向量在高中數學中的靈活使用

殷浩宇

【摘要】向量是數學里面的一個重要內容，從初中開始接觸向量的概念，在高中階段向量開始發揮一些獨特的作用，深刻理解向量的定義以及靈活使用向量的方法往往可以起到意想不到的效果。本文通過介紹平面向量的一些特殊方法來說明向量的靈活性和重要性。

【關鍵詞】平面向量 高中數學 特殊方法

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）03-0159-02

1.平面向量數量積的幾何意義及其應用

1.1平面向量數量積的意義

平面向量的數量積的定義式為： · = cosθ其坐標表達式為： =（x1，y1）， =（x2，y2）， · =x1x2+y1y2。在利用這兩個表達式求向量數量積有時會遇到麻煩，這些量都不容易獲得。

首先對向量的數量積表達式做一個簡單的化簡：： · =： （ cosθ），其中括號中的 cosθ的幾何意義指的是向量 在向量 的投影，因此只要知道其中一個向量的模長，還知道另一個向量在該向量上投影的長度，就可以算出這兩個向量的數量積。

1.2平面向量數量積幾何意義的應用

例1 如下圖所示，在平行四邊形ABCD，AE⊥BD于E點，且AE=3，求 · 的值。

分析：本題的常規做法是將向量 和 都表示為某兩個已知向量的線性表達式，但是該圖形中任何兩個向量的模長不清楚，夾角更是不知道，這里就遇到了困難，不知道從哪里下手。

解： 根據平面向量數量積的幾何意義， 和 的數量積等于其中一個向量的模乘以另一個向量在該向量上的投影。由于已經知道 的模，所以求 在 的投影，容易發現，投影就是 模的兩倍，答案就是3×6=18。

例2 O為△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點，求 · 的值。

分析：由于三角形并沒有完全確定下來，外心的位置就更加難以琢磨，要求一個動態的向量的數量積，肯定是個定值，但是沒有角度，沒有模長，求解這個數量積無從下手。

解：外心是外接圓的圓心，是三條邊的中垂線的交點，因此，外心到三條邊的投影均是三邊的中點。利用向量的加法公式， = （ + ），這樣只要求 和 ， 的數量積即可。 在 上的投影是2， 在 上的投影是1。所以，最終答案是 （4×2+2×1）=5

2.建立坐標系求解平面向量題

雖然，平面向量有坐標，但在沒有坐標的時候可以嘗試建立坐標系，來解決一些棘手的向量問題。向量的坐標法的優點是，不需要考慮太多的夾角和模長，只需要坐標間的簡單運算即可得到答案。

例3 已知P是△ABC內一點，且滿足a +b +c = ，證明P是△ABC的內心。

分析：證明內心，就是要證明到三邊距離相等，或者證明和頂點的連線是角平分線，這些通過題中給出的向量表達式都不容易證明，這時不妨考慮建立坐標系來證明這個結論。

解：不妨以A點為坐標原點，AB為x軸的正半軸方向，建立直角坐標系，設△ABC的三邊長分別是a，b，c，只需要證明P到三邊的距離相等即可，或者說P的縱坐標是C縱坐標的 。

我們設A，B，C，P四點的坐標分別為（0，0），（xb，0），（xc，yc），（xp，yp），將坐標代入題中給出的等式，由于只需要比較縱坐標，我們看左邊向量的縱坐標等于0，即-ayp-byp+c（yc-yp）=0，，整理可得 = 。

同理，可類似的以B為原點，以C為原點，證明類似結論。

我們就得到了S△PAB：S△PBC：S△PAC=c：a：b，這說明P到三邊的距離是相等的，也就是P是△ABC的內心。

3.向量和三點共線問題

3.1一些基本結論

在平面中A、B、C三點共線的充要條件是： =x +y （O為平面內任意一點），其中x+y=1。

證明：

充分性，若 =x +y ，且x+y=1，則有 - = （x-1） +y 化簡得 =y（ - ）=y ，則 ， 共線，所以A、B、C三點共線。

必要性，若A、B、C三點共線，則有 ， 共線，故 =λ ，任取平面的一點O， = - ， = - ，代入得 - =λ -λ ，化簡得到 =（1-λ） +λ ，前面的系數滿足規律。

3.2共線結論的應用

例4已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且 =x ， =y ，則 的值

分析：直線MN也是不固定的，因此沒辦法直接求出x和y的值，至少沒有簡便的方法求出上述表達式的值?？紤]到M，N，G是三點共線的，我們可以嘗試使用三點共線的向量結論。

解： 由于G是△ABC的重心，容易得到 = （ + ），而，代入上述的表達式得到 = + ，由三點共線的向量結論可知，前面的系數和為1.

即 + =1？圯 =1？圯 =

4.向量和三角形的四心

4.1三角形四心的向量等價表達式

（1） + + = ？圳O是△ABC的重心

（2） · = · = · ？圳O是△ABC的垂心

（3）設a，b，c是三條邊長，a +b +c = ？圳O為△ABC的內心

（4） = = ？圳O是△ABC的外心

證明：

（1）略

（2）要證明O是△ABC的垂心，那就是要證明AO垂直于BC，BO垂直于AC，CO垂直于AB，用向量方法就是證明數量積等于0.

化簡表達式 · = · ？圳 （ - ）= · =0.得到AC垂于OB，同理可得其它兩組對應垂直。所以O是垂心。

（3）略，在前面例題中已經證明

（4）略

4.2三角形四心向量表達式的判定

例5 O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足 = +λ（ + ）·λ∈[0，+∞），則點P的軌跡一定通過△ABC的（ ）

A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心

分析： 這個向量表達式是表示 方向上的單位向量，因此 + 表示的是∠A的平分線方向的向量。

解：正如前面一樣處理，將 平移到左邊去，可以得到

- = =λ（ + ），說明AP向量在∠A的角平分線上，P點一定經過的是內心，選B。

5.總結

綜上所述，向量在高中是比較靈活的，也經常和其它知識綜合在一起。要順利解出向量相關的題，一定要對向量的各種表達式非常熟悉，必要時要能夠針對每種幾何關系寫出對應的向量表達式，這樣才能以不變應萬變。