高中數學教學中“變題”的方法與技術研究

章杰

摘 要：高中數學教學中，學生的解題能力培養是關鍵. 實際教學中，學生的解題能力不強，與多重因素有關，學生對習題情境的把握，對解題思路的判斷等，都是重要的影響因素. 變題研究，可以讓形似或神似的習題成為習題組，可以讓學生在對比的過程中形成深刻認識. 變題研究不能放棄傳統的思路，同時要重視變式思路；變題研究需要重視技術視角下的變題步驟，以確定好母題與子題.

關鍵詞：高中數學；變題；變題研究；方法；技術

高中數學教學中，學生的解題能力是培養重點，傳統的教學思路中，學生的解題能力更多地在雜亂無章的題海中自然形成，低效性不言而喻. 而要想系統地培養學生的解題能力，除了基于已有的習題按知識體系進行分類專題訓練之外，“變題”是一種堪稱能夠迅速提升學生識題解題能力的“捷徑”，而變題的方法與技術則是變題研究的核心，近些年結合教學實踐以及他人的經驗，筆者展開了相對系統的研究，形成一些粗淺的認識，在此向同行們做個匯報，并希望得到有益的建議.

關于變題的背景與理論概述

對于當前的教學實際來說，習題可以說是高中數學教學的核心，在不帶偏見的情況下審視習題，可以發現習題就是教學的靈魂. 尤其是對于高中數學而言，習題解答的過程，就是學生運用所學的數學知識，結合自身的數學思維，在分析問題的基礎上尋找解決問題途徑的過程. 在這個過程中，學生的學習能力可以得到彰顯，分析思維能力得到體現，學習品質與解題心智得到評價，因此習題解答是衡量學生數學學習的重要途徑. 但在實際教學中，我們看到相當一部分學生在面對習題時，常常暴露出思維單一、生搬硬套的缺點，而教師的感覺常常是：講過的才會；講過的也不會；無論怎么講都不會……背后暴露出來的，就是學生解題能力弱，而解題能力弱的原因，又是學生在面對變化了的習題面前，無法有效地判斷習題情境并尋找數學工具.

筆者反思過一個問題：任何一道習題尤其是經典的習題，常常是出題者心血的凝聚，更是教學智慧的凝聚. 在這個過程中，命題者會有什么樣的思維呢？在實際教學中，如果讓學生經歷與命題者類似的心理活動過程，那對學生的數學學習來說不就是一種解題心理適應能力的培養嗎？基于這樣的思考，“變題”及其訓練就成為筆者研究的一個重點.

變題對于高中數學來說并不完全是一個新的概念，很早之前就有變式訓練的提法（當然，筆者的變題研究也相當程度上借鑒了變式訓練的思想），再后來有一題多變的提法. 進入課程改革之后，習題的編制更加重視情境，于是接近生活的各類試題層出不窮，而透過這種變化的表象，可以看到實質性的數學工具使用并沒有改變. 基于這樣的實際情況，筆者感覺在高中數學教學中實施變題，有著明顯的實際意義. 而更加顯而易見的是，變題中的方法與技術應當是教師重點研究、學生重點感知的內容.

也就是說，以變題為主線的高中數學習題教學，應當是在教師掌握變題方法與技術的基礎之上，讓學生在變題訓練的過程中生成良好的解題直覺. 階段性的研究表明，變題有形式之變與實質之變之分，前者在新知教學之初，可以讓學生在形式之變中重復運用所學知識，從而起到積累作用且不會讓學生有審美疲勞；而后者則可以開拓學生的解題思路，形成良好的解題視域.

高中數學變題方法技術研究

顯然，研究的重心應當放在變題的方法與技術上，在實際教學的過程中，我們首先確立了變題的基本思路，即對典型習題進行分類整理，然后再去謀“變”. 當前高中數學教材版本眾多，但習題尤其是變題研究不應當拘泥于某一套教材，因為知識是相通的，高中學生的數學思維也具有共性，因此基于所教教材，將眼光放至全國范圍并縱觀近年來各地的高考與模擬試題，是變題的基礎與指向.

研究表明，變題的方法有這樣的幾種：題型改變；數據改變；情境改變；已知、未知關系改變；變式思想引領下的改變等.

其中，題型改變主要應針對當前高考題型，可以將填空、選擇題改變為計算題，這樣可以培養學生思維的縝密性；將簡單計算題、證明題改為填空或選擇題，可以培養學生良好的直覺性思維；數據的改變可以對數學基礎較差的學生施行，而情境的改變則應當面向除了極少數尖子生之外的其他學生，這可以培養他們良好的習題情境適應性. 至于已知與未知關系的改變，則更多的是為了培養學生構建基本的數學邏輯關系，讓學生知道如何基于數學邏輯關系尤其是數學公式進行思路變換的訓練.

以上一段不舉例說明，一個重要的原因就是傳統的教學中對此已經有足夠的重視，日常教學中的關鍵在于落實. 且需要強調的是，這些思路看起來沒有所謂的新意，但對于學生而言卻是極好的思維訓練手段，不可因為沒有新意而舍棄之. 此處筆者想強調的是基于變式思想進行的變題研究.

變式變換的是習題的表現形式，同時保證習題的思想不變. 這里的思想不是指考查對象即數學知識點，而是指對學生數學思維的考查. 在實際教學中經常會看到隸屬不同知識點習題實際上是用的同一種數學思維，而學生恰恰難以意識到這一點.基于此進行變題研究，顯然很有價值.

例如，作圖是學生解數學題的基本功，實際教學中，相當一部分學生作圖會出現不準確的情形，即使常常因此出錯也尋找不到原因. 于是筆者給出這樣的一組兩道試題（變題的結果）：

題1：判斷命題的正確性：當a>1時，關于x的方程logax=ax沒有實數根.

題2：已知方程x=sinx，則其解有幾個.

這兩道試題看似沒有直接聯系，但在解題思路上卻存在著需要作圖的共同特征，而且這兩道題具有基礎性，可以在新知識教學或者階段性復習中使用. 筆者的使用是先呈現第一題，然后就學生出錯的情況進行尋因，同時不做評價；在第二題呈現并在學生產生類似解題感覺之后，再強調兩者的共性，即作圖要準確. 這樣學生的認識自然就會深刻，反之，不提供這樣的變題結果，學生很少有這種歸因的機會，也就很難認識到數學作圖的重要性.

從技術的角度來看，筆者所總結出的變題的一般步驟包括這樣幾步：尋找母題；分析母題；實施變題；解決變題；評估變題.

母題從哪里來？來源很多，但學生易出錯的是重點. 如上面的題1，筆者就是發現學生有即使找到了簡便的思路即作圖，卻仍然無法得到正確答案的現象. 于是筆者以之為母題并進行分析，然后尋求變題（變題可以是另外一道題目，也可以是母題的變換），上題2是筆者在題1的基礎上總結出的將兩個不同類型的函數即y=x與y=sinx建立等量關系，同時在作圖時如果容易出錯的話，那就可以作為題1的母題.在學生完成解答之后，再回頭進行評估. 評估的過程，其實就是解析思維過程，提升解題能力的過程.

總結以上提到的變題的方法與技術，可以看到變題的關鍵有三：一是扣準學生的學習需要.高中數學習題如海，能總結出規律的也數不勝數，但切合學生需要的是最關鍵的，在不同的學習階段需要什么樣的變題組，是教師需要積累的教學經驗；二是變題的方法不拘泥于新舊. 適合的才是最好的，傳統的變題方法未必不好，因為今天的高中學生在建構新知識時仍然需要；新的變題方法也是必需的，因為其是適應新習題的需要；三是變題之變在于思想相通. 要變換的不僅僅是題目的形式，更是解題思想. 只有一個解題思想才能統領一類題目，也只有基于解題思想去實施變題，才能加大學生的解題視野，提升解題能力.

變題是如何促進學生學習的

在研究的過程中，筆者還關注一個問題，那就是變題在促進學生解題能力提高的過程中，具體是如何發揮作用的.研究發現，有以下三點值得重視：

一是注意變題的科學性.如前所說，變題要切合學生的需要，有時能讓教師眼前一亮的習題未必是好題，因為提供給學生的時機可能不對，這一點同行們都比較清楚，不贅述.

二是注意變題的適切性.變題之后，子題與母題必須有明確的聯系點，且這個聯系點必須為學生所知道，只有這樣才能讓相似的試題成為組題，從而擴充學生的記憶容量.

三是注重學生的主體參與.這也是容易忽視的一點，變題一定不能只成為教師的事情，一定需要學生的主體參與. 要改變單向的教師變、學生練的情形，要讓學生參與到變題的過程中來，他們在變題中表現出來的思路或者說不足，應當成為教師變題時重點考慮的內容. 同時，讓學生參與變的過程，也可以讓學生換一個視角，即從命題者的角度去看待習題. 有了這樣的視角與高度，學生解題時的心理會大不相同，這對于學生把握命題者思路、尋找解題途徑而言，極有好處.

此外需要強調的是，變題過程中教師需要大力關注學生在課堂上的表現，這對學生思維的把握，對教師把握變題研究及教學節奏來說，也很重要，限于篇幅，亦不贅述.