密西根大學《抽象代數》課程設置探析

李瀏蘭++羅李平++陳少林++劉剛

摘要：本文對密西根大學數學系《抽象代數》課程的設置進行了研究，發現其課程設置方案具有模塊化、層次性和針對性等優點，為我們進行教學改革提供了參考依據。

關鍵詞：抽象代數；課程設置；數學專業

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）06-0056-02

密歇根大學（University of Michigan，簡稱密大）是美國歷史上最悠久的大學之一，在世界范圍內享有極高的聲譽。密歇根大學自建校以來，在各學科領域中成就卓著并擁有巨大影響，被譽為“公立常春藤”，與加州大學伯克利分校以及威斯康星大學麥迪遜分校素有“公立大學典范”之稱，使得很多學生趨之若鶩。鑒于密大在美國以及在全世界教育中的地位，很多人對密大的教育進行了研究，參見[1-3]，但是鮮有人研究密大具體某門課程的設置。《抽象代數》是數學專業的必修課程，與拓撲、泛函并稱為數學的新三基。因此，抽象代數是所有高校數學專業的必修課程。作者一直從事抽象代數的教學工作，深知很多學生對該門課程是望而生畏的，因此，非常關注各高校對該門課程的設置與教學情況。由于密大數學系在美國所有的大學中一直名列前茅，作者尤其關注密大數學系對該門課程的設置，總結其優點如下，對數學專業設置《抽象代數》課程提供參考依據。

一、模塊化

密大數學系為本科生提供了6種可供選擇的修課項目，分別是數學教學（teaching mathematics）、純粹數學（pure mathematics）、榮譽數學（honors mathematics）、數學科學（mathematical sciences）、金融風險管理（mathematics of finance and risk management）和精算（actuarial mathematics）。作為密大數學專業的本科生，他們必須學習四年，雖然這六種修課項目有不同的要求和前提條件，但是基本的先決條件和所學的基礎課程是相同的，所以學生在大一和大二期間必須先學習這些基礎課程。在大二的最后階段，學生根據各自的學習情況和興趣愛好，通過咨詢系里的導師確定修課項目，大三即按照選定的修課方案學習。精算項目旨在幫助學生通過壽險精算協會和精算師協會的考試，而風險管理項目又簡稱金融數學，旨在提供風險管理和金融的量化方面的教育培訓。精算項目和風險管理項目所需要的金融工具主要來自于概率、統計和微分方程等領域，因此，這兩個項目不要求學生學習抽象代數課程。

數學教學項目致力于培養中學數學教師，除了必要的高等代數知識外，還要求學生在“數論”和“抽象代數”這兩門課程中任選一門作為必修課，如果學生選擇學習“抽象代數”，則他們可以選擇在課程312、412或493中任選一門修學（課程312、412、493見表1）。數學科學項目強調數學在其他學科中的應用，旨在培養應用數學知識解決某個領域的專業問題的能力，該項目又進一步細分成八個專業方向：控制系統、數學物理、數學生物學、數理經濟學、離散和算法的方法、數值與應用分析、運籌與建模、概率方法。雖然這八個方向的具體專業要求不同，但是學生都必須學習代數，必須在“離散數學”和“抽象代數”課程中二選一作為必修課程，如果學生選擇學習“抽象代數”，則它們可以在課程312、412或493中任選一門學習。純粹數學旨在培養學生的嚴格的邏輯推理能力，并使得學生接觸和掌握代數、分析、幾何、拓撲等數學分支的精髓。因此，該項目增加了數學的難度，抽象代數是必修課程，學生必須在412和493中任選一門。榮譽數學項目旨在培養學生從事數學科研的能力，為學生今后讀數學研究生做好準備。該項目的專業課程由數學系的杰出教師采用小班授課，教學內容涵蓋基礎數學和應用數學的內容。除了標準課程外，該項目還會講解算法、密碼學、生物數學和金融數學等邊緣學科的最新進展。成績優異的學生可以學習研究生課程。因此，該項目對學生的要求最高，學習的難度最大，抽象代數是必修課程，學生必須學習課程493。

綜上所述，密大數學系提供了312、412和493等三個模塊的抽象代數課程，學生可根據修課項目的不同選擇對應的模塊學習。

二、層次性

課程312、412和493都是抽象代數課程，它們有著所有代數類課程的共同目標：讓學生接觸嚴謹的代數語言，培養學生嚴格的邏輯推理能力。但是，由于各自的側重點不同，所以課程312、412和493所需的基礎、開課時間、選取的教材、教學目標、教學內容等都不盡相同。課程312，又名應用近世代數，顧名思義，即側重培養學生利用抽象代數知識解決實際問題的能力，因此，學生學習的內容有：（1）集合與函數、關系與圖、環論、布爾代數、半群、群、格；（2）在開關線路設計、自動化、編碼理論等方面的應用。該課程采用的教材是Childs編的《A Concrete Introduction to Higher Algebra》，這本書通過整數和多項式等大家耳熟能詳的例子引入環和域等概念，并將一部分環和域的知識通過應用來體現，可讀性強，且整本書中有900多個習題。所以，該課程最貼近實際，是這三門課程中難度系數最低的，學生只要學習過線性代數的相關知識就可以學習該課程。課程412與課程312相比，更加重視理論，要求學生掌握抽象代數的基本概念與方法，培養學生較強的邏輯推導能力，學習的內容比課程312更抽象，難度系數更高。課程493是這三門課程中最抽象和最有難度的課程，旨在以嚴謹的方式向學生介紹群、環、域、模等代數結構，強調概念和證明，講授的內容幾乎是課程412的兩倍，講解的習題非常有挑戰性。因此，這三門抽象代數課程在難度上層層遞增，有著鮮明的層次性，具體見表1。

三、針對性

在密大數學系，要求學習抽象代數知識的修課項目有數學教學、純粹數學、榮譽數學（honors mathematics）和數學科學。選擇榮譽數學項目的學生基本都會讀研究生繼續深造，因此需要很強的理論知識，因而他們必須學習難度系數最高的課程493，為他們今后從事科研工作打好堅實的理論基礎。純粹數學項目旨在培養學生嚴謹的邏輯推理能力和了解數學的各個基本學科，因此必須學習抽象代數課程，但是學生可以根據自己的情況在難度系數有差別的課程412和493中任選一門。數學教學項目要求學生掌握一定的數論知識，因此學生可以根據自己的實際情況選擇學習“數論”或“抽象代數”，如果學生選擇學習“抽象代數”，則他們可以選擇在課程312、412或493中任選一門學習。數學科學項目強調數學的應用性，偏重應用，學生可以選擇“離散數學”或“抽象代數”，如果選擇了“抽象代數”，他們同樣可以在課程312、412或493中任選一門學習。這樣的設置方式，充分考慮了學生的學習興趣和學習能力的差異性，體現了因材施教的教育理念，有著很強的針對性。

區區一門課程卻細分成三種選課方案，這些方案在難度上層層遞增，兼顧了各個層面的學生，使學生能根據自己的學習能力和學習目的選擇合適的方案，充分體現了以學生為本的人文精神，值得我們學習與深思，為我們進行教學改革提供了思路。

參考文獻：

[1]喬建永.美國密西根大學教學評估工作的啟示[J].中國大學教學，2013，（5）：11-12.

[2]鄔大光.世界一流大學解讀-以密西根大學為例[J].高等教育研究，2010，（12）：82-93.

[3]吳畏.哲學本科專業的大學定位和人才培養的問題研究——密西根大學安娜堡分校的啟示[J].當代教育理論與實踐，2013，（5）：57-59.

[4]L.N.Childs.A concrete introduction to higher algebra[M].第三版.Springer，2009.

[5]N.H.McCoy和G.J.Janusz.Introduction to abstract algebra[M].第七版.Trust- worthy Communications， LLC，2009.

[6]Michael Artin.Algebra[M].Pearson Education，2011.endprint