淺談初中幾何問題的“一題多解”

劉月芳

摘 ? ?要：本文舉例說明了4個(gè)幾何問題的一題多解，例題有淺有深，就此談?wù)勛约旱目捶ㄒ話伌u引玉。

關(guān)鍵詞：初中;幾何問題;一題多解

中圖分類號(hào)：G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1992-7711（2015）24-001-02

數(shù)學(xué)從自然中誕生，數(shù)學(xué)從生活中體現(xiàn)，生活中的一切都有數(shù)學(xué)的影子。在科技迅速發(fā)展的今天，數(shù)學(xué)已經(jīng)深入到各個(gè)領(lǐng)域，華羅庚在《大哉數(shù)學(xué)之為用》提到：宇宙之大，粒子之微，火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎，日用之繁等各個(gè)方面，無處不有數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)。幾何作為數(shù)學(xué)的一部分，其重要性不言而喻;幾何邏輯推理的環(huán)環(huán)相扣對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力具有提升作用。因此，對(duì)于剛接觸幾何的初中學(xué)生而言，如果能對(duì)學(xué)生進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，從不同解法中探索不同求解的奧妙;從不同定理的應(yīng)用中學(xué)到不同的數(shù)學(xué)思想和方法，這樣對(duì)提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的熱愛和興趣，開發(fā)學(xué)生智力，拓展學(xué)生思路和應(yīng)變能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、分析和解決問題的能力以及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度都起著重要作用。

本文舉例說明了4個(gè)幾何問題的一題多解，例題有淺有深，就此談?wù)勛约旱目捶ㄒ話伌u引玉。

一、幾何定理推導(dǎo)中的“一題多解”

應(yīng)用定理解決問題是數(shù)學(xué)解題中的重要組成部分，但往往學(xué)生只注重定理的結(jié)論，而忽略定理的推導(dǎo)證明。教學(xué)實(shí)踐證明，那些熟悉定理推導(dǎo)過程的學(xué)生，思維敏銳性更高，學(xué)習(xí)成績也更優(yōu)。三角形中位線定理是一個(gè)基礎(chǔ)定理，教材對(duì)于三角形中位線定理的推導(dǎo)較為簡單。教學(xué)中，我鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方法證明三角形中位線定理，下面給出部分學(xué)生各具特色的證明推導(dǎo)方法。

例1.在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn).求證：DE∥BC且DE=0.5BC

證法1：由條件易得AD/AB=AE/AC=0.5，而∠A=∠A

∴△ADE∽△ABC ? ∴DE/BC =AD/AB=0.5 ∠ADE=∠ABC

∴DE=0.5BC DE∥BC

原命題得證

評(píng)注：此證法簡單利用相似的方法，不作輔助線，證法簡潔。

證法2：如圖1-1，連結(jié)BE、CD交于點(diǎn)O

∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn) ? ? ∴點(diǎn)O是△ABC重心 ? ? ∴OD/OC=OE/OB=0.5

∵∠EOD =∠BOC ?∴△EOD∽△BOC

∴DE/BC =OD/OC=0.5 ? ∠OED=∠OBC

∴DE=0.5BC DE∥BC

原命題得證

評(píng)注：此法利用三角形重心性質(zhì)和相似的方法，證法簡練。

證法3：如圖1，連結(jié)BE、CD

∵D是AB中點(diǎn) ?∴CD是△ABC的中線

∴S△BCD=0.5S△ABC

同理S△BCE=0.5S△ABC，S△ABE=0.5S△ABC，

S△BDE=0.5S△ABE

∴S△BCD=S△BCE ?S△BDE=0.5S△BCE

∵△BCD和△BCE有相同底邊BC

∴△BCD和△BCE同底BC邊上的高相等 ? ? ∴DE∥BC

∴△BDE邊DE上的高和△BCE邊BC上的高相等

∵S△BDE=0.5S△BCE ? ? ?∴DE=0.5BC

原命題得證

評(píng)注：此證法利用三角形面積的等量關(guān)系和平行線的性質(zhì)證明，證法簡約、別具一格。

證法4：如圖1-2，作AF⊥BC于點(diǎn)F，作DH⊥BC于點(diǎn)H，作EI⊥BC于點(diǎn)I，易得DH∥AG∥EI

∴∠BDH=∠BAF ? ?∵∠B=∠B

∴△BDH∽△BAF

∴DH/AF=BH/BF=BD/BA=0.5

同理：EI/AF=CI/CF=0.5

∴DH=EI BH/BF=CI/CF=0.5

∵DH∥EI ? ? ? ∴四邊形DHIE為平行四邊形

∴DE=HI DE∥HI ? ? ∵HI與BC共線 ? ? ?∴DE∥BC

由上知BH/BF=CI/CF=0.5 ? ? ∴BH+CI=0.5（BF+CF）=0.5BC

∵BC =BH+CI+HI ? ? ? ∴HI=0.5BC

∵DE=HI ? ∴DE=0.5BC

原命題得證

評(píng)注：此證法作3條高，得到3個(gè)矩形，利用三角形相似、垂直于同一直線的兩直線平行以及平行四邊形的性質(zhì)證明，證法簡單明了。

證法5：如圖1-3，延長DE至F使EF=DE，連結(jié)CF

∵E是AC中點(diǎn) ? ? ∴AE=CE

∵∠AED=∠CEF ?DE=FE

∴△AED≌△CEF ? ∴∠DAE=∠FCE ? ? ? ?∴AD∥CF且AD=CF

∵AD=BD AD和BD共線 ? ? ∴BD∥CF且BD=CF

∴四邊形BDCF為平行四邊形 ? ? ∴BC∥DF且BC=DF

∵EF=DE，DF=EF+DE ? ? ∴DE=0.5DF=0.5 BC

原命題得證

評(píng)注：此證法利用全等三角形和平行四邊形的性質(zhì)證明，證法簡單。

當(dāng)然，三角形中位線定理的證明不拘于以上五種方法，也可構(gòu)建直角坐標(biāo)系，利用斜率以及點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離等證明。以上五種證法簡潔而精煉，體現(xiàn)了學(xué)生獨(dú)立思考、積極探索的精神，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)也展示了學(xué)生的創(chuàng)新性和開拓力。“一題多解”對(duì)學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)具有顯著的提高效果。

二、幾何計(jì)算中的“一題多解”

例2 .如圖2-1，AB∥CD，求∠A+∠E+∠C的值.

解法1：如圖2-2，延長AE、DC交于點(diǎn)F

∵AB∥CD ? ? ∴∠A+∠F=180° ∵∠AEC =∠F+∠FCE

∴∠A+∠AEC +∠ECD=∠A+∠F+∠FCE+∠ECD=180°+180°=360°

解法2：如圖2-3，過點(diǎn)E作EF∥AB，易得∠A+∠AEF=180°

∵AB∥CD ? ? ∴EF∥CD

∴∠C+∠CEF =180°

∵∠AEC=∠AEF+∠CEF

∴∠A+∠AEC+∠C=180°+180°=360°

評(píng)注：本題所考察的知識(shí)點(diǎn)為兩直線平行的判定與性質(zhì)，在解題的過程中運(yùn)用了三角形的外角和定理。由于考慮的出發(fā)點(diǎn)不同，輔助線的作法也不相同。

例3.如圖3-1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面積.

解法1：如圖3-2，過點(diǎn)F作FG⊥CE于點(diǎn)G令FG=x （x>0）

由條件易得∠C=45°

∵FG⊥CE即∠FGC=90°∴CG=FG=x

∵CE=AE=0.5AC=0.5 ? ? ∴GE=CE-CG=0.5- x

∵∠ABE+∠BEA =90°∠GEF+∠BEA =90°

∴∠ABE =∠GEF ? ? ?∵∠A=∠EG =90°∴△ABE∽△GEF

∴AB/GE=AE/FG 即1/（0.5-x）=0.5/x

解得x=1/6 即FG =1/6

∴S△CEF=1/2CE·FG=1/2×1/2×1/6=1/24

評(píng)注：此解法主要通過等腰直角三角形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解方程知識(shí)加以解決，再直接利用面積公式，解題一氣呵成。

解法2：如圖3-3，過點(diǎn)C作CG∥FE交BE延長線于點(diǎn)G，由條件易得∠C=45°

∵FE⊥BE即FE⊥BG ?CG∥FE

∴CG⊥BG ? ? ? ∴∠G=90°

∵∠A=90°∴B、C、G、A四點(diǎn)共圓 ∴BE·CG=AE·BC=1/4

由條件易得BE=? ?∴EG=? ? ∴BE/EG=5

∵CG∥FE ? ? ∴BF/FC=BE/EG=5

∵BC=BF+FC ? ?∴FC=1/6BC ? ? ∴S△CEF=1/6S△CEB

∵E為AC中點(diǎn) ∴S△CEB=1/2S△CAB

∴S△CEF=1/12S△CAB

∵S△CAB=1/2AC·AB=1/2×1×1=1/2 ? ? ∴S△CEF=1/24

評(píng)注：此解法所用知識(shí)點(diǎn)有：四點(diǎn)共圓的判定、相交弦定理、勾股定理、平行線分線段成比例、相似三角形的判定與性質(zhì)。

題目雖短，但涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)探求過程中，得出多解，鞏固強(qiáng)化了相關(guān)知識(shí)、開闊了其思維。同樣，此題的求解方法也絕不僅限于以上兩種。

三、幾何證明中的“一題多解”

初中幾何證明題大多陳述簡練，但考察范圍廣泛，解題方法也多，對(duì)學(xué)生綜合能力要求較高。

例4.如圖4-1，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC是直徑，且AD=CD，AB=4，BD=5，求證：BC：AB=3：2.

證法1：如圖4-2，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E、F

∵AC是⊙O直徑 ? ? ∴∠ABC=∠ADC=90°

∴∠DAB+∠DCF=180° ?∵∠DAB+∠DAE=180°

∴∠DAE=∠DCF ? ? ?∵∠E=∠DFC=90° ?AD=CD

∴△DAE≌△DCF ? ? ∴DE=DF ?AE=CF

由上得∠E=∠EBC=∠BFD=90°∴四邊形DEBF為正方形

∵BD=5? ?∴BE=BF=5 ? ?∵AB=4 ? ? ∴AE=BE-AB=1

∵AE=CF ? ?∴BC=BF+CF=BF+AE=6 ? ?∴BC：AB=6：4=3：2

原命題得證

評(píng)注：本證法從∠ADC=90°，AD=CD入手，找出了兩個(gè)全等三角形，并構(gòu)造了正方形DEBF，再根據(jù)正方形的性質(zhì)，推導(dǎo)出線段BC的長度。

證法2：如圖4-3，將△DAB繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到新的△DEF，則∠BDF=90° BD=FD AB=EF ∠DAB=∠DEF

∵AC是⊙O直徑 ? ?∴∠ADC=∠ABC=90°

∵AD=CD ? ? ∴點(diǎn)C、E重合

由上易得∠DAB=∠DEF=∠DCF ? ?∠DAB+∠DCB=180°

∴∠DCF+∠DCB=180° ? ∴點(diǎn)B、C、F三點(diǎn)共線

∵∠BDF=90° BD=FD

∴△DBF是以BF為斜邊的等腰直角三角形

∵BD=5? ∴BF=10 ?∵AB=EF=CF =4 ?∴BC=BF-CF=6

∴BC：AB=6：4=3：2

原命題得證

評(píng)注：本證法巧妙利用圖形的旋轉(zhuǎn)變化性質(zhì)，將△DAB旋轉(zhuǎn)變換組成一個(gè)等腰直角△BDF，從而推導(dǎo)出線段BC的長度。

證法3：由托勒密定理，可知AB·CD+AD·BC=AC·BD，不妨設(shè)AD=CD=x （x>0），易得AC=x

∵AB=4 ?BD=5? ∴4x+x·BC=x·5

∴BC=6 ? ?∴BC：AB=6：4=3：2

原命題得證

評(píng)注：對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，適當(dāng)補(bǔ)充課外知識(shí)，解題時(shí)可能有意想不到的效果。

本題涉及的知識(shí)主要有：圓心角關(guān)系、等腰三角形性質(zhì)、三角形全能的判定、勾股定理、正方形性質(zhì)以及圖形的旋轉(zhuǎn)組合。當(dāng)然，證明方法決不僅僅是以上3種，比較以上3種證明方法，利用托勒密定理是解題步驟較少的一種方法。

四、結(jié)語

運(yùn)用多種方法解答同一道數(shù)學(xué)題，從不同的角度出發(fā)，不僅能對(duì)問題的認(rèn)識(shí)更加深刻，更能牢固系統(tǒng)地掌握和運(yùn)用所學(xué)知識(shí);而且通過“一題多解”，分析比較，尋找解題的最佳途徑和方法，這個(gè)過程能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，使其在愉悅地探索中提升創(chuàng)造性思維能力。“一題多解”涉及的知識(shí)面廣，而且要求學(xué)生能靈活綜合地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)生沒有一定的基礎(chǔ)和技能很難實(shí)現(xiàn)“一題多解”。“一題多解”教學(xué)的采用應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況，選擇適當(dāng)?shù)睦}才能奏效。教師在教學(xué)中應(yīng)有所注重學(xué)生“一題多解”能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生有選擇地把做過的題目換一種方法解答，這樣對(duì)鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)，完善學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)學(xué)生解題能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)成績大有益處。

[參考文獻(xiàn)]

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[2] 章淳立. 關(guān)于一題多解的教學(xué)問題[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)， 1989（6）.