復變函數課程的實踐性教學改革研究

晉守博 趙美玲 霍承剛

摘 要： 本文分別從實積分新解法、數學建模及實驗三個方面入手，研究了復變函數課程的實踐性教學改革問題.首先給出了培養學生多元思維能力的方法，然后從數學建模和實驗方面探討了學生應用能力和實踐能力的培養.

關鍵詞： 復變函數 實踐性教學 教學改革

近年來，隨著科學技術的快速發展，復變函數的相關理論已被廣泛應用到理論物理、空氣動力學、流體力學、解析數論、信號處理和天體力學等領域.經過大量教學工作者的努力，復變函數課程建設方面已經取得了顯著的成就，但是仍然存在許多問題：課程的嚴密性被過分強調，教師在講課時過于注重定理的證明過程，很少提到定理的背景知識，更不會討論如何利用該定理解決現實問題.這種教學方式導致學生對復變函數課程的學習缺乏興趣，已經不能滿足當今學生的需求.

近年來，上述現象已經引起了廣大教育工作者的反思，眾多國內外學者已經對該問題進行了研究，并提出了一系列改進方法.唐笑敏對復變函數教學過程中存在的問題進行了系統的分析，并且提出了一系列改革設想[1].鄭玉輝提出可以通過類比教學與改變考核方式激發學生學習興趣，以求達到最好的教學效果[2].朱建民和李穎從可視化教學方面對復變函數課程的許多內容進行了分析，指出了大部分內容都可以從幾何方面進行刻畫[3].文[4]和[5]指出數學建模方法可以作為一種重要的工具，有效提高學生的創新能力.文[6]分析了Matlab軟件在復變函數課程教學中的應用.本文將從三個方面討論復變函數課程的實踐性教學改革問題.

1.利用新方法求實積分，培養學生的多元思維能力

反常積分的計算是一個比較復雜的問題，而且沒有統一的方法，如果能夠利用復變函數的相關理論求解，就會極大地簡化計算過程.例如在計算Frensnel積分？蘩■■cosx■dx時，若采用常規方法求解，計算量將會極其巨大，但是如果能夠采用復變函數的相關理論求解，那么不僅求解方法多樣，問題也將變得較簡單，對于該問題我們可以用下面三種方法求解.

1.1利用柯西積分定理求解

首先構造輔助函數f（z）=e■，并取中心角為■，半徑為R，起始邊在x軸上的扇形的邊界C■為積分路徑，由柯西積分定理得■e■dz=0，再將左邊積分分為三段可以得到：？蘩■■e■dx+？蘩■e■+？蘩■■e■e■dx=0，其中Г■為扇形的曲線弧部分.最后令R→+∞，經過計算可知■e■dz→0，并利用泊松積分？蘩■■e■dx=■，所以？蘩■■cosx■dx=■.

1.2利用Laplace變換求解

Laplace變換可將實函數f（t）轉化為特殊的復變函數F（s），是常用的一種變換，具體的變換公式為F（s）=？蘩■■f（t）e■dt，其中實數t≥0，s為復數.為了簡化計算過程，可以輔助函數f（t）=？蘩■■cos（tx■）dx，由Laplace變換得

F（s）=■？蘩■■■dy=■■

通過逆變換得：f（t）=■？蘩■■F（s）e■ds=■■.令t=1，可得？蘩■■cosx■dx=■.

1.3利用傅里葉變換求解

在實積分計算過程中，合理利用傅里葉變換同樣能夠起到化繁為簡的作用.為了計算Frensnel積分，首先令x■=t，利用換元法可得？蘩■■cosx■dx=■？蘩■■■dt，對函數f（t）=■（t>0）進行傅里葉變換得：F（w）=2？蘩■■■dt=■，取w=1，則？蘩■■■dt=■，因此？蘩■■cosx■dx=■.

2.在教學過程中穿插數學建模實例，培養學生應用能力

復變函數課程的理論體系非常嚴密，如果教師嚴格按照教科書講解，學生就會感覺枯燥無味，從而逐漸失去學習興趣。若能夠將數學建模實例應用到復變函數的教學過程中，學習的積極性必定就會有所提高.在教學過程中，可以分別從概念、定理及知識應用等方面穿插數學建模案例，幫助學生理解相應知識點.

例如，輻角是復變函數中的一個難點，大部分學生對輻角的性質理解不夠全面，為了幫助學生深刻理解這個知識點，可以構造實例：三角形的三個內角和為什么必須等于π？目前關于該問題的證明方法比較多，我們可以利用輻角的性質證明，具體做法是：首先構造三個復數z■、z■和z■，它們對應同一個三角形的三個頂點，其中相應的對角分別是α、β和γ，于是α=arg■，β=arg■，γ=arg■，利用■·■·■=-1，以及輻角的性質得：

α+β+γ=arg（-1）+2kπ=π+2kπ（k=0，±1，±2…）

再根據α+β+γ∈（0，3π）內可知：α+β+γ=π.學生掌握該模型的算法后，必定能夠更全面地理解輻角概念，當介紹復導數時，除了利用伸縮率解釋外，還可以借助實函數導數的物理意義解釋，如質點運動的速度、電流強度等.

保形映射也是較重要的一個概念，研究表明保形映射在電力學中具有重要作用.為了保證學生理解該概念，可以假設有兩個同心金屬圓柱與z平面的截線為圓周|z|=r■和|z|=r■（0

？覬（z）=■[2lnz-（lnr■+lnr■）]

對于在復變函數教學過程中如何突出數學建模思想，需要相關學者做更深入的研究，需要發現更多與復變函數理論有關的應用實例.若能有效地將數學建模實例貫穿到復變函數理論教學中，則必定能夠更好地幫助學生理解相關知識點，通過兩者的有效結合，學生的學習興趣和應用能力必定會有所提高.

3.將實驗與理論相結合，提高學生的實際操作能力

隨著社會的快速發展及計算機軟件的不斷改進，很多需要經過復雜計算的理論問題都可以借助計算機實驗完成，復變函數相關理論的實驗主要借助于Matlab軟件完成，該軟件具有良好的數值計算功能，如果能在復變函數的理論教學中穿插實驗，學生學習的積極性必定就會有所提高.

對于任意一個復數，模、虛部、實部及輻角主值等知識點必須完全掌握，若采用常規的方法計算，則不僅計算過程過于繁瑣，而且會花費大量時間，如果使用Matlab軟件，上述問題的計算將會變得非常簡單，僅需要輸入幾個命令即可完成，當計算復數z=■的模、虛部、實部及輻角主值時，只要在Matlab軟件的編程窗口輸入abs（z）、imag（z）、real（z）和angle（z）等命令，即可快速求出real（z）=3.3，imag（z）=9.6，abs（z）=10.1，angle（z）=1.2.另外，對于一些復數形式的初等函數只要借助相應的Matlab命令，也可快速求出相應的結果.

另外，在計算“大范圍”積分問題時，恰當利用留數理論可以收到事半功倍的效果，然而留數的計算問題往往較復雜，此時如果能借助計算機軟件快速求出留數，將會極大地簡化計算過程，如果被積函數是有理分式函數，只需利用留數定理和Matlab軟件中的residue命令就能快速求出結果，若被積函數為其他形式，計算過程則稍顯復雜.例如在計算■■dz時，直接利用留數定理可知：■■dz=2πi■■

若采用常規的方法計算留數將會非常麻煩，Matlab軟件會使計算過程變得十分簡單，經過分析可知在圓|z|<1內被積函數僅有一個一階極點z=0，根據一階極點的留數的計算規則可得：■■=■[（z-0）■].因此，在計算該留數時，僅需要使用以下Matlab語句：

syms z

limit（（z-0）*（z*sin（z））/（1-exp（z））^3，？謖z？謖，0）

我們立即可以得到■■=-1，于是所求積分的值為-2πi.

總之，Matlab的應用范圍較廣，不僅上面提到的復數和復積分問題可以利用該軟件求解，而且復變函數中的泰勒級數、拉格朗日展開式、Laplace變換及傅里葉變換等問題都可以用該軟件完成.教師在教學過程中如果能夠借助該軟件適當地開展數學實驗，那么既可以克服常規教學方法中過于注重理論計算的缺點，又可以通過實驗提高學生的學習興趣.

參考文獻：

[1]唐笑敏，劉太順，胡璋劍.高師院校復變函數課程教學改革的探索[J].大學數學，2011，27（1）：12-15.

[2]鄭玉輝，程東旭，錢曉惠.復變函數與積分變換的教學實踐[J].宜春學院學報，2012，34（4）：137-138.

[3]朱建民，李穎.復變函數的可視化問題[J].大學數學，2011，27（1）：175-178.

[4]徐龍封.在教學中培養學生數學建模思想[J].安徽工業大學學報（社會科學版），2004，21（2）：114-115.

[5]許先云，楊永清.突出數學建模思想培養學生創新能力[J].大學數學，2007，23（4）：137-140.

[6]麻桂英，陳全新.用MATLAB提高《復變函數》教學質量[J].陰山學刊，2009，23（2）：74-76.

基金項目：國家大學生創新創業項目（201410379021）；宿州學院教學研究項目（szxyjyxm201317，szxyjyxm201319）.