把“數學發現”的權利還給學生

【關鍵詞】教學設計;線性規劃;數學發現

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）38-0052-03

【作者簡介】陳園園，江蘇省蘇州中學園區校（江蘇蘇州，215021）教師。

【設計說明】

本節課選自蘇教版《高中數學·必修五》“不等式”一章，是上一節“二元一次不等式（組）表示的平面區域”的后續內容。本節課是“簡單的線性規劃問題”的第一課時，核心內容是探究生成“求解線性目標函數最值”的方法，關于方法的進一步應用及數學建模的思想可以滲透在以后的課時中。

教材中將本節內容處理為與直線截距有關的量，但筆者以為這種設計有其局限性，原因在于：一是受蘇教版必修教材在江蘇省大部分學校的教授順序限制，本節課之前，高一學生還沒有系統學習過必修二中有關直線部分的內容，許多學生甚至并不知道截距的概念，這樣的講法離學生的最近知識發展區較遠，并不切合高一學生的知識結構;二是目標函數的幾何意義放給學生去探究，對于學生的思維跨度要求大，他們很難馬上找準切入口。

基于上述局限性，筆者想到，既然學生沒有足夠的直線知識背景，何不“順勢而為”，將線性規劃問題看作是有兩個決策變量的函數求最值的問題。由此可以避開談目標函數的幾何意義，從學生熟知的求函數最值的背景出發，激發學生原有對函數的認知。雖然這和教材的編寫安排不同，但教師根據學生的認知基礎定制符合學生的教學方案，用智慧創新教材，使教材更加切合學生實際和自身特點，才符合新課標精神，此時新課程的實施同時成為教師和學生共同發展的基石。

在具體的教學實踐中，引導學生運用了觀察、實驗、歸納、數形結合等數學方法，從處理幾個點對應的目標函數值到批處理一類點對應的目標函數值，認識到何種直線上的點對應的目標函數值不變，進而能處理平面區域內的所有點對應的目標函數值，最終解決問題。學生體驗了由特殊到一般、由現象到本質的過程，課堂上形成了師生間互相交流思想、相互探究學習的雙向活動。

【課例呈現】

一、教學目標

1.探究在線性約束條件下求解線性目標函數最值的方法。

2.初步掌握簡單的線性規劃問題的一般解法。

二、教學重點和難點

如何生成求解線性目標函數最值的方法。

三、教學過程

1.回顧舊知，引入問題。

問題1：請作出不等式組4x+y≤104x+3y≤20x≥0y≥0表示的平面區域。

【師生活動】學生口答回顧確定二元一次不等式（組）表示的平面區域的兩種方法，教師投影展示學生的作圖結果，并小結方法：“線定界，點定域。”

（設計意圖：此問題承上啟下，幫助學生回顧上一節課所學內容的同時，為本節課的線性規劃問題確定了可行域。小結中教師滲透“點定域”的思想就是一個點代替一類點的思想，對于本節課接下來“批處理”多點對應的目標函數值做好鋪墊。）

問題2：今天我們在此基礎上，探究一個新問題：

若x，y滿足4x+y≤104x+3y≤20x≥0y≥0，探求z=2x+y的最大值。

【師生活動】

師：在以前的學習中，大家遇到過求最值的情境嗎？

生：接觸過，在函數部分。

師：函數是臺加工機器，一個輸入值x對應唯一輸出值y。只要遍歷所有的x值，就可以找到y的最值。（教師畫出輸入輸出機器）今天我們要研究的問題可以看成是函數求最值的問題嗎？

生1：z可以看作是關于（x，y）的函數，輸入一個有序數對（x，y），輸出唯一的z值。

生2：每一個有序數對（x，y）對應唯一的z值，只要遍歷所有的有序數對（x，y），就可以找到z的最值。

（設計意圖：自然引入要探究的問題，喚醒學生對新問題和已有的知識之間的聯系，一方面從原有的認知水平出發，起點不高，學生易于接受，愿意嘗試去探究新問題。另一方面，學生更深入理解數學知識的系統性，完善學生的認知結構。）

2.分解問題，逐步遞進。

第一步：利用函數知識，讓學生嘗試得到一些不同的有序數對（x，y）對應的z值。

【師生活動】

師：請同學們動手嘗試找出不同的（x，y）對應的z值。

生3：輸入（1，2），輸出4。[教師板書（1，2）→4]

生4：輸入（2，1），輸出5。[教師板書（2，1）→5]

生5：輸入（1，3），輸出5。[教師板書（1，3）→5]

生6：輸入（1，1），輸出3。[教師板書（1，1）→3]

生7：輸入（2.5，0），輸出5。[教師板書（2.5，0）→5]

師：好，這個工作能做完嗎？

生（搖頭）：不能，因為點有無數個。

師：既然做不完，我們不能繼續下去了，我們要從這些點中找到內在聯系。剛才同學們輸入的點雖不同，可是有幾個點輸出的z值都為5，大家還能找到其他點對應的z值也為5的嗎？

生8：還有，比如（0.5，4），（0，5），……

師：這些點不同，輸出的z值總相同。這些點有什么共同特征？

[設計意圖：從特殊到一般，從具體到抽象符合學生的認知規律，因此可從一些特殊的具體的點（x，y）出發，調動學生探究問題的興趣。在此過程中，學生們注意到每一個有序數對（x，y）與剛才所畫的平面區域的一個點對應，教師引導學生發現不同點對應的z值可能相等的現象，再提出問題，請學生抽象出這種現象的本質。]

第二步：學生歸納z值相等的點的共同特征，建立等z線概念，完成幾個點到一條直線上的點的處理。

【師生活動】

師：（請一個學生用幾何畫板軟件將z值為5的幾個點標在圖中）除了這位同學標出的這些點外，還有很多點對應的z值為5，這些點的共同特征是？

生9：它們都在同一條直線上。

師：在哪條直線上？

生9（補充）：在直線2x+y=5上。

師：這條直線上的所有點都滿足對應的z值為5，很有意思，我們給它起個名字吧。地理學中，把海拔高度相等的點的連線稱為等高線，我們可以給它起名為？

生：等z線。

師：好的。“等z線”滿足——點不同，z相同。類似地，大家可以找到其他“等z線”嗎？

生10：（1，1）→3，（0.5，2）→3，（1.5，0）→3，這些點都在直線上，這也是一條“等z線”。（教師在幾何畫板上畫出）

（設計意圖：以形助數，讓學生逐步接近問題的本質：z值相同的點都在同一直線上即“等z線”上。“等z線”上的點雖不同，但目標函數z值總是相等的，這樣就批處理了這條直線上的所有點對應的z值。學生順利完成平面區域內幾個點對應的z值到一條直線上的點對應的z值的過渡。舉一反三，學生可以再找到其他的“等z線”。）

第三步：學生由不同的“等z線”直觀感受到平面區域內的點對應的z值特征，完成平面區域內一批點到部分點、再到所有點的處理，進而求出z的最大值。

【師生活動】

師：2x+y=5，2x+y=3，兩條“等z線”什么關系？

生：互相平行。

師：這兩條“等z線”之間的點對應的z值可以不再嘗試，是嗎？

生：是的，它們對應的z值總在3與5之間。

師：那么z值可以更大嗎？有最大值嗎？怎么獲得？

生：平移等z線，當經過邊界點B時，“等z線”的z值最大。

[教師用幾何畫板驗證學生的想法，師生共同完成題目的解答，板書完整的求解過程：平行移動直線2x+y=5，當它經過邊界點B（1.25，5）（即直線4x+y=10和4x+3y=20的交點）時，“等z線”的z值最大，最大值為7.5。]

（設計意圖：在觀察到不同“等z線”互相平行的基礎上，學生借助圖形很快領悟到通過“等z線”的平行移動可以找到z值最大的“等z線”，這是本節課的高潮。學生通過分析一步步探索出了解決問題的方法，最初由平面區域內幾個點對應的z值到部分點，最后再到所有點z值的解決，完成了思維的飛躍。）

3.提煉方法，總結步驟。

【師生活動】通過幾何畫板演示找到最優解后，教師趁熱打鐵，給出本節課的有關概念：線性約束條件、線性目標函數、可行域、最優解等。同時學生們小組合作，提煉出解決線性規劃問題的步驟，教師補充總結。解決線性規劃問題的一般步驟為——

（1）畫圖：畫出二元一次不等式組所表示的平面區域（可行域）;

（2）嘗試：嘗試一個點、一類點，得到等z線;

（3）平移：平移等z線，找到取得z最值的點（最優解）;

（4）求解：聯立直線方程得到最優解的坐標，代入求出z的最值.

（設計意圖：提煉概念，自然流暢。總結步驟，實質上是對探索過程的再認識，對數學思想方法的升華，對思維的反思，對新的方法的固化過程。）

4.變式訓練，拓展延伸。

在約束條件4x+y≤104x+3y≤20x≥0y≥0下，求下列目標函數的最值，并指出最優解。

（1）函數z=x+y的最大值;（2）函數z=x-2y的最小值。

（設計意圖：學生之間的認知水平和思維能力是存在差異的。此例題中可行域不變，只是適當變形拓展了目標函數，通過交流各自的做法學生們再次明晰了線性規劃問題的一般解法和求解細節，理解和確立了“等z線”的平移方向。）

四、教后反思

很多時候，我們教師扮演的僅僅是知識傳遞者的角色，關注的是知識本身以及如何把知識教給學生，而很少會從學科性質的角度去思考所教知識的內涵本質以及對學生發展的意義。在本節課的設計中，我一直在思索一個問題：本節課的核心內容到底是什么？是直接教給學生解決問題的方法和操作要領，還是多花時間和功夫和學生一起探究如何生成求解線性目標函數最值的方法？現在想來應該是后者。

新課程認為課堂教學要強調過程，強調學生探索新知識的經歷和獲得新知識的體驗，不能再讓教學脫離學生的內心感受，必須讓學生追求過程的體驗。因此，在設計本節課時，我想，教師不能簡單地去告訴學生概念、定理、方法，而應創設一些數學情境，給足學生時間和空間，引導學生利用已有知識去獲取新知識、新方法。在這個過程中，學生感受到解決問題的方法不是憑空產生的，更不是老師硬生生塞給的，他們帶著問題進入發現者的角色，通過自己的“數學實驗”探究出問題的解法。學生的主體地位得到充分發揮，提出問題、解決問題的能力得到提高，相應地，學習能力也得到了發展，這正是新課程所倡導的。數學教學最終要教會學生思考，將有益的思考方式和思維習慣放在教學的主要位置，最終才可能達到發展學生學力的目的。