彈性邊界約束的正交加肋圓柱殼振動特性分析

劉 倫，曹登慶，孫述鵬，龍 鋼

（1.哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001；2.西安現代控制技術研究所，西安710065）

彈性邊界約束的正交加肋圓柱殼振動特性分析

劉 倫1，曹登慶1，孫述鵬1，龍 鋼2

（1.哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001；2.西安現代控制技術研究所，西安710065）

使用Gram-Schmidt正交化構造了滿足圓柱殼自由邊界條件的一組正交多項式，并以此為基函數構造圓柱殼的振動位移表達式；在此基礎上，基于Sanders殼體理論，利用Rayleigh-Ritz法，提出了一種用于分析彈性邊界約束的正交加肋圓柱殼振動特性的方法。利用該方法，求解了兩端簡支的正交加肋圓柱殼的自由振動固有頻率，將其與文獻結果對比，驗證了文中方法的正確性；該文還分析了邊界各方向約束剛度對正交加肋圓柱殼振動特性的影響。研究表明，本文的方法收斂性好，計算效率高，且可用于分析受經典邊界約束的加肋殼振動特性，具有很強的通用性。

正交加肋圓柱殼；彈性邊界；正交多項式；振動特性；Rayleigh-Ritz法

0 引 言

正交加肋圓柱殼被廣泛應用于工程結構中，比如潛艇、壓力容器、航空發動機和航天器外殼等。這些殼體結構所受的動力學荷載復雜多變，其振動特性對此類結構的優化設計十分重要，因此對正交加肋圓柱殼的振動特性研究具有重要的理論意義和應用價值。

根據對肋條處理方式的不同，目前的研究方法可以分為兩類。一類是將肋條的剛度和質量分布到整個殼體上，得到一個等效的正交異性圓柱殼，即所謂“Smearing-out”技術或者平均法[1-2]，這類方法適用于處理加密肋圓柱殼（肋間距較小）的振動問題，但由于所用的等效方法依賴于圓柱殼振動的環向波數和肋條間距，因此，當肋條間距相對較大（加稀肋）或者振動波長小于肋條間距時，該類方法不再適用。另一類是將各肋條看作殼體上的離散單元，這類方法適用于研究加密肋和加稀肋的圓柱殼振動問題，適應性很好，因此得到了很大的發展。孟憲舉等[3]根據圓柱殼的Hamilton正則方程及其半解析解法，提出了一種對圓柱殼厚度和肋條高度沒有限制的有限元模型。Forsberg[4]將加環肋圓柱殼分割成殼節段和肋節段，使用傳遞矩陣法對加環肋圓柱殼振動特性進行了研究；Huang[5]使用導納法對兩端簡支的高速旋轉加環肋圓柱殼進行了研究；此外，波傳播法也被用于加肋圓柱殼的振動特性分析，代表性的工作有Zhang等[6]、Gan等[7]和Liu[8]等。Sun等[9]使用傅里葉級數展開，提出了一種能求解多種邊界條件下旋轉薄壁圓柱殼振動響應的方法；還有學者使用能量法研究加肋圓柱殼的振動問題，如Wang和Lin[10]、李學斌[11]；此外，Rayleigh-Ritz法也被廣泛用于研究加肋圓柱殼振動特性，例如：Jafari和Bagheri[12]研究了不均勻加肋圓柱殼的振動問題，李正良等[13]求得了正交加肋圓柱殼—球殼組合結構在固定—自由及簡支—自由邊界條件下的自由振動頻率。第二類方法適用性好，無論加密肋還是稀肋都能得出準確的結果，但由于要分別處理多個肋條與圓柱殼之間的變形相容條件，因此這類方法往往都隨著肋條數量增加而變得異常復雜。

以上文獻的分析方法大都只能用于分析受經典邊界條件約束（如固支、簡支）的圓柱殼振動特性，鮮有針對彈性邊界約束的圓柱殼振動分析方法。雖然當下的有限元軟件，如ANSYS，可以用于處理彈性約束的加肋圓柱殼振動問題，但不利于對結構進行優化設計。另外，實際工程中殼體所受的復雜邊界條件不能簡單地考慮為經典邊界條件，但可以等效為彈性支承。因此，基于以上幾點，有必要提出針對彈性邊界約束下的加肋圓柱殼振動分析方法。

Sun等[14]使用彈簧模任意邊界，研究了轉動圓柱殼的自由振動特性。在此基礎上，本文將肋條看作是離散的單元作用在圓柱殼上，用Rayleigh-Ritz法推導了彈性約束下正交加肋殼的頻率方程?；静襟E為：（1）基于Sanders殼體理論，寫出圓柱殼、肋條的動能和應變能，以及彈性邊界的應變能；（2）使用Gram-Schmidt正交化構造滿足圓柱殼自由邊界條件的一組正交多項式，將其作為基函數，構造柱殼中曲面振動位移函數；（3）用振動位移函數對加肋殼結構（包括彈性邊界）能量進行離散，使用Rayleigh-Ritz法推導出彈性邊界約束的正交加肋殼頻率方程。該分析方法可以用于分析受彈性邊界約束的加肋圓柱殼振動特性，在使用與經典邊界條件相對應的邊界約束剛度時，此方法還可用于分析受經典邊界約束的加肋圓柱殼振動問題。

1 正交加肋圓柱殼振動理論分析

圖1 兩端彈性約束的正交加肋圓柱殼模型Fig.1 Model of orthogonal stiffened cylindrical shells constrained by elastic boundary at two ends

考慮如圖1所示的長L、厚H、半徑為R的薄壁正交加肋圓柱殼，環肋數量Nr，縱肋數量Ns，第i條環肋的寬度和高度分別為bri和dri，第i條縱肋的寬度和高度分別為bsi和dsi，各環肋（縱肋）尺寸一致，且均勻布置；殼兩端各受一圈彈性支承約束，單位長度上的徑向、切向、法向和轉動方向的約束剛度分別為ku、kv、kw和k?。殼體材料密度為ρ，楊氏彈性模量為E，剪切模量泊松比為μ；第i條環肋的密度為ρri，楊氏彈性模量為Eri，剪切模量為Gri；第i條縱肋的密度為ρsi，楊氏彈性模量為Esi，剪切模量為Gsi。下標ri代表第i條環肋，si代表第i條縱肋。

1.1 正交加肋圓柱殼的動能和勢能

設ξ=x/L，由于所考慮的圓柱殼為薄壁，故可忽略轉動慣量的影響，因而圓柱殼的動能可表示為：

利用Sanders殼體理論，圓柱殼的應變能可以寫成：

考慮環肋偏心和繞x、z軸的轉動慣性的影響，其動能可表示為：

考慮縱肋偏心的影響，其動能可表示為：

環肋的應變能為：

縱肋的應變能為：

正交加肋圓柱殼兩端彈性約束的勢能可以寫為：

其中：下標0和l分別代表圓柱殼的兩端x=0和x=l。

1.2 利用Rayleigh-Ritz法推導正交加肋圓柱殼頻率方程

Bhat[15]在研究矩形板的振動時首先使用正交多項式構造振型函數，Lim和Liew[16]使用正交多項式構建了圓柱殼的軸向振型函數。對于兩端自由的圓柱殼，其滿足幾何邊界條件的正交多項式組可用Gram-Schimidt正交化構造，其首項表達式如下：

根據Bhat[15]的推導，可以得到一組正交多項式：

使用由（10）、（11）式所得到的正交多項式組作為基函數，可設兩端自由的圓柱殼環向波數為n時中曲面的振動位移函數表達式為：

式中：ω是正交加肋圓柱殼的固有圓頻率，Nt是圓柱殼的振動位移基函數的項數，ajn、bjn和cjn是待定常數。

忽略阻尼，由能量守恒有：

將（13）式代入（14）式，由Rayleigh-Ritz法，得瑞利商：

其中：

ω*2對ajn、bjn和cjn取極小值，即：

可得到彈性邊界約束下正交加肋圓柱殼的頻率方程：

2 結果與討論

2.1 有效性及收斂性分析

為了便于陳述，針對表1給出的具有不同材料常數、幾何參數和加肋形式的正交加肋圓柱殼，分別用模型M1和M2表示。為驗證本文方法的正確性，計算了模型M1的固有頻率，并與已有文獻結果進行了對比。模型M1兩端簡支，縱肋和環肋等間距布置，且偏心距一致。簡支邊界對應的幾何邊界條件為：殼兩端環向和徑向位移為零，也即這兩個方向上的約束剛度無窮大，從（19）式可知，環向和徑向無量綱約束剛度比有量綱剛度小109量級（有量綱剛度值kv、kw與E（109量級）相除），因此，取無量綱剛度時，環向和徑向約束剛度為1011量級，可近似地描述無窮大的約束剛度；軸向和轉動方向自由，則相應的約束剛度為零，由（19）式得在表2中列出了利用（18）式計算的軸向振型階數m=1、環向波數n=1～5模態下模型M1的固有頻率以及與現有文獻結果的比較，rt表示本文Nt=13的結果與相應文獻結果的相對差異。從中可以看出，由于本文和文獻[17]都考慮了環肋和縱肋偏心的影響，因此本文的計算結果與文獻[17]的結果最接近，相對差異不超過3%，這也說明通過使用合適的彈性邊界約束剛度可以模擬簡支邊界，也即本文分析彈性邊界下正交加肋殼的方法可用于分析受經典邊界約束的加肋殼振動特性，這表明該方法具有很強的通用性。本文在表達環肋動能時還計入了轉動慣性的影響，因此結果比文獻[17]的更接近真實值。文獻[1]、[18]和[19]運用了Love殼體理論，都未考慮肋條偏心的影響，且文獻[19]用梁函數近似圓柱殼軸向振型函數，因此這三篇文獻的結果與本文的存在一定差異。從表2可以看出，使用本文所提出的方法計算正交加肋圓柱殼固有頻率時，振動位移基函數僅需截取Nt=7項就可得到m=1、n=1～5模態下固有頻率的收斂值。

表1 模型M1/M2材料和幾何參數Tab.1 Material and geometric parameters for Model 1 and Model 2

表2 模型M1頻率及與文獻結果的比較f(Hz)(m=1)Tab.2 Comparisons of natural frequencies with results from literature for Model 1 f(Hz)(m=1)

在計算正交加肋圓柱殼的固有頻率時，截取的振動位移基函數項數越多，即Nt取得越大，計算結果就越接近精確值。因此，可以根據實際工程的需要而取適當的Nt以獲得足夠精確的結果。

為進一步分析本文方法的收斂性，檢驗其計算效率，針對某一模態，定義截取Nt項振動位移基函數時所求得的固有頻率fNt的相對誤差RtNt為：

圖2 模型M2固有頻率在六種經典邊界下的收斂性（m=1，n=2）Fig.2 Convergence of natural frequencies for Model 2 with six classical boundary conditions(m=1,n=2)

其中： fref是該模態下正交加肋圓柱殼的具有足夠精度的固有頻率。從表2可以看出，在m=1，n= 1～4的模態下，Nt=7、9、13時柱殼的固有頻率基本保持不變，僅m=1，n=5模態下的頻率發生了細微變化。因此，為了使收斂性分析更精確，本文用Nt=19時所得固有頻率作為fref，即fref=f19。本文用F、S和C分別代表自由、簡支和固支邊界約束，借鑒對簡支邊界的分析，各邊界條件所對應的無量綱約束剛度分別為利用（18）式計算了表1所示模型M2在六種經典邊界條件下各振動位移基函數截取項（Nt=3～19）所對應的固有頻率及其相對誤差，如圖2所示，圓柱殼模態為m=1，n=2。從圖2可以看出，在各邊界條件下，針對所取的模態，隨著截取的振動位移基函數項數Nt逐漸增大，對應的固有頻率相對于精確值的誤差逐漸降低，最終有收斂于零的趨勢。當Nt=7時，各邊界條件所對應的固有頻率的相對誤差已在1%以內，而表2中針對模型M1的計算結果也是在Nt=7時就已收斂。對比圖2中各條收斂曲線可以發現，就模型M2而言，在所取的模態下，簡支-簡支（S-S）、固支-簡支（C-S）和固支-固支（C-C）所對應的固有頻率收斂速度要比其他邊界條件下的更快。

2.2 邊界剛度對正交加肋圓柱殼固有頻率的影響

圖3 彈性約束和固支-簡支約束下加肋殼和不加肋殼固有頻率隨n變化曲線（m=1）Fig.3 Variation of natural frequencies for stiffened and unstiffened shells with respect to the circumferential wavenumber n for elastic boundary and C-S boundary condition (m=1)

圖3 表示了肋條和邊界剛度對正交加肋圓柱殼固有頻率的影響。所用殼和肋的材料及幾何參數見表1模型M2，邊界條件分別為固支-簡支（C-S）和彈性支承，其中彈性支承所用的邊界各方向無量綱約束剛度值分別為從圖3可以看出，在環向波數n較小時，邊界條件對加肋殼固有頻率的影響很大，肋條的影響則很小，固支-簡支（C-S）邊界約束下的不加肋圓柱殼的固有頻率甚至高于彈性支承下正交加肋圓柱殼的固有頻率。隨著環向波數n的增大，對不加環肋圓柱殼而言，邊界條件的影響逐漸降低，n足夠大時，彈性支承下的殼體固有頻率與固支-簡支（C-S）邊界下的殼體固有頻率幾乎一致；對正交加肋圓柱殼而言，邊界條件的影響仍然很大，彈性支承下（邊界約束較弱）的正交加肋圓柱殼固有頻率始終小于固支-簡支（C-S）邊界下加肋殼的頻率；此外n較大時加肋殼的頻率始終高于光殼的頻率，肋條的影響逐漸增大。

假定正交加肋圓柱殼兩端受相同的彈性邊界約束，可得圖4與圖5所示的在m=1、n=2和m=2、n=5兩種模態下邊界各方向上的約束剛度對殼體固有頻率的影響。所用模型參數見表1模型M2。綜合分析圖4與圖5可以看出，圖5（a）和（b）中殼體固有頻率變化幅度要遠小于圖4（a）和（b）中的頻率變化幅度，這表明對于高階頻率（較大的m和n，這里是m=2、n=5），邊界約束剛度的影響要小很多，這一點也在圖3中反映出來；另外，對不同的模態，邊界各方向上的約束剛度對正交加肋圓柱殼固有頻率的影響趨勢一致，為簡便起見，本文只具體分析圖4。在圖4（a）中，轉動方向和軸向的無量綱約束剛度保持為0，環向和徑向無量綱約束剛度從0逐漸增大到100，也即正交加肋圓柱殼的邊界約束由自由-自由（F-F）逐漸發展到簡支-簡支（S-S）。在此過程中，環向約束剛度與徑向約束剛度對殼體固有頻率有著相似的影響趨勢，均使得殼體固有頻率逐漸增大，增大的速率先快后慢，最終趨于零。從圖4（a）中可以看出，當足夠大時，殼體固有頻率收斂于一個值，這便是簡支-簡支（SS）邊界下正交加肋圓柱殼的固有頻率。在圖4（b）中，環向和徑向的無量綱約束剛度均保持在100，軸向和轉動方向上的無量綱約束剛度從0逐漸增大到100，也即正交加肋圓柱殼的邊界約束由簡支-簡支（S-S）逐漸發展到固支-固支（C-C）。在此過程中，轉動方向上的約束剛度對殼體固有頻率幾乎沒有影響，相比之下，軸向約束剛度的增加則使殼體固有頻率顯著增大，增大速率由慢到快再變慢。從圖4（b）中可以看出，當足夠大時，殼體固有頻率收斂于一個值，這便是固支-固支（C-C）邊界下加環肋圓柱殼的固有頻率。

圖4 正交加肋圓柱殼固有頻率與邊界約束剛度關系曲面（m=1，n=2）：（a）=0，（b）=100Fig.4 Variation of natural frequencies for orthogonal stiffened cylindrical shells with respect to restraint stiffness(m=1,n=2):(a)=0,(b)=100

圖5 正交加肋圓柱殼固有頻率與邊界約束剛度關系曲面（m=2，n=5）：（a）=0，（b）=100Fig.5 Variation of natural frequencies for orthogonal stiffened cylindrical shells with respect to restraint stiffness(m=2,n=5):(a)=0,(b)=100

3 結 論

本文將肋條看作是作用在殼體上的離散單元，使用Rayleigh-Ritz法，提出了一種用于分析兩端彈性約束的正交加肋圓柱殼振動特性的方法。該方法采用了Sanders殼體理論，在假設圓柱殼中曲面振動位移時，使用了一組由Gram-Schmidt正交化得到的滿足圓柱殼自由邊界條件的正交多項式作為基函數。驗證了該方法的正確性，分析了其收斂性，并基于此方法分析了邊界約束剛度對殼體固有頻率的影響。研究表明：

（1）本文提出的分析方法收斂性好，計算效率高，能方便地用于加肋殼優化設計。該方法雖是針對受彈性約束的正交加肋殼提出的，但也可用于受經典邊界約束的加肋殼振動特性分析，具有很強的通用性；與邊界識別相結合時，該方法能用于受任意邊界約束的加肋圓柱殼振動特性分析。

（2）環向波數n較小時，邊界約束剛度對正交加肋圓柱殼的振動特性影響大于肋條的影響，但當n增大時，邊界約束剛度的影響逐漸降低，肋條的影響增大，也即邊界條件對高頻影響不大。

（3）對于某一方向上的邊界約束剛度，在不同模態下，對正交加肋圓柱殼固有頻率有著相似的影響。環向和徑向約束剛度增加，均使得殼體頻率增大，增大速率逐漸降低，最終趨于零，且環向約束剛度能更有效地增大殼體頻率；轉動方向上的約束剛度變化對殼體頻率幾乎沒有影響，但軸向約束剛度增加，能顯著增大殼體頻率，增大速率先升后降。

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附錄

Vibration analysis of orthogonal stiffened cylindrical shells constrained by elastic boundary

LIU Lun1,CAO Deng-Qing1,SUN Shu-peng1,LONG Gang2
(1.School of Astronautics,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China; 2.Xi’an Modern Control Technology Research Institute,Xi’an 710065,China)

A set of characteristic orthogonal polynomials satisfying free-free boundary condition is constructed directly by employing Gram-Schmidt procedure,and then is employed to represent the general formulations for the displacements in any axial mode of free vibrations for shells.Based on Sanders’shell theory,a method using to analyze vibration characteristics for orthogonal stiffened cylindrical shells constrained by elastic boundary is proposed by employing Rayleigh-Ritz method.Comparing with the available analytical results for a simply supported orthogonal stiffened cylindrical shell,the method proposed in this paper is verified and it is proved that this method can also be used to analyze vibration characteristics of shells with classical boundaries.Strong convergence is observed from convergence study.Further,the effects of the restraint stiffness for elastic boundary in axial,circumferential,radial and rotational directions, on the natural frequencies are studied.

orthogonal stiffened cylindrical shells;elastic boundary;characteristic orthogonal polynomials; vibration characteristics;Rayleigh-Ritz method

O326

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2016.08.011

1007-7294（2016）08-1016-12

2016-02-25

國家自然科學基金項目（90816002）

劉 倫（1990-），男，碩士研究生，E-mail:lnhgdht@sina.com；曹登慶（1958-），男，教授，博士生導師，E-mail:dqcao@hit.edu.cn。