幾何直觀

麻炳鈴

[摘 要]幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。在教學上，通過引導學生對比多種方法，挖掘幾何直觀內涵，培養學生的幾何直觀能力。

[關鍵詞]幾何直觀 解決問題 能力培養

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）05-076

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于學生梳理探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”而在實際教學中，部分教師在認識上存在著一定的局限性，在課堂教學中，僅僅重視培養邏輯推理能力，忽視對學生幾何直觀能力的培養。因此，全面地理解幾何教育的價值，重視幾何直觀，使學生能夠靈活地運用“以形助數”這把“利劍”，巧妙地解決復雜的數學問題，真正有效地提高學生的幾何直觀能力，這應是一線教師努力的方向。

一、巧用對比，感受幾何直觀價值

心理學家皮亞杰根據兒童的認知理論將兒童的認知分為四個階段：感知運動階段、前運算階段、具體運算階段、形式運算階段。而小學階段的學生正處于第三階段，他們很難理解復雜的數量關系，如果能借助圖形使數量關系直觀化、形象化、簡單化，那么找到解題的方法相對也較容易。要想讓學生主動地以形助數，首先應該讓其感受幾何直觀的內在價值，激起他們內在的驅動力。這就要求教師在平時的教學中選擇合適的教學內容，引導學生感受和領悟圖形的價值。

例如，計算“+++++”時，大部分學生用通分的方法，比較繁瑣。這時教師就可引導學生觀察圖1，輕松得出“要求‘+++++’的和，其實就是要求出圖中所有陰影部分的面積之和，而‘圖中所有陰影部分的面積=1-空白部分的面積’，空白部分的面積其實等于最后一個加數的大小，即，所以+++++=1-=”。

通過對比方法，借助圖形的直觀性特點將抽象的數轉化成直觀的圖形，在“形”與“數”的對應中，將一道復雜的運算轉化成求圖形的陰影部分面積，不僅降低了運算的難度，加深了學生對數的意義的理解，同時也為學生對算理的理解打開了一條新的通道。這樣的學習過程不僅能讓學生感受到豁然開朗的輕松愉悅，也能讓學生萌發主動應用幾何直觀的意識。

二、適時操作，積累幾何直觀經驗

直觀，雖然沒有經過嚴格的邏輯推理，卻能有效促進人們對觀察對象的全貌和本質的把握。借助幾何圖形的直觀，常常能發現圖形之間的關系，甚至會產生對相關數量之間關系的猜想。正如“語感”、“數感”那樣，學生也只有在平時的動手操作中不斷地積累，才能逐步提高幾何直觀素養。

例如，新北師版四年級下冊“優化”的教學片斷。

師：要想盡快吃上餅，至少需要多長時間？

生1：只要12分鐘。

生2：只要9分鐘。

師：看來大家有不同的意見。請把老師提供的圓形紙片當做餅，先模擬一下烙餅過程，再把你的想法在課堂作業本上表示出來。（生迫不及待地開始動手操作）

師：誰來說說你是怎么烙餅的？

生3：假設數學書是“鍋底”，這三張圓形紙片是三個“餅”。我是先烙第一個餅的正面和第二個餅的正面，再烙第一個餅的反面和第二個餅的反面，接著烙第三個餅的正面，最后烙第三個餅的反面。所以共需要3×4=12（分鐘）。

生4：我是用圓形紙片表示餅，第一次先烙第一個餅的正面和第二個餅的正面，第二次烙第一個餅的反面和第三個餅的正面，第三次烙第二個餅的反面和第三個餅的反面。所以只要3×3=9（分鐘）。

師：為什么生4比生3所用的時間少呢？

生5：因為生3在第三次和第四次烙餅的時候，沒有同時烙兩個餅，浪費了空間。

師：生4所用的時間會是最少的嗎？

生6：會，因為它每次都烙兩個餅，沒有浪費空間。

……

在操作中，學生用圓形紙片替代餅，再將圓形紙片抽象成圓形符號，經歷了“實物直觀→替代物直觀→符號直觀”的抽象過程。正因為借助直觀圖形，并動手操作，學生才能輕而易舉地把烙餅過程抽象成圖形符號和數學語言，學生既明白了怎樣烙餅才能更省時間的道理，抽象思維又得到了發展，在一定程度上積累了幾何直觀經驗。

三、挖掘本質，凸顯幾何直觀內涵

運用幾何直觀研究問題，通常要先把研究的“對象”抽象成“圖形”，再把“對象之間的關系”轉化為“圖形之間的關系”，從而把所研究的問題轉化為關于“圖形的數量或位置關系”的問題，然后借助圖形進行思考、分析，從而找到解題思路。因此，教師應在培養學生利用幾何直觀描述與分析問題的意識與能力上下工夫，這就意味著，對幾何直觀的教學，教師要關注學生表述問題的過程，以及表述之后的反思與頓悟。沒有反思與頓悟，學生可能獲得了幾何的方法，卻未必獲得“幾何直觀”的能力。

例如，教學“3的倍數特征”時，大多數教師都采用“先讓學生在100以內的數表中圈出是3的倍數的數，然后引導學生觀察這些數有哪些共同特點，進而探索出3的倍數特征——各個數位上的數字的和是3的倍數”。這樣的課給人感覺缺少一點“深度”，即對“3的倍數特征本質”的挖掘。教師不妨再追問學生兩個問題——

師：為什么3的倍數的特征是各個數位上的數字的和呢？（生表示疑惑）。

師：我們用小棒數量來表示數43（4捆小棒加3根小棒），每捆小棒都有10根，3根3根地分，每捆還剩下幾根？

生1：還剩下1根。

師：這樣4捆共剩下幾根？

生2：4根。

師：這時只要把這4根小棒再加上個位上的3根小棒，所以要看43是不是3的倍數只要看十位數字與個位數字的和。

師（再次追問）：如果這個數是三位數，你能解釋其中的道理嗎？

生3：也是一樣的道理。百位上的數字如果是“6”，表示600根，每100根一捆，3根3根地分以后，也還是剩下1根，6捆總共剩下6根，所以只要用百位上的數字“6”加十位上的數字和個位上的數字，即各個數位上的數字的和。

師：這位同學條理非常清楚，相信同學們也能用同樣的方法解釋更大的數。

通過追問學生兩個數學問題：“為什么3的倍數的特征是各個數位上的數字的和？”和“如果這個數是三位數，你能解釋其中的道理嗎？”進一步激發學生進行數學思考。學生借助直觀的小棒，能夠發現：“4捆小棒就是表示十位數中的40，單獨的3根小棒表示個位的數字3。緊接著要判斷是不是3的倍數只要看每捆中剩下的小棒與單獨小棒的總數之和。”學生不僅知其然，還能知其所以然，在觀察、分析中學生的幾何直觀能力得到了提升。

“冰凍三尺，非一日之寒。”培養學生的幾何直觀能力同樣需要一個長期、循序漸進的過程，需要教師在教學中長期關注，有意識地滲透，不斷地將學生的思維引向深處，真正提高學生的幾何直觀能力。

（責編 童 夏）