幾何直觀在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中的運(yùn)用

金建琴

摘 要： 隨著數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，幾何直觀便成為數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要問(wèn)題。本文通過(guò)在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中運(yùn)用幾何直觀的實(shí)踐與探索，闡述運(yùn)用幾何直觀對(duì)理解數(shù)學(xué)概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、探究計(jì)算方法和分析數(shù)量關(guān)系四方面的作用，提出運(yùn)用幾何直觀教學(xué)是新教材的要求，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求。

關(guān)鍵詞： 幾何直觀 小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)與代數(shù) 教學(xué)運(yùn)用

幾何直觀是數(shù)學(xué)研究及數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方法之一。《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：幾何直觀是指利用圖形描述幾何或者其他數(shù)學(xué)問(wèn)題、探索解決問(wèn)題的思路、預(yù)測(cè)結(jié)果。在許多情況下，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不可替代的作用，而且貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。就如何在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中運(yùn)用幾何直觀這一問(wèn)題，筆者進(jìn)行了實(shí)踐與探索。

一、運(yùn)用幾何直觀，形成數(shù)學(xué)概念

德國(guó)哲學(xué)家康德認(rèn)為：“缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的。”小學(xué)生形象思維占主導(dǎo)地位，對(duì)知識(shí)的理解應(yīng)該建立在豐富典型的直觀表象基礎(chǔ)上。因此，把教材中靜止的、較難理解的概念，運(yùn)用幾何直觀生動(dòng)形象地呈現(xiàn)出來(lái)，使抽象的概念變成看得見(jiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于學(xué)生更直觀地理解所學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

如教學(xué)四年級(jí)《速度、時(shí)間和路程》這節(jié)課，速度概念的理解是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，也是解決相關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)。速度這個(gè)詞在生活中經(jīng)常出現(xiàn)，學(xué)生一般也能知道通常說(shuō)的快慢指的就是速度。但它不同于路程和時(shí)間，因?yàn)槁烦踢@個(gè)量是學(xué)生能夠直觀看到，非常明確，時(shí)間也是學(xué)生常見(jiàn)的，而速度概念比較抽象，是指單位時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程，其單位是由長(zhǎng)度單位和時(shí)間單位兩部分復(fù)合組成，這種表示形式學(xué)生比較陌生，理解起來(lái)有一定的困難。所以，在教學(xué)中我充分運(yùn)用直觀圖。首先情境導(dǎo)入，學(xué)校到書店有300米，小明要走4分鐘，小紅要走6分鐘，誰(shuí)走得快些？學(xué)生通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)小明每分鐘走75米，小紅每分鐘走50米，小明快些。這時(shí)候?qū)W生是通過(guò)數(shù)據(jù)的比較解決問(wèn)題的，對(duì)這個(gè)數(shù)據(jù)表示的就是速度，概念的理解還非常模糊。這時(shí)候，老師出示兩段同樣長(zhǎng)的線段，表示300米，分別平均分成4份和6份。指出一段就是“每分走多少米”，也就是他們各自的速度，通過(guò)每份長(zhǎng)短的比較，明白小明的速度比小紅要快一些。通過(guò)幾何直觀把速度這個(gè)概念具體形象化，幫助學(xué)生突破概念理解上的難點(diǎn)，真正把握概念的實(shí)質(zhì)和內(nèi)涵。

又如《百分?jǐn)?shù)的意義》的教學(xué)，這節(jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的含義，明確是兩個(gè)量之間的比較關(guān)系。教學(xué)時(shí)可以通過(guò)直觀圖深化理解這一概念。首先出示信息：鹽占鹽水的30%，讓學(xué)生在百格圖中表示出這個(gè)百分?jǐn)?shù)，并說(shuō)一說(shuō)鹽和鹽水各指哪一部分。在涂畫百格圖和兩個(gè)量的比較中，幫助學(xué)生建立起對(duì)抽象的20%與相應(yīng)的直觀圖的認(rèn)知聯(lián)系，形成相應(yīng)的認(rèn)知圖式，這是對(duì)任何一個(gè)百分?jǐn)?shù)的理解最基本的形象支撐。隨后老師要求學(xué)生在10等份的線段圖上表示出這個(gè)30%。追問(wèn)：為什么平均分成10份，也可以表示出30%？學(xué)生經(jīng)過(guò)思考，得出把10份中的每一份想象成再平均分成10小份，這樣整條線段就平均分成100份，而其中的3大份就是30小份，所以同樣可以表示20%。這樣，在兩幅圖的比較中幫助學(xué)生逐步脫離具體的100份，加深了對(duì)百分?jǐn)?shù)意義的理解。在教學(xué)中，運(yùn)用幾何直觀既能加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，又能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和用圖形語(yǔ)言思考問(wèn)題的能力。

二、運(yùn)用幾何直觀，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律

幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，對(duì)于數(shù)學(xué)中的很多問(wèn)題，靈感往往來(lái)自于幾何直觀。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問(wèn)題盡量變成可借用的幾何直觀問(wèn)題，使他們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)А?/p>

如教學(xué)《積的變化規(guī)律》這節(jié)課，它是在學(xué)生掌握三位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，主要引導(dǎo)學(xué)生探索當(dāng)一個(gè)因數(shù)不變時(shí)，另一個(gè)因數(shù)與積的變化情況，從而歸納積的變化規(guī)律。因此，一般老師在教學(xué)時(shí)都是先出示幾組算式，通過(guò)計(jì)算，觀察因數(shù)和積的特點(diǎn)，初步概括出規(guī)律，然后讓學(xué)生通過(guò)舉例進(jìn)行驗(yàn)證，最后運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題。當(dāng)然，這樣的教學(xué)對(duì)凸現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)自主性有一定的作用，但是如果在這節(jié)課中與平面圖形面積研究相結(jié)合，讓學(xué)生借助圖形的面積變化理解積的變化規(guī)律，則不僅更容易掌握知識(shí)，而且對(duì)學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng)有很大的作用。教學(xué)中，教師先出示一個(gè)長(zhǎng)方形，已知它們的長(zhǎng)和寬分別為80、60，學(xué)生計(jì)算出面積為80×60=480。然后長(zhǎng)方形的長(zhǎng)不變，將寬縮短，讓學(xué)生估計(jì)變化后長(zhǎng)方形的面積大約是多少，并說(shuō)說(shuō)估計(jì)的方法。學(xué)生紛紛表示長(zhǎng)方形長(zhǎng)不變，寬縮小，所以面積也縮小，估計(jì)都縮小了3倍。然后驗(yàn)證學(xué)生估計(jì)是否正確。在這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)中，學(xué)生借助圖形的變化意識(shí)到，當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)不變，面積隨著寬的縮小而縮小。接著長(zhǎng)方形長(zhǎng)還是不變，將長(zhǎng)方形的寬擴(kuò)大，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)這時(shí)候長(zhǎng)方形的面積變化。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)面積的變化規(guī)律后，老師讓學(xué)生觀察算式進(jìn)行小結(jié)：兩個(gè)數(shù)相乘，這兩個(gè)數(shù)叫因數(shù)，其結(jié)果叫積。那么你能根據(jù)剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，說(shuō)說(shuō)算式中因數(shù)和積的變化情況嗎？于是，積的變化規(guī)律就水到渠成地總結(jié)出來(lái)。借助長(zhǎng)方形面積與長(zhǎng)和寬的關(guān)系，理解積的變化規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀的意識(shí)，并且在估計(jì)中發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。

和代數(shù)相比，幾何給人以生動(dòng)、直觀的形象。因此，正比例意義的學(xué)習(xí)，可以借助正比例關(guān)系圖像的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)正比例圖像的特點(diǎn)和作用，加深對(duì)正比例意義的認(rèn)識(shí)。教學(xué)時(shí)，通過(guò)數(shù)據(jù)表在坐標(biāo)系里描點(diǎn)，連成一條直線，然后通過(guò)觀察圖像，使學(xué)生了解從這個(gè)圖像可以直觀看到兩個(gè)量的變化情況，一個(gè)量增加，另一個(gè)量隨之增大。而且明白利用正比例關(guān)系圖像，不用計(jì)算，可以由一個(gè)量的值，直接找到對(duì)應(yīng)的另一個(gè)量的值，體會(huì)正比例圖像直觀形象的優(yōu)勢(shì)。借助幾何直觀，揭示研究對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維很容易轉(zhuǎn)向更高級(jí)更抽象的空間形式，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，形成良好的思維品質(zhì)。

三、運(yùn)用幾何直觀，探究計(jì)算方法

計(jì)算課的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生探究計(jì)算方法的過(guò)程，理解算理。運(yùn)用幾何直觀理解算理更有效。如在教學(xué)《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》一課時(shí)，可以讓學(xué)生通過(guò)畫圖，將圖與式對(duì)應(yīng)起來(lái)，深刻地理解算理。先出示例題：“粉刷工人粉刷完一塊墻需要5小時(shí)，每小時(shí)粉刷這塊墻的幾分之幾呢？”指導(dǎo)學(xué)生畫一個(gè)長(zhǎng)方形當(dāng)做墻，學(xué)生很容易就表示出每小時(shí)粉刷的是這塊墻的（如圖1）：

四、運(yùn)用幾何直觀，分析數(shù)量關(guān)系

徐利治先生提出，幾何直觀是借助見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。利用幾何圖形的直觀對(duì)問(wèn)題中的關(guān)系和結(jié)構(gòu)進(jìn)行表述，幫助學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，這是一種非常重要的策略。

如教學(xué)《用連除解決問(wèn)題》時(shí)，通過(guò)情境圖（如圖3）引導(dǎo)學(xué)生在收集和整理信息的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)要解決“每個(gè)小圈有多少人”這個(gè)問(wèn)題還需解決一個(gè)中間問(wèn)題，從而學(xué)會(huì)用連除解決問(wèn)題，同時(shí)建立起解決這類問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的模型，并能解釋應(yīng)用，為后續(xù)學(xué)習(xí)解決此類問(wèn)題打下基礎(chǔ)。因?yàn)榍耙还?jié)課是學(xué)習(xí)用連乘解決問(wèn)題，學(xué)生已經(jīng)有了從不同角度尋找解決問(wèn)題的策略經(jīng)驗(yàn)，所以這節(jié)課在學(xué)生理解題意后，筆者大膽放手讓學(xué)生直接嘗試用不同的方法解決問(wèn)題。當(dāng)學(xué)生列出三種不同的算式時(shí)，提示他們可以嘗試用圖解釋這三種算式所表示的意義，再引導(dǎo)學(xué)生觀察直觀圖比較三種算法之間的聯(lián)系與區(qū)別。隨后，筆者又出示類似的題目：有400本書要放在2個(gè)書架上，每個(gè)書架有5層，每層可以放幾本書？要求學(xué)生列出算式后用圖表示出來(lái)，結(jié)果他們發(fā)現(xiàn)畫出的直觀圖與前一題畫出的圖是相同的，明白雖然這兩道題目的情境不同，總量不同，但題目中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)是相同的。最后，筆者又問(wèn)：像這樣的圖還可以解決怎樣的問(wèn)題？借助幾何直觀把復(fù)雜問(wèn)題用畫圖的形式表達(dá)出來(lái)，是“去情境化”的過(guò)程，是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，它把情境中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行提煉，并且直觀表達(dá)，然后運(yùn)用這個(gè)數(shù)學(xué)模型解決類似的問(wèn)題。這樣教學(xué)，形象思維由圖形帶來(lái)的直覺(jué)，增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，增強(qiáng)其創(chuàng)造能力。

在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中運(yùn)用幾何直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形語(yǔ)言有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。這樣教學(xué)，有助于加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。因此，運(yùn)用幾何直觀教學(xué)是新教材的要求，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求。

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