常微分方程的應用探討

刁菊芬

摘 要： 微分方程是數學分析的一個重要分支，本文通過對一些醫學模型的分析，說明了常微分方程在醫學上的應用。隨著人類的進步，科技的發展，以及社會的日趨數字化，微分方程應用的領域越來越廣泛，相關的數學內容越來越豐富。

關鍵詞： 微分方程 應用 醫學模型

一、引言

微分方程作為《數學分析》的一個重要的分支，萌芽于17世紀，建立于18世紀。從17世紀末開始，科學家們在研究擺的運動、彈性理論及天體力學等實際問題時，引出了一系列的常微分方程。在當代，常微分方程在很多學科領域內有著重要的應用，如飛機和導彈飛行的穩定性的研究、自動控制、人口發展模型、交通流模型、化學反應過程穩定性的研究等。因此，微分方程的研究是與人類社會密切相關的。下面我就通過一些實際模型，討論常微分方程在醫學上的應用。

二、應用舉例

1.模型一：胰臟功能檢測

有一種醫療手段，是把示蹤染色注射到胰臟里檢查其功能，正常胰臟每分鐘吸收掉染色的40%，現內科醫生給某人注射了0.3克染色，30分鐘后還剩0.05克，試問此人的胰臟正常嗎？

解：假設此人的胰臟是正常的。

用P（t）表示注射染色后t分鐘時此人胰臟中的染色量。由于正常胰臟每分鐘吸收染色的40%，即染色的衰減率為40%，從而得到

■=-0.4，即■=-0.4P（1）

這是一階可分離變量的微分方程，分離變量可得■=-0.4dt

兩邊積分可得？蘩■=-？蘩0.4dt

故方程（1）的通解為ln|P|=-0.4t+C■，整理得

P（t）=Ce■

由P（0）=0.3有C=0.3，故胰臟中所含的染色量與時間的關系為

P（t）=0.3e■

30分鐘后剩下的染色應為P（30）=0.3e■。這與實際上30分鐘后還剩下0.05克染色相矛盾，故此人的胰臟不正常。

2.模型二：靜脈輸液問題

靜脈輸入葡萄糖是一種重要的醫療手段。為了研究的方便，假設葡萄糖以固定的速度輸入到血液中。與此同時，血液中的葡萄糖會轉化為其他物質轉移到其他地方，其速率與血液中的葡萄糖含量成正比。那么，血液中葡萄糖的含量與輸液時間之間存在什么關系呢？

解：設G（t）為t時刻血液中的葡萄糖含量，葡萄糖的輸入數率為a克/每分鐘。

因為血液中葡萄糖含量的變化率■等于增加速率與減少速率之差，增加速率為常數a，減少速率為kG（t），其中k為比例常數。所以

■=a-kG（t）（2）

這是一個一階線性微分方程，其通解為

G（t）=e■[C+？蘩ae■dt]=e■[C+■e■]=Ce■+■

若最初血液中的葡萄糖含量用G（0）表示，則有

G（0）=C+■，即C=G（0）-■

這樣便得到血液中葡萄糖的含量與時間的關系：

G（t）=■+[G（0）-■]e■

三、結語

除了上面列舉的模型之外，還有很多的醫學模型可以用微分方程解決，例如血管中血液的流速問題、人體的主動脈脈壓、腫瘤生長的數學模型等。隨著人類的進步，科技的發展和社會的日趨數字化，常微分方程作為數學分析的一個活躍的分支，應用的領域越來越廣泛，相關的數學內容越來越豐富。我們要充分發揮常微分解決實際問題的潛力，讓科學更好地為人類服務。

參考文獻：

[1]周義倉，勒禎，秦軍林.常微分方程及其應用[M].北京：科技出版社，2003.

[2]肖勇.常微分方程在數學建模中的應用[J].荊楚理工學院學報，2009，24（11）：50.