探尋有意義的數學學習

魏俊晨+周衛東

[摘 要]“小研究”學習材料能幫助學生理清學習和研究的方法，激活學生已有的知識和經驗，引領學生進行數學活動。以“公倍數和最小公倍數”為例，闡述學生在“小研究”學習材料的引領下，通過獨立思考、合作交流和自主歸納，獲得知識，最終實現有意義的學習。

[關鍵詞]“小研究”學習材料 公倍數和最小公倍數 教學實踐 數學學習

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）08-004

“小研究”學習材料作為自主學習的載體，能幫助學生理清學習方法和研究方法，促使他們自主探究，并在互動交流中解決問題、獲取知識。這樣的數學學習，不但能促進學生迅速成長，還能讓學生實現有意義的學習。下面以“公倍數和最小公倍數”為例，談在教學中運用“小研究”學習材料的實踐與思考。

一、多法探求：自主中尋求突破

【教學片斷1】認識公倍數的概念后——

師：請大家一起研究找兩個數的公倍數的方法。

（出示學習要求；學生小組合作，嘗試著完成小研究）

師：通過剛才的研究，你有沒有什么要和大家交流的？

生1：我用列舉法找6和9的公倍數，我先列舉6的倍數，再列舉9的倍數，在這個基礎上找它們公有的倍數。

生2：我也是用列舉法求6和9的公倍數。不過我是先列舉6的倍數，再從6的倍數中找出9的倍數。這樣的數就是它們公有的倍數。

生3：我贊同先寫出其中一個數的倍數，再從中找出另一個數的倍數的方法。不過我認為我的方法更簡便一些。我是先把9的倍數列舉出來，再在其中找6的倍數。

師：這三種方法有什么相同和不同的地方？

生4：三種方法都采用了列舉的方法，在找兩個數的公倍數時，都是先從小到大列舉并確保沒有遺漏，再找出相同的數。雖然列舉的方法不同，但結果一樣。

生5：我覺得先列舉較大數的倍數，從中再找較小數的倍數，能更快一些。

師：同學們在找兩個數的公倍數時，需要根據具體情況選擇方法，但不管哪種方法，找出來的公倍數應該是相同的。還有其他方法嗎？

生6：我利用百數表，先圈出了6的倍數，再圈出了9的倍數，然后找出共同圈出的那幾個數，就是6和9的公倍數。

生7：我是在數軸上找的，我也找到了6和9的倍數。

生8：我在預習的時候查到了兩個數的公倍數可以用“韋恩圖”來表示。

師：老師也帶來了你提到的“韋恩圖”，請你給大家介紹一下。

生8：我們先畫兩個橢圓，兩個橢圓有一部分相交在一起。相交的部分填的是6和9的公倍數。這一部分里的數是6的倍數，但不是9的倍數；這一部分里的數是9的倍數，但不是6的倍數。

師：大家聽明白了嗎，還有什么要補充的？

生9：兩個數的公倍數是最小公倍數的倍數嗎？

生10：可以借助韋恩圖回答生9的問題。從圖中可以清楚地看出18是6和9的公倍數中最小的一個，其他的公倍數都是18的倍數。

生11：你的回答是對的。18是6和9的最小公倍數，其他公倍數一定是最小公倍數的倍數。

生12：兩個數的公倍數一定是最小公倍數的倍數。我還可以再舉一個例子證明。如6和10的最小公倍數是30，60、90也是6和10的公倍數，60和90也是30的倍數。

生13：在今天的研究中，我發現可以找到兩個數的最小公倍數，但找不到兩個數的最大公倍數。

生14：我贊同生13的觀點，因為每個數的倍數的個數都是無限的，所有兩個數的公倍數肯定有無數個，沒有最大公倍數這個說法。所以畫“韋恩圖”時，省略號不能丟掉。

生15：兩個數的最小公倍數和它們的最大公因數存在密切的關系，兩個數的最小公倍數一定是它們的最大公因數的倍數。

……

在這個教學片斷中，學生進行了探究、討論、發現、交流、補充等活動。探求兩個數的公倍數和最小公倍數就是運用已有知識和經驗解決問題，建立新概念的過程。學生已經在之前的學習中建立了倍數和因數的概念，會求一個數的倍數，“小研究”學習材料恰好提供了激活學生已有知識和經驗，引領學生進行數學活動的平臺，因此呈現出精彩紛呈的學習成果。在這個過程中，教師退居到幕后，鼓勵學生大膽嘗試、驗證，使學生主動參與并沉浸在探究新知的過程中，獲得對公倍數意義的深刻理解，體驗獲取新知所帶給他們的快樂。匯報并展示后的比較，再次啟發學生對探究活動中獲得的認識和經驗進行梳理，弄清不同方法之間的聯系與區別，突出了對公倍數意義和找公倍數方法的理解和掌握。韋恩圖的呈現，更簡要地揭示了兩個數的倍數、公倍數和最小公倍數的關系，有利于強化學生對找兩個數公倍數方法的理解，提升了學生的思維品質。

二、辨析明理：比較中尋求規律

【教學片斷2】學生初步建立最小公倍數和最大公因數的概念后——

（教師出示學習要求；學生分小組活動）

師：找到其中的規律了嗎？誰來和全班同學分享一下你的研究成果。

生1：我是這樣分的：5和15、21和7、11和33、60和12、12和1為一類；3和5、8和9、4和15為一類；4和6、10和15為一類。你們覺得我分得有道理嗎？請大家提問題。

生2：你將5和15、21和7、11和33、60和12、12和1歸為一類，是不是因為這里的每組數之間都存在倍數關系，所以存在倍數關系的兩個數的最小公倍數是其中的較大的數？

生3：我確實是這樣考慮的。大家知道我為什么將3和5、8和9、4和15歸為一類嗎？

生4：我也發現3和5是互質的兩個數，它們的最大公因數是1，最小公倍數是這兩個數的積。我還發現兩個數的積和這兩個數的最大公因數、最小公倍數的積是相等的。請大家課后想辦法證明我的發現。

生5：我來補充，4和6、10和15歸為一類，它們這兩組數沒有剛才兩類數的特點，所以單獨歸為一類。

生6：我還發現，兩個質數的最小公倍數一定是這兩個質數的乘積；相鄰的兩個自然數，比如，8和9、9和10，它們都是互質的，它們的最小公倍數也一定是它們的乘積。

……

怎樣讓學生經歷自主探索和合作交流的過程，并在這一過程中獲得更多的自主發展機會與空間，使學生徜徉在有意義的數學學習中，是教師需要認真考慮的問題。上述教學片斷中，教師給予學生充分的探究空間，提供了觀察思考、討論研究的平臺。學生在“小研究”學習材料的引領下，通過獨立思考和合作交流，自主歸納出兩個數的最小公倍數的一些規律，加深了對最小公倍數的理解，也為以后學習約分、通分打下堅實的基礎。其間，學生還展開了富有個性的思考，提出了有價值的猜想，同時要求其他同學課后去想辦法研究……這些精彩瞬間，無不彰顯著“小研究”學習材料在學生學習過程中所發揮的作用，這種作用，不只表現在“問題串”對學生的啟發和引導上，更在于其為學生提供了相對獨立的思考和探索空間，使他們得以展開富有個性的思考，而這往往又是課堂上僅通過師生對話難以實現的。

三、靈活運用：分層中尋求超越

【教學片斷3】

（學生用多種方法找出答案，教師組織反饋和講評）

師：他們再次相遇應該是幾月幾日？你是怎樣思考的？

生1：4和6的公倍數依次是12、24……再次相遇的時間是1月13日。

師：求他至少要伐多少根木頭，就是求什么？你能很快找到答案嗎？

生2：求他至少要伐多少根木頭，就是求6和7的最小公倍數，6和7是互質的兩個數，所以，至少要伐42根。

師：你認為“光頭強”有永遠不掉下陷阱的策略嗎？

生3：沒有，無論每次跳多遠，都能找到這個數與10的最小公倍數。

生4：在12米掉進了陷阱，說明每兩個陷阱之間的距離是12的因數。12的因數有1、2、3、4、6、12這6個，所以，陷阱之間間隔的米數可能是這6個數中的一個。

……

練習的設計力圖體現題材的趣味性和知識的層次性與結構性，用所學知識去解決實際問題，學生就能夠帶著興趣進行分析與交流、討論與計算，在交流的過程中暴露出不同的思維過程，在思維的碰撞中糾正、融合，從而達成共識。“跑步訓練”問題為學生提供了多層次的思考方式，或借助月歷列舉，或通過表格列舉，或直接求4和6的最小公倍數，這些都能滿足不同學生的學習需求，使學生進一步獲得對找兩個數的最小公倍數的豐富體驗，感受兩個數的最小公倍數的應用價值。“排木料”問題能夠讓學生自覺應用所發現的規律解決問題，有利于學生更好地掌握求兩個數的最小公倍數的方法，培養了學生分析和解決問題的能力。“陷阱”問題更是在呈現問題的同時留下懸念，引導學生自覺從數學的角度展開思考討論，促使學生準確把握現實問題背后的數學本質，加深學生對最小公倍數的理解，讓學生發展思維能力，提升學習能力。

（責編 金 鈴）