the maximum load in the process of the underwater vehicle acceleration from the rest state to the specified speed in a fixed distance is proposed,and the theoretical optimal solution of velocity to minimize the value of maximum thrust is solved by variational method,furthermore,the theoretical optimal solution is the same with the min-max load problem.

cavtiy;hydrodynamics;trajectory optimization;variational method;min-max problem

0302 0352

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2016.08.001

1007-7294（2016）08-0929-06

2016-04-08

水動力預研基金資助項目（51314010403）

陳瑋琪（1971-），男，研究員。