基于Matlab的微分方程課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

張建勇++陳亮++陳雨兒++王建鵬

摘要：高等數(shù)學(xué)教學(xué)的改革受到國內(nèi)各高校的重視。本文在傳統(tǒng)的教學(xué)基礎(chǔ)上，以微分方程一章為例，結(jié)合Matlab設(shè)計(jì)課堂教學(xué)內(nèi)容和形式。這種教學(xué)設(shè)計(jì)是對傳統(tǒng)教學(xué)的有益補(bǔ)充，同時(shí)還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣。

關(guān)鍵詞：微分方程；數(shù)值解；Matlab；教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）52-0168-02

一、引言

微分方程是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科，有完整的理論體系，是描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最常用的數(shù)學(xué)工具，也是很多科學(xué)與工程領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)[1]。在高等數(shù)學(xué)課程中，重點(diǎn)介紹了線性和低階特殊的微分方程的解析解的求法。這些解法中體現(xiàn)了降階、復(fù)雜問題簡單化等數(shù)學(xué)思想[2]。

微分方程在幾何、力學(xué)和物理等實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用，學(xué)生可以在該部分的學(xué)習(xí)中，感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的理論和方法解決實(shí)際問題的魅力。實(shí)際上能夠能夠求得解析解的微分方程并不多，所以數(shù)值解就顯得尤為重要。利用數(shù)學(xué)軟件對微分方程的解進(jìn)行數(shù)值模擬，是對微分方程求解的有益補(bǔ)充。Matlab[3]是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，在數(shù)值計(jì)算方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢。本文以可降階的二階微分方程為例，簡單地介紹了Matlab在微分方程教學(xué)中的輔助作用，同時(shí)這種教學(xué)設(shè)計(jì)方式可以推廣到其他章節(jié)。

二、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)手段等

該部分的教學(xué)目標(biāo)是掌握三種特殊形式的二階微分方程的降階求解方法，同時(shí)樹立降階和利用微分方程建立模型的數(shù)學(xué)思想。在現(xiàn)階段由于計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)的發(fā)展，可以加上“了解或利用Matlab求解微分方程”這一個(gè)新的目標(biāo)。教學(xué)形式仍然是講授為主，教學(xué)手段是多媒體教學(xué)加上Matlab軟件。

三、教材上的內(nèi)容

對于不同的高等數(shù)學(xué)教材來說，該部分的內(nèi)容幾乎沒有差別。這里只是簡單提及一下。

針對三種特殊的微分方程y''=f（x）、y''=f（x，y'）、y''=f（y，y'），采用降階的思想，即令y'=p，對于前兩種形式的微分的微分方程，再令y''=p'實(shí)現(xiàn)降階。對于最后一種形式，為了防止一個(gè)微分方程中出現(xiàn)兩個(gè)未知函數(shù)，在y'=p的基礎(chǔ)上，令y''=p■，實(shí)現(xiàn)降階，并求得到方程的解。運(yùn)用教材中的求解方法，可以得到微分方程解的顯式或隱式表達(dá)式。Matlab可以求解顯式解。重要的是，在無法獲得解析解的時(shí)候，可以通過Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬[4，5]。接下來主要介紹如何在本節(jié)中使用Matlab軟件。

四、結(jié)合Matlab的教學(xué)

1.顯式解。Matlab可以求得顯式解，但無法獲得隱式解。通常情況下顯式解的命令調(diào)用格式為：

s=dsolve（eqn，cond，Name）

其中eqn表示微分方程，cond是初始條件，Name是方程中的自變量。如下面的例1。

例1.求解微分方程（1+x■）■-2x■=0.

在command窗口輸入以下代碼：

y=dsolve（'（1+x^2）*D2y-2*x*Dy=0'，'x'）

求得結(jié)果為：

y=C2+（C3*x*（x^2+3））/3

該解可以很明顯的看出來是：

y=C■+■C■x（x■+3）

如果顯示的代碼很復(fù)雜，可以通過命令latex（），再結(jié)合mathtype把結(jié)果顯示成公式的形式。以該題為例，Latex（y）顯示為：

＼mathrm{C2}+＼frac{＼mathrm{C3}＼，x＼，＼left（x^2+3＼right）}{3}

然后在word中鍵入兩個(gè)$，將上述代碼拷貝到$$中間，如下

$＼mathrm{C2}+＼frac{＼mathrm{C3}＼，x＼，＼left（x^2+3＼right）}{3}$

在mathtype中找到Toggle TeX，點(diǎn)擊，得到公式為：

C2+■

這與降階法得到的結(jié)果一致，同時(shí)將代碼轉(zhuǎn)化為公式的方法比Matlab自帶的simple（）命令更具有實(shí)用性。

2.數(shù)值解。在無法求得解析解的時(shí)候，數(shù)值解顯得尤為重要。微分方程的數(shù)值解法有多種，可以根據(jù)數(shù)值計(jì)算理論，如Euler方法，如自己編寫代碼，可以直接調(diào)用Matlab自帶的命令，如ode45（）等，也可以通過Simulink進(jìn)行仿真計(jì)算。通常情況下，采用Matlab自帶的函數(shù)來求解微分方程。

為說明數(shù)值方法的有效性，下面討論一個(gè)可以求得解析解的例題。一方面該例題反映了微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，另一方面對數(shù)值解和解析解進(jìn)行比較。

例2.設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)A（1，0）處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對準(zhǔn)乙艦。如果乙艦以最大的速度v0（常數(shù)）沿平行于y軸的直線行駛，如圖1。導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程。

根據(jù)題意建立微分方程如下：

（1-x）y''=■■y（0）=0；y'（0）=0

通解為：

y=-■（1-x）■+■（1-x）■+■.

利用Matlab求其數(shù)值解，令y■=y，y■=y'，將方程化為一階微分方程組：

y■'=y■y■'=■■/（1-x）

建立m文件如下：

clc

x0=0；xf=0.9999；

[x，y]=ode45（'eq1'，[x0 xf]，[0 0]）；

plot（x，y（：，1），'k.'，'LineWidth'，2）；

hold on

x1=x0：0.01：xf；

y_sim=-5/8*（1-x1）.^（4/5）+5/12*（1-x1）.^（6/5）+5/24；

plot（x1，y_sim，'k-'，'LineWidth'，2）

axis（[0 1.1 0 0.25]）

hold on

y1=0：0.01：2；

plot（1，y1，'k-^'）；

legend（'數(shù)值解'，'解析解'，'乙艦逃跑線路'）

grid on

function dy=eq1（x，y）

dy=zeros（2，1）；

dy（1）=y（2）；

dy（2）=1/5*sqrt（1+y（1）^2）/（1-x）；

利用Matlab軟件求解如圖2。從圖2中可以看到，數(shù)值解和解析解吻合的非常好，在一般實(shí)際工程問題中，數(shù)值解完全能滿足精度的要求。

五、總結(jié)

這種課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)，第一，它能夠豐富課堂教學(xué)內(nèi)容，在不改變原有講授知識的情況下，可以讓學(xué)生感受到高等數(shù)學(xué)在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)水平下散發(fā)出的新的魅力。第二，這種設(shè)計(jì)有力地推動(dòng)了高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和興趣，對數(shù)值方法和數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)可以提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。

但是傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中有較多的公式、定理的推導(dǎo)，它在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、逐步了解和掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想等方面有不可替代的位置。所以，這種教學(xué)設(shè)計(jì)在課堂中所占比重不能過大，否則會(huì)造成不良的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]王高雄，周之銘，朱思銘.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2011.

[3]張志涌，楊祖櫻.MATLAB教程R2012a[M].北京航空航天大學(xué)出版社，2010.

[4]孫燮華.齊次微分方程通解的計(jì)算機(jī)求解[J].中國計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，12（3）：1-6.

[5]葉紅衛(wèi).淺談Matlab在高等手續(xù)微積分計(jì)算中的應(yīng)用[J].電腦知識與技術(shù)，2009，5（5）：1169-1170.endprint