看問題抓本質
———解答絕對值不等式

◇ 福建 陳美蘭

(作者單位：福建省漳平第一中學)

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看問題抓本質
———解答絕對值不等式

◇ 福建 陳美蘭

高考對絕對值不等式的考查方式主要有與函數結合在一起考查絕對值的幾何意義、絕對值不等式的解法．解含有絕對值的不等式的基本思想就是去絕對值,只要把握住這一核心,就可以將新問題轉化為熟悉的問題.

1 問題展示

(1) 解不等式f(x)≥5;

(2)f(x)-a≥0對任意x∈R恒成立,求實數a的取值范圍;

(3) 若不等式f(x)≤ax的解集非空,求實數a的取值范圍.

去絕對值符號的方法有多種,如定義法、利用絕對值的幾何意義、平方法、零點分區間討論法、等價轉化法等．去掉絕對值符號時,要注意“轉化”過程中的等價性．

對于含有絕對值的函數最值問題,可以通過去掉絕對值轉化為分段函數,利用函數圖象求其最值.另外如果含有2個以上的絕對值,也可以聯想絕對值三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|．

2 多法探究

綜上,原不等式的解集為(-∞,-3]∪[2,+∞).

方法2

圖1

由-2x-1=5,得x=-3,由2x+1=5,得x=2,原不等式解集為(-∞,-3]∪[2,+∞).

(2) 方法1 從f(x)的圖象上來看,fmin(x)=3,要使得f(x)-a≥0,對任意x∈R恒成立,應該有a≤3．

方法2 由絕對值三角不等式得

|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3,

所以fmin(x)=3,要使得f(x)-a≥0對任意x∈R恒成立,應該有a≤3．

圖2

(3) 在同一個坐標系中作出函數y=ax當a取不同值時的圖象,如圖2所示.由圖可知,當且僅當a≤-3/2或a>2時,函數y=f(x)與y=ax的圖象有交點,此時不等式f(x)≤ax的解集非空．所以a的取值范圍是(-∞,-3/2]∪[2,+∞)．

第(1)問方法1是利用絕對值的意義去絕對值；方法2是應用函數的觀點認識不等式問題,數形結合求解是突破口．

第(2)問方法1的觀點是化為分段函數,畫出分段函數的圖象,從圖象上觀察最值；方法2是利用絕對值三角不等式直接求出最值．

第(3)問其中一個函數是已知的,另一個函數的圖象是變化的,通過尋找滿足條件的臨界值,確定滿足條件的參數取值范圍．可見在求解絕對值問題過程中函數觀點以及數形結合思想的重要性．

(作者單位：福建省漳平第一中學)