重視設(shè)計(jì)細(xì)節(jié)提高教學(xué)實(shí)效

李海艷

摘 要：橢圓定義的最終形成歷經(jīng)兩千多年的時(shí)間，要在一節(jié)課讓學(xué)生完整經(jīng)歷橢圓定義的原始發(fā)現(xiàn)與發(fā)展過程顯然是不可能的. 本文從教學(xué)設(shè)計(jì)細(xì)節(jié)入手，揭示曲線定義本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想，體會(huì)數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)、形的靈動(dòng).

關(guān)鍵詞：橢圓定義；代數(shù)本質(zhì)；數(shù)形結(jié)合

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》在課程的基本理念中明確指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).” 橢圓的定義從人們認(rèn)識(shí)圓錐曲線開始，由平面截圓錐到阿波羅尼的橢圓定義，再由沃利斯的關(guān)于變量x，y的二次方程的曲線的圓錐曲線定義到丹德林的圓錐曲線定義（教材中的定義），先后經(jīng)歷了兩千多年的時(shí)間. 由此可見，要在一節(jié)課讓學(xué)生完整經(jīng)歷橢圓定義的原始發(fā)現(xiàn)與發(fā)展過程顯然是不可能的.

整體把握

在“圓錐曲線”的教學(xué)中，筆者繼續(xù)貫徹?cái)?shù)學(xué)2中提出的“有了曲線如何建立方程，有了方程怎樣研究曲線的性質(zhì)”的解析幾何研究思想，并將這種思想放在處理橢圓、雙曲線、拋物線上，讓學(xué)生不斷感受解析幾何的一般研究思想方法. 先通過活動(dòng)，用平面切割圓錐面，從幾何角度給出橢圓、雙曲線、拋物線的定義；然后按照解析幾何研究的統(tǒng)一思想方法（在數(shù)學(xué)2中已經(jīng)給出，這里進(jìn)一步貫穿）：建立坐標(biāo)系，根據(jù)幾何性質(zhì)建立曲線的方程，通過方程從代數(shù)角度研究曲線的性質(zhì). 主要過程為：圓錐曲線—橢圓、雙曲線、拋物線—圓錐曲線的統(tǒng)一定義，整體→部分→整體.

在橢圓、雙曲線、拋物線研究完畢后，再給出圓錐曲線的統(tǒng)一定義，最后研究一般的曲線方程，使學(xué)生對(duì)解析幾何的研究方法有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí).主要過程為：直線與圓—圓錐曲線—曲線與方程，特殊→一般.

本章有核心的概念、原理，有自己的主線，整個(gè)內(nèi)容圍繞核心概念或原理展開. 向?qū)W生展開研究主題的過程（為什么）；正文就是建立數(shù)學(xué)（是什么）和解決問題（干什么）的過程；而橢圓是圓錐曲線的基礎(chǔ)，它的學(xué)習(xí)方法對(duì)整個(gè)這一章具有導(dǎo)向和引領(lǐng)作用，直接影響其他圓錐曲線的學(xué)習(xí)，是后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和示范. 同時(shí)，它也是求曲線方程的深化和鞏固.

基于上述分析，筆者采取的教學(xué)方法是“問題誘導(dǎo)—啟發(fā)討論（辨析）—探索結(jié)果”以及“直觀觀察—?dú)w納抽象—總結(jié)規(guī)律”的一種研究性教學(xué)方法，注重“引、思、探、練”的結(jié)合. 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)方式發(fā)生轉(zhuǎn)變，采用激發(fā)興趣、主動(dòng)參與、積極體驗(yàn)、自主探究的學(xué)習(xí)，形成師生互動(dòng)的教學(xué)氛圍.

目標(biāo)界定

1. 知識(shí)與技能

①準(zhǔn)確理解橢圓的兩種定義；

②學(xué)會(huì)運(yùn)用定義解決相關(guān)問題；

③解決解析幾何處理上出現(xiàn)的思維不嚴(yán)謹(jǐn)現(xiàn)象，提高邏輯思維的嚴(yán)密性.

2. 過程與方法

①通過探究研討交流，讓學(xué)生在有關(guān)問題的分析與解決的過程中提高邏輯思維能力、數(shù)形結(jié)合及化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用；

②關(guān)注分析推理這一證明處理細(xì)節(jié)，提高學(xué)生的分析解決問題的能力.

3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀

①發(fā)展學(xué)生把握平面圖形的能力，使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)和理解人類生存的空間；

②發(fā)展學(xué)生的直覺能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神；

③發(fā)展學(xué)生的推理論證能力、合情推理能力、運(yùn)用代數(shù)語言進(jìn)行表達(dá)與交流的能力.

方法意圖

本部分知識(shí)較抽象、枯燥，對(duì)數(shù)學(xué)的定義研究很嚴(yán)格，如果按照以前的教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)，仍不可避免出現(xiàn)數(shù)學(xué)課上“老師講得津津有味，學(xué)生聽得昏昏欲睡”的現(xiàn)象. 基于此，由此展開教學(xué)設(shè)計(jì)：以學(xué)生自己探究為主，教師挖掘文中隱藏的“探究點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)”，設(shè)置一定的問題情境，給學(xué)生提高嘗試探究的機(jī)會(huì)，在錯(cuò)誤中思維得到摔打，得到升華，把課堂交給學(xué)生，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍，并自覺地遷移運(yùn)用.

基于此，課堂教學(xué)設(shè)計(jì)擬如此展開：探究感知、認(rèn)識(shí)現(xiàn)象、理性研究、把握實(shí)質(zhì)、理清概念，并能做到學(xué)以致用，達(dá)到遷移深化，三維交融，達(dá)成教學(xué)目標(biāo).課堂中適時(shí)創(chuàng)設(shè)情景，設(shè)置一定的錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)照橢圓的定義進(jìn)行比較理解. 教貴善誘，此外適時(shí)插入課件，提高直觀性和課堂容量.

實(shí)踐操作

其實(shí)通過數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離可知此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P只能在線段AB上.

那么這位同學(xué)為什么會(huì)錯(cuò)呢？我們一起來看一看橢圓的定義：橢圓的第一定義為（和值定義）：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓. 他忽略了常數(shù)要大于F1F2這一條件.

因此我們?cè)谑褂玫谝欢x解題時(shí)要注意：①此定義突出了橢圓上任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為常數(shù). ②該常數(shù)必須大于F1F2，若等于F1F2，則軌跡為線段F1F2；若小于

F1F2，則這樣的點(diǎn)不存在，即無軌跡.

感悟：加強(qiáng)定義學(xué)習(xí)的指導(dǎo)，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)定義的嚴(yán)謹(jǐn)性，從定義研究的角度對(duì)學(xué)生進(jìn)行橢圓定義考查的重點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)的探討，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和興趣，提高學(xué)生求知欲望和課堂關(guān)注率.

④我們還可知道ON是三角形F1PF2的中位線，故ON=a（定值），即N點(diǎn)的軌跡所表示的曲線是以點(diǎn)O為圓心、以a為半徑的一個(gè)圓.

小結(jié)：橢圓定義和平面幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，也常常為我們提供解決問題的一條捷徑.

感悟：培養(yǎng)學(xué)生讀題、畫圖的解題習(xí)慣，突出破題指導(dǎo)，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.回歸定義，緊扣定義對(duì)定義的多種表現(xiàn)形式作聯(lián)系比較.

我們?cè)賮砜催@樣一道題：方程x+y=2所表示的曲線是什么？

所以=，即表示動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線x+y=0的距離之比為定值∈（0，1），由橢圓的第二定義可知所表示的曲線是一橢圓.

這種解法看起來好像是天衣無縫，無懈可擊的，可是我們假如先對(duì)上面的方程化簡就不難發(fā)現(xiàn)：x2+2xy+y2=4（x2+y2），即3x2-2xy+3y2=0，將其看成關(guān)于x的一元二次方程，Δ=4y2-36y2=-32y2≤0，只有Δ=0時(shí)才有解. 由y=0得x=0，所以我們只能得到方程x+y=2只表示一個(gè)點(diǎn)（0，0）. 那么上面的同學(xué)為什么會(huì)錯(cuò)呢？

我們看一看橢圓的第二定義，橢圓的第二定義為（比值定義）：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F與到一定直線l（F不在定直線l上）的距離之比為一常數(shù)e（0

同樣他忽略了F不在定直線l上這一條件，上面的定點(diǎn)（0，0）是在定直線x+y=0上的.

我們?cè)谑褂眠@一定義時(shí)要注意：①此定義給出了橢圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系；②定點(diǎn)F（c，0）不在定直線上.

變式1：方程x+y-1=2所表示的曲線是什么？

對(duì)于這個(gè)題我們用剛才那位同學(xué)的做法，不難知道定點(diǎn)為（0，0），而定直線是x+y-1=0，定點(diǎn)不在定直線上，即可得：=，表示動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線x+y-1=0的距離之比為定值∈（0，1），由橢圓的第二定義可知所表示的曲線是一橢圓.

變式2：已知F是橢圓5x2+9y2=45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A（1，1）是一定點(diǎn)，①求PA+PF的最小值；②求PA+PF的最大值.

分析：①A（1，1）是橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，求PA+PF的最小值首先要注意到PF怎么處理，我們知道橢圓的離心率是，根據(jù)橢圓的第二定義知道PF就是P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離PN，即原題就變?yōu)榍驪A+PN的最小值，也就是當(dāng)A，P，N三點(diǎn)共線時(shí)滿足要求，故PA+PF的最小值為點(diǎn)A到左準(zhǔn)線x=-的距離為.

②由PA+PF這種形式我們可以想到三角形的兩邊之和及之差的問題，但求最大值就應(yīng)該與之差有關(guān)，而題目給的卻是之和的形式，那我們?cè)撛趺崔k？我們?cè)跀?shù)學(xué)上有一種思想，叫化歸思想，在這里就是要想辦法將和轉(zhuǎn)化為差的形式，可用第一定義，如圖有：PF+PM=6，所以PF=6-PM，所以PA+PF=PA-PM+6，當(dāng)P點(diǎn)在AM的延長線上時(shí)滿足題意.

所以PA+PF=PA-PM+6的最大值為AM+6=+6.

小結(jié)：焦半徑問題和第一、二定義是橢圓經(jīng)常考查的知識(shí)，對(duì)于這類問題我們可以知道若距離和或差的系數(shù)一致就應(yīng)該用第一定義轉(zhuǎn)化，若距離和或差的系數(shù)不一致就應(yīng)該用第二定義轉(zhuǎn)化.

感悟：通過這活動(dòng)塊的教學(xué)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到橢圓的兩種定義在解題中的作用，用好定義有助于我們進(jìn)一步研究橢圓的相關(guān)性質(zhì)，揭示解析幾何的本質(zhì)，感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)、形的靈動(dòng).

總之：現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂如何真正地提高實(shí)效，可能加強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容的針對(duì)性、落實(shí)課堂教學(xué)參與性后會(huì)更好，這是一節(jié)解析幾何定義教學(xué)課，學(xué)生對(duì)橢圓定義的大概內(nèi)容已經(jīng)清楚，而困難在如何將掌握的知識(shí)與考題結(jié)合起來，合理運(yùn)用. 課堂教學(xué)通過學(xué)生自主讀題、畫圖破解題目為教師組織后面的教學(xué)提供一個(gè)診斷，進(jìn)一步加強(qiáng)了教學(xué)的針對(duì)性.

本課選擇了教材中的橢圓定義的語言表述作為展開討論的基礎(chǔ)，旨在培養(yǎng)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)定義，并挖掘定義的背后的東西做一點(diǎn)努力，當(dāng)然對(duì)定義教學(xué)的研究和把握還有很長的路要走，需要我們師生共同努力，并為之奮斗！