探究導數解決不等式問題3類型

◇ 江西 嚴亞軍

(作者單位：江西省贛州市南康區唐江中學)

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探究導數解決不等式問題3類型

◇ 江西 嚴亞軍

導數應用問題是每年高考的必考內容,但在高考中為了體現以考查能力立意的命題思想,導數的相關綜合題目通常都以其他數學分支如數列、不等式等為背景命制,以加強學生“轉化與化歸”“數形結合”“分類討論”等數學思想的應用能力,尤其是不等式問題,難度較大,屬中、高檔題.歸納起來常見的命題角度有: 1)證明不等式; 2)不等式恒成立問題; 3)存在型不等式成立問題.

下面從不同角度舉例說明．

1 證明不等式

(1)求函數f(x)的最大值;

g(x)<1.

當x∈(-∞,0)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增; 當x∈(0,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減.所以f(x)的最大值為f(0)=0.

(2)證明:由(1)知,當x>0時,f(x)<0,g(x)<0<1.

當-1x.

設h(x)=f(x)-x,則h′(x)=-xex-1.

由-1h(0)=0,即g(x)<1.

綜上,總有g(x)<1.

2 不等式恒成立問題

設h(x)=2lnx+x+3/x(x>0),則

當x∈(0,1)時,h′(x)<0,h(x)單調遞減;

當x∈(1,+∞)時,h′(x)>0,h(x)單調遞增. 所以hmin(x)=h(1)=4.對?x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,所以a≤hmin(x)=4.即實數a的取值范圍是(-∞,4].

3 存在型不等式成立問題

總之,導數在不等式問題中的應用問題解題策略主要有:

1) 利用導數證明不等式.

若證明f(x)

2) 利用導數解決不等式的恒成立或存在性問題.

利用導數研究不等式恒成立或存在性問題,首先要構造函數,利用導數研究函數的單調性,求出最值,進而得出相應的含參不等式,從而求出參數的取值范圍;也可分離變量后構造函數,直接把問題轉化為函數的最值問題.

(作者單位：江西省贛州市南康區唐江中學)