“材料”的力量
——《角的初步認識》教學案例對比思辨

葉 柱（特級教師）

學生如何學、教師怎么教，是教學變革的永恒命題。對此，一種基本共識已經逐步形成：有效的教學活動，既要走出“口口相傳”的灌輸式路徑，突出主體參與，也要杜絕“紙上談兵”的空洞化樣貌，強調意義體驗。基于這樣的理念背景，很多教師開始關注“學習材料”（以下簡稱“材料”）的優化設計和合理運用的問題。顯然，材料作為課堂現場的重要資源，能為主體參與提供空間，可讓意義體驗落到實處，進而促成教學目標的圓滿達成。在課程改革進入“深水區”的當下，作為一名數學教師，理應根據教學內容的實際、班級學生的特點，力所能及地設計出有意義、有趣味、有內涵的材料，使其成為課堂創優的有力推手。本文擬圍繞魯雅奇、張春燕兩位青年名師同課異構的《角的初步認識》，對材料的設計與運用作些案例探討。

一、“材料”做媒，保障學教和諧

毋庸置疑，真正出彩的教學生態，是“學生學與教師教的統一”（“課標”語）。自主研習在前，分享點撥跟進，先學后教，據學施教，是課堂轉型的基本要求。在這個過程中，材料無疑是師生雙方的重要媒介。依“材”對話，就“料”互動，主體與主導相得益彰、同生共長。

1.材料“因需而生”，體現“教服務學”。

上過《角的初步認識》的老師都有感受，學生常常會將“角”與“三角形”劃上等號。當魯雅奇老師課始設問“角是一種怎樣的圖形”時，學生也有此種反應。對此，教師不急不躁，適時出示了一個普通材料——三角形，讓學生思辨“角就是三角形嗎”，進而找尋兩者的區別與聯系。我們看到，這個三角形是在學生最有需要之際適時出現的，體現了教師的“教”對學生的“學”的關注、指引與幫扶，學教和諧由此落實了。

2.材料“深度開發”，體現“學決定教”。

面對一則基本材料，我們常常需要順應數學學習發生、發展的需要，來加以持續開發。在使用課本主題圖時，張春燕老師先讓學生在上面自由找角，教師只對角的比劃方式加以指點。在此基礎上，教師運用課件隱去主題圖的背景元素，只留下了角的輪廓，來引領學生體會角的數學內涵。就這樣，為了幫助學生充分經歷“由生活走向數學”“從直觀邁至抽象”的過程，教師獨具匠心地對一幅看似簡單的教材插圖進行了變式挖掘，取得了很好的效果。在這方面，魯雅奇老師組織學生多次操作“活動角”，來逐步感受“角的大小”，亦是異曲同工之舉。

二、“材料”領路，夯實數學理解

學生形成數學理解，是一個類似于“文火慢燉”的過程。只有等數學事實積累到位、邏輯思考伸展到位、線索意義梳理到位，真正的數學理解才有可能實現。這其中，材料的“用武之地”非常廣闊。從以下三個維度分析：

1.豐富數學直觀。

記得魯雅奇老師的課中有這樣一個細節：教師請學生“指一指周圍物體表面上的角”，學生很快指出了“書角”“桌角”等角。答案都是正確的，但視野還不夠健全。學生所指的角都是“直角”，而角的概念范疇顯然是比直角更為寬泛的。于是，為了及時擴展學生的眼界，為后續的概念界定積蓄事實，魯老師跟進設問：“老師發現，大家指的都是這樣方方正正的角。你還能找到其它樣子的角嗎？”由此，促使學生把目光轉移到同樣由“一個頂點、兩條邊構成”但不“方方正正”的角，從而把“風扇的角”等非直角材料引入課堂，使得數學理解所需的直觀表象得以完整呈現。

2.突出概念要素。

角是由一個頂點、兩條邊構成的，所以，“頂點”和“邊”是角的概念的核心要素。認識一個角，就是在整體感知圖形概貌的基礎上，聚焦一個頂點、兩條邊。為了凸顯概念要素，兩位老師巧妙設計材料，組織了饒有成效的數學活動。

張春燕老師給每組分別提供了“6根塑料棒”“3個圓片”，讓每位學生選擇各自所需的材料，制作一個角。在“用塑料棒搭角”的方法展示中，教師結合學生的匯報分享隨機插問：“你為什么選擇兩根塑料棒”“為什么要將兩根塑料棒的一頭連接在一起”，引導學生自然聚焦到兩條邊和一個頂點。在“用圓片折角”的方法展示中，教師巧妙捕捉了學生出現的“一條邊直、一條邊曲”的作品，并促其反思，使全體學生充分意識到：既要把握角的兩個要素，還得注意“邊必須是直的”。

與張老師給學生提供數學化材料有所不同，魯雅奇老師呈現的是一組生活化材料，其中包括“殘缺的錢”“樹葉”等。教師請學生觀察“黑色描線部分是否是角”，從中明晰了“具備一個頂點與兩條邊”是角的判斷標準。以此為基礎，教師還通過對材料的結構化使用，幫助學生切身體會到：無論兩條邊是否存在長短、不管開口朝向哪個位置，只要符合判斷標準就都是角。在這里，角的概念要素同樣得到了循序漸進的揭示與強調。

3.緩解認知疑難。

“角的大小”的理解，是本課的難點。很多學生總會直覺性地認為“邊越長角越大，邊越短角越小”，而不習慣于“從兩邊的岔開程度來看角的大小”。如何幫助學生順利“邁過”這個“坎兒”呢？兩位老師依然是做足了材料的文章。就拿張春燕老師的課來說，教師首先呈現了二年級學生喜聞樂見的滑梯，讓學生在三個滑梯中選擇自己想玩的一個滑梯，同時思考“滑梯越來越陡，跟里面的角有沒有關系”，并借助“活動角”動態再現兩邊逐漸張開、滑梯不斷變陡的過程。立足這一直觀形象，教師順勢點明：“像這樣，兩邊張得越大，我們就說角越大。”這樣的教學組織，學生比較容易接受及理解。不僅如此，教師還引入了“打開折扇”“使用剪刀”“翻書”“時針分針走動”等生活場景，加深了學生對于“角的大小就是兩邊叉開大小”的基本認識。學生有了這一基本認識，再來比較角的大小就“輕車熟路”了。

三、“材料”支撐，培植活動經驗

幫助學生積累基本活動經驗，是新時期數學教學的重要任務之一。然而，觀照現狀，對于基本活動經驗的教學，教師們大多感覺困惑、難以入手。我們認為，學生唯有親歷某段數學化的學習過程，并適時反思回味，才有可能從中生成超越知識技能層面的具有個性特征的活動經驗。這段歷程中，材料顯然是強有力的資源依托。

魯雅奇老師的課中有一個“我來認認角”的環節。教師出示兩幅“自來水龍頭圖”，上面分別標有兩位學生描出的角，有正有誤。在學生作出判斷選擇后，魯老師的小結語令人印象深刻：“物體表面上的很多角，可能不太標準。但有‘數學亮眼睛’的同學，能一眼就看到并描出有一個頂點、兩條邊組成的正確的角。”從而，有利于學生樹立“在生活事物中剝離無關因素、抽取數學模型”的可貴意識，助其逐步積累觀察與抽象的活動經驗。

重視學生基本活動經驗的積累，在“畫角”環節也有充分體現。張春燕老師在教學時，讓學生試著“在紙上畫一個想象中的角”，很多人選擇了“利用現成工具描角”的策略。對此，教師并不急于糾偏，而是反復叩問：“你還能畫一個和它不一樣的角嗎？”一開始，有些學生沒能跳出思維定勢，認為“找個有比較大的角的物體，再描出來”就行了。隨著教師的跟進啟發及同伴的適時分享，全體學生逐漸達成了體驗共識：要從角的特征入手，找到具有普遍意義的畫圖策略。這個環節雖然花時不多，但有利于學生形成合理規劃、深度反思的活動經驗。

綜上所述，在小學數學教學中精心設計、合理運用學習材料，有利于保障學教和諧、夯實數學理解、培植活動經驗。當然，這里還要尤其注意“材料污染”問題。材料并非越豐富越好，因為有可能干擾學生的寧靜心境；材料也并非越直觀越好，因為有可能影響學生的思維品質。如何控制材料的量、增強材料的質，實現“一材多用”“一材妙用”“一材深用”，是數學教學節約成本、提升效度所需思考的重要問題。