試論微積分在概論統計中的應用

【摘要】概率統計就是針對與自然界中隨機出現的統計規律，微積分不僅是概率統計的基礎，概率統計與微積分之間是相互聯系、相互發展的。通過一些實例的解答，討論微積分在概率統計中的應用。

【關鍵詞】微積分 概率統計 函數 應用

【中圖分類號】G71 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）01-0133-02

微積分與概率論是兩門非常重要的數學學科，均為高等學校理工專業的必須課程，為后續專業課提供必要的數學工具。雖然兩者發展路徑不太一樣，但兩者間卻有著密切的關系，可以說微積分是概率論的地基，概率論是微積分的延續。作為微積分課程的一門后續課程——概率論，如何正確巧妙地運用微積分方法技巧是值得重視的問題。本文試圖歸納一些問題來說明微積分方法在概率論中有著廣泛的用途，同時希望在學習微積分、概率論時引起注意，從而產生更多、更好的微積分方法為概率論所應用。

1.概率統計與微積分之間的聯系

概率統計就是針對自然界的不確定性的現象，包括結果的不確定、偶然隨機現象所呈現出的集體性規律，再根據概率論、數理統計的方法，統計出數據的規律性。然而對于微積分，也就是研究函數的微分、積分以及有關函數概念與函數應用的數學分支，微積分在建立中的出發點就是直觀的無窮小量，這個基礎理論顯然也是不牢固的，通過19世紀柯西與維爾斯特拉斯的極限理論以及康托爾的實數理論，才形成當前嚴密化的微積分知識。而且若果說沒有微積分的推動，那么對于概論統計中的公理化、系統化學科也將很難形成。微積分同概論統計之間是有一定的親緣關系，微積分不僅可以決定概率論中的確定論特征，概率論的發展也是另辟蹊徑，概論統計中不僅有著非線性、反因果的特征，微積分更是可以滲透到概率統計中的各個方面。

因之，微積分中有關函數的種種思想方法可以通暢無阻地進入概率論領域。隨機變量的數字特征、概率密度與分布函數的關系、連續型隨機變量的計算等，顯然借鑒或搬運了微積分的現有成果。又如概率論中運用微積分的基礎——極限論的地方也非常多，諸如分布函數的性質、大樹定律、中心極限定律等。總之，微積分的思想方法滲透到了概率論的各個方面。

2.微積分在概率統計中的實際應用

2.1微分法

某些隨機事件的概率有依賴于1個變量的特點（比如依賴于時間變量等）。該概率作為1個未知函數，有類比于通過微分方程確定未知函數的途徑，從局部性質（增量研究）入手，由微分的方法可求出所需的概率。

例1 某機器在△t時間內因故障而停止的概率為a△t+o（△t）（a為正常數）。如果機器在不重疊的時間內停止的各個事件彼此獨立，如在時刻t0機器在工作著。試求此機器由t0到t0+t這段時間內不停工作的概率。

解：在機器工作穩定的情況下，所求概率應該只與時間區間[t0，t0+t]的長短有關，而與起點t0無關。故所求概率只是t的函數，記為P（t）。由于對P（t）的整體性狀的信息認識不足，只是局部地知道機器在充分小的△t時間內因故障停車的概率為a△t+o（△t）。可以先去考查P（t）在局部范圍的增量變化特征。明顯地，機器[t0，t0+t+△t]內不停，當且僅當在[t0，t0+t]及[t0+t，t0+t+△t]2段時間內都不停時才成立。利用這2個事件的獨立性可得：

2.2逐項微分法

根據變量數學期望與方差的定義，利用隨機變量的概率分布或分布密度的特點，可以用逐項微分法求出隨機變量的數學期望與方差。對于概論分布或分布密度含有參數的隨機變量，也可應用逐項微分法求出其數學期望與方差。

2.3冪級數法

級數是數學的重要組成部分，是表示函數的重要工具。所謂冪級數法，就是在某個任意點的領域上，把待求的解表為系數待定的冪級數，代之方程以逐個確定系數。冪級數解法是一個比較普遍的方法，適用范圍較廣，可借助于解析函數的理論進行討論。

2.4特殊函數法

Gamma函數與Beta函數在概率論中有著廣泛的應用，借助Gamma函數，概率論中有重要的？祝分布和x2分布。

由此可見，微積分是學習概率論的基礎。猶如以上幾例經常遇到用微積分的基本方法去解決一些概念問題。

微積分有著幾百年的歷史，已經非常完善，也許這也是為什么數學家們用微積分解決概率論問題的原因之一，微積分確實推動了概率論這門學科的快速發展。反之，概率論的很多思想也可以用于解決復雜的微積分問題，希望我們可以發現更多地方法，用于兩者的共同發展。

參考文獻：

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作者簡介：

陳潔（1981.08-），女，云南景洪人，本科，講師，研究方向，數學與應用數學。