過程性、現實性、彈性：小學數學教材二次開發三要素

林泉（大田縣文江中心小學，福建 大田　366100）

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過程性、現實性、彈性：小學數學教材二次開發三要素

林泉
（大田縣文江中心小學，福建 大田366100）

小學數學教材在過程性、現實性、彈性等方面存在需要“二次開發”的因素。具體開發方法是：充分展現知識的形成過程，設計作為活動的數學；數學素材進一步貼近學生現實，突出本土化和常識化；教學內容增加彈性，全面貫徹落實課程標準。開發教材時，達到數學教育基本矛盾雙方“數學方面”和“教育方面”的恰當平衡，則是實現課程的整體目標的關鍵之所在。

數學教材；二次開發；過程性；現實性；彈性

在不同的哲學思想指導下，由于各自的價值觀念及社會利益，教材編寫者總要根據自己的“經驗世界”對數學學習進行再創造，這種創造因經驗不同，所發生的變化是很大的；而且所設計出來的教材并不一定恰好適合于每一個具體的教學過程。在教學中，具體執行教學的教師總是要根據每一個具體教學過程的需要進行具體的再加工，要懂得“創造性地使用教材，積極開發、利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材”。［1］

首先，要讀懂教材告訴我們什么。例如，人教版的“雞兔同籠”問題由《孫子算經》中記載的原題引入，考慮到數據較大，教材在例1把原題的數據變小，并提供多種解法：①猜測法。分別猜測雞、兔各有多少只，然后驗證腳的只數是否對應，最終找到正確答案。②列表法。列表格按順序尋找答案。③“假設法”是一種算術方法，但有其獨特的特點，是一個假設——計算——推理——解答的過程。此外，“閱讀資料”中介紹了趣味解法——“抬腿法”。其中列表法如同一張網，它“網”住了其它各種解法，而假設法如同網的一格，“快準狠”，是思考更具有邏輯性的一般性解法。再進一步思考：例1并非是必需的，因為有的孩子可能直接求出原題的答案；只是對于沒有思路的學生，他才需要從簡單的問題入手，所以教材為教學留下很大的機動空間。

一般地說，作為義務教育教科書的數學教材具有這些特點：科學性、整體性、過程性、現實性、彈性、可讀性，它為學生的數學學習活動提供了學習主題、基本線索和知識結構，是實現數學課程目標、實話數學教學的重要資源。所以，在使用教材時，首先必須正確地、合理地解讀教材。

數學教育包括“數學方面”和“教育方面”，這兩者就構成了數學教育的基本矛盾，“數學教育應由惟一地強調基礎知識與基本技能轉變到更為重視幫助學生學會數學地思維乃至學生數學素養的培養上面來”。［2］老師讀教材要讀出矛盾的兩個方面來，即第一層次從“數學方面”讀教材，理解數學實質和教材結構，弄清例題的地位和作用，厘清例題與習題的聯系；第二層次從“教育方面”讀教材，特別是從學生的角度讀教材，感悟知識的形成和應用，弄清學生可能讀懂什么可能會有哪些疑難問題。從現實來看，教師很少從學生的角度讀教材，甚至有不讀教材而憑著自己的經驗進行教學，卻美其名曰創造性使用教材。

教材通常是過去的研究成果的集合，因而靜態地呈現知識和遠離學生的現實是教材的客觀存在。例如，人教版三年級下冊的“筆算除法”。教材從42÷2到52÷2按數的順序進行編寫例題，學習內容的呈現有動態的味道，但每個例題都要分小棒、列豎式，學生所看到的數學卻是靜態的。又如，人民幣的基準利率一年通常地要調整好幾次，它是動態的，而在教材中它的呈現卻是靜態的。

所以說，教材內容的呈現雖然可體現著過程性，但總不是“活動”的，學生難于觀察、實驗、猜測、推理、交流和反思；教材呈現內容的素材雖然是力求貼近學生現實，但現實往往是有時空的，如城市學生的現實并非農村學生的現實，甲地學生的現實也非乙地學生的現實；教材內容的設計雖然能有一定的彈性，但不同的學生有不同的需求，不同的學生在數學上有不同的發展。

一、充分展現知識的形成過程，設計作為活動的數學

數學課程標準（2011版）指出：“設計必要的數學活動，讓學生通過觀察、實驗、推理、交流、反思等，感悟知識的形成和應用。恰當地讓學生經歷這樣的過程，對于他們理解數學知識與方法、形成良好的數學思維、增強應用意識、提高解決問題的能力有著重要的作用?！苯虒W設計時，可用規律的事物把某些例題構建成連續性學習材料，運用連續性的學習材料組織課堂教學，可以引導學生在學習過程中形成多次正反饋，實現有效歸納，提高獲取知識的可靠性。［3］

例如，把前述42÷2和52÷2放置在“百數表”，可以構建出一組連續性的學習材料：2÷2、12÷2、……、82÷2、92÷2，學生通過口算求出商是2、6、11、……、41、46；接著，學生用百數表中的數任意寫出若干個一位數除兩位數的算式，并進行口算，而對于其中有余數的除法口算起來便會覺得有難度。這時讓學生對52÷2=26進行反思探索筆算方法，再探索42÷2的筆算方法，學生再進行若干的筆算，就形成算法的范例。而后，對這些范例進行反思，就可以總結出算理。在學習活動中，縱向數學化和橫向數學化交織使用，充分展現了知識的形成過程。

數學活動經驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀。所以，一堂數學課可以開發為二至三個數學活動，每一個數學活動包括“活動——反思——講解”（即做什么、想什么、講什么）等三個環節，若干活動之間要有內在的邏輯聯系。

二、數學素材進一步貼近學生現實，突出本土化和常識化

學生的現實包含生活現實、數學現實和其他學科現實等三個方面，在二次開發的過程中主要是突出數學素材的本土化和常識化。例如，方位的知識，僅用教科書進行教學，只是學會書本上的左東右西，而沒有實際的體會。所以，教學時就應該把書本知識進行本土化，讓學生學會現實生活具體的位置與方向。

數學的根源在于普通的常識，通過系統化和組織化，普通的常識將建立一個巨大的等級體系。學習的一個極端是沒有被有意識地教的學習，另一個極端是被直截了當地強加的學習；第一種學習更深地扎根于以前的普通常識。普通常識最顯著的例子是非負整數。［4］所以，教師的責任是積極尋求學生現實中“普通的常識”，把這些常識組織起來，通過反思，不斷地進行系統化。例如，“笑笑打國內長途電話每分鐘0.3元”，得出“打1分鐘用0.3元，2分鐘用0.6元，3分鐘用0.9元，……”及其相應的乘法和除法算式，這對于每一個學生來說都是“普通常識”，把其中的除法算式組織起來進行反思，就得到“整數除法的商不變性質在小數除法也同樣適用”的結論。由于這里的計算指向“3的乘法口訣”，整數的乘除法便是更大“普通常識”，系統的自組織發揮作用，小數除法的學習就變得更容易接受。

三、教學內容的設計可以增加彈性，全面貫徹落實課程標準

《義務教育數學課程標準（2011版）》指出，“教材內容設計要有一定的彈性”，并“考慮到學生發展的差異，在保證基本要求的前提下，可設計有一定彈性的內容，以滿足學生的不同需求，使不同的人在數學上得到不同的發展”。作為教材內容的具體實施，教學內容的設計也可以增加彈性。

增加彈性內容的主要做法有：①就同一問題提出不同層次的要求，或設計開放性的練習；②結合學習內容有機地提供一定的閱讀材料，包括史料、背景材料等；③特定教材所增加的內容要注重于介紹數學發展所依賴的數學基本思想；④設計一些課題活動，引導學生借助算盤、計算器等工具進行探索性學習。

例如，“數與形”（人教版六年級上冊第107頁例1）的素材是畢達哥拉斯及門徒的擺“單子”，這是數形結合的典型案例。以此史實為依據，教學可以這樣設計：

以“數”化“形”，認識四角數。把自然數寫成平方數即12，22，32，…引導學生自主用圓形、正方形、星形紙片表示平方數。反思擺“單子”的過程，從結果分析擺出的數是一個平方數，而從過程分析擺出的數是一個又一個的奇數，用算式表示：①1=12；1+3=22；1+ 3+5=32；…②最大的奇數是2n-1。

以“形”變“數”，認識三角數。（出示第109頁第2題）若把上述的平方數稱為四角數，這道題各圖形表示是什么數？（三角數）。繼續擺三角數，得出：第n個三角數的個數。

課外作業：閱讀畢達哥拉斯擺“單子”的故事，了解五角數、六角數。

教學設計增加彈性的內容，其實質是拓寬“知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀”三維目標的實現之途徑，因此，做好這方面的工作，就有利于在教學的過程中全面地貫徹和落實數學課程標準。

綜上所述，教材的“數學方面”是課程的剛性要求，要認真領悟，而其“教育方面”則可根據實際教學的需要進行靈動加工。教材二次開發時要達到數學教育矛盾雙方的恰當平衡，這是實現課程的整體目標的關鍵之所在。

［1］張維忠.數學文化與數學課程［M］.上海：上海教育出版社，1999.

［2］鄭毓信.數學哲學與數學教育哲學［M］.南京：江蘇教育出版社.2007.

［3］鄭祥旦.利用連續性學習材料促進學生有效歸納［J］.福建教育，2009（5）.

［4］〔荷蘭〕弗賴登塔爾.數學教育再探［M］.劉意竹，等，譯.上海：上海教育出版社，1999.

（責任編輯：閩曉）