我國股票關聯網絡拓撲結構與網絡彈性關系研究

黃瑋強 ，莊新田，姚 爽

（1.東北大學 工商管理學院，沈陽 110819；2.沈陽化工大學 經濟與管理學院，沈陽 110142）

股票市場本質上是一個復雜系統，它由市場內的大量股票及股票間的價格波動關聯所構成。近年來，人們運用股票關聯網絡來描述和研究股票市場[1-6]，即網絡節點表示股票，節點間的連邊表示股票間的價格波動關聯。這樣可以運用復雜網絡的理論和工具，發現股票市場內部的復雜關聯結構及其時間演化規律，進而分析股票間的相互關聯及集體價格行為模式[7-8]。Mantegna[1]首次利用股票關聯網絡，分析了標準普爾500支股票的收益率關聯性，發現了股票間的等級聚類結構。Onnela等[3]利用紐約證券交易所477支股票的收益率數據，構建了相應的股票關聯網絡并分析了網絡團數量、團規模和平均聚集系數等拓撲結構特征。黃瑋強等[5]利用我國滬深1 080支A股的收益率數據，研究了股票關聯網絡的基本拓撲結構特征及網絡穩定性。文獻[1-6]中為靜態網絡研究，主要反映了某一特定時期股票間的價格波動關聯規律。另一類文獻研究了在不同市場背景下（如金融危機時期）股票關聯網絡的動態演化規律。Onnela等[9]運用美國標準普爾500指數中116支成份股票的收益率數據，構建了股票價格波動關聯動態網絡，發現在市場危機時期網絡整體會發生收縮。Lee等[10]構建了韓國綜合50指數中50支成份股票的高頻價格波動關聯動態網絡，分析了市場波動性與關聯網絡拓撲結構特征的動態變化關系。研究發現，當市場波動較大時，網絡密度增大即股票間的整體價格波動關聯性會增強。

網絡彈性是復雜網絡研究的一個重要方向，它指的是網絡在遭受了外在攻擊（節點或邊刪除）情形下其拓撲結構的穩定性。已有研究表明，具有不同拓撲結構的網絡（規則網絡、隨機網絡、小世界網絡和無標度網絡）對于隨機攻擊或選擇性攻擊具有不同的敏感性[11-12]。股票市場充斥著各種不確定性事件，如個別上市公司的經營財務危機、行業危機、市場的極端波動甚至金融危機。這些不確定性事件的出現，會給股票的價格波動關聯帶來影響，進而導致股票關聯網絡的結構性變化。股票關聯網絡彈性可定義為在不確定性事件出現后，關聯網絡結構所具有的容錯能力和抗攻擊能力。Lim等[13]利用韓國股票市場內492支股票的收益率數據，構建股票關聯網絡并研究了在局部和全局擾動下網絡的結構穩定性。研究表明，在全局擾動下網絡的結構十分脆弱，而局部小規模的擾動則影響不大。Thomas等[7]利用紐約證券交易所內348支股票的日收益率數據構建了股票關聯動態網絡，研究了網絡拓撲結構特征與網絡彈性之間的關系。研究表明，股票間價格波動關聯的增強會降低網絡的穩定性。

綜上所述，已有的股票關聯動態網絡建模思路，為分析網絡拓撲結構特征與網絡彈性的動態相互關系提供了很好的視角。從已有文獻來看，目前還沒有以我國股票市場為背景的股票關聯動態網絡研究。近10年來，我國股票市場經歷了復雜多變的外部環境和深刻的內部市場制度變革。因此有必要研究我國股票間關聯模式的動態演化規律及其穩定性問題。本文以我國滬深股票市場內，從2002～2012年具有連續交易數據的498支A股為研究對象，利用滑動時間窗口取樣方法，構建股票關聯動態網絡。研究網絡基本拓撲結構特征和網絡彈性的動態演化規律，并分析了網絡拓撲結構特征、股票收益率及其波動性水平是如何影響網絡彈性的。研究成果有助于深入理解市場不確定性事件對我國股票間價格波動關聯模式的影響，為投資管理、市場風險控制的相關政策制定提供一定的依據。

1 股票關聯網絡

1.1 網絡構建及其動態演化

在股票關聯網絡中，網絡節點表示單只股票，節點間的連邊表示在特定時期內相應股票間的價格波動關聯。市場中共有N只股票，在特定時期[t0，t0+τ]（單位為天）股票i和j的日收益率序列分別為Yi和Yj（i，j=1，2，…，N），則兩支股票在此期間的價格波動關聯系數計算為

式中：〈·〉表示數學期望；ρij∈[-1，1]。Yi可通過下式計算得出：

式中：t∈[t0+1，t0+τ]；pi（t）為股票i在t日的收盤價。因為股票間的價格波動關聯系數不滿足度量空間的3個條件，可將關聯系數ρij轉換為相應的度量距離dij，定義為

式中：dij∈[0，2]，股票i和j的價格波動關聯性越大，它們之間的度量距離越小。極端地，若2支股票的價格波動完全一致，則有ρij=1，dij=0；若2支股票的價格波動完全相反，則有ρij=-1，dij=2。度量距離dij滿足度量空間的3個條件[14]：①dij=0，當且僅當i=j時；②dij=dji；③dij≤di，k+dk，j。為與傳統的加權網絡表示一致（股票間的價格波動一致性越強，網絡中相應節點間連邊的權重越大），并便于計算網絡的拓撲統計量，對度量距離dij做如下變換，即wij=exp（-dij），wij∈[1/e2，1/e]。這樣就可構建一個股票關聯網絡G（V，E），用于反映N支股票間在時期[t0，t0+τ]的復雜價格波動關聯模式，其中，節點集合V=｛1，2，…，N｝，連邊集合

若N支股票的研究期間長度為T天，用于構建單個股票關聯網絡所使用的價格序列時間長度為τ天，則可依據上述方法利用第1天～第τ天的樣本數據構建第1個股票關聯網絡。同理，利用第1+Δt天～第Δt+τ天的樣本數據構建第2個股票關聯網絡，利用第1+2Δt天～第2Δt+τ天的樣本數據構建第3個股票關聯網絡，其中，Δt表示2個股票關聯網絡的采樣時間間隔。如此，在研究期間內可構建M（=1+[（T-τ）/Δt]，[·]表示取整）個股票關聯網絡，其中第m個網絡記為Gm（V，E），m=1，2，…，M。這些動態演化的網絡可以刻畫股票間動態變化的價格波動關聯模式。

1.2 網絡拓撲結構特征

（1）平均最短路徑長度。股票關聯網絡是個無向加權網絡，節點連邊權重越大表示兩點間的距離越小，相應2支股票的價格波動關聯關系越緊密，這種連邊權重稱為“相似權”。網絡中，若節點i和j直接相連則它們之間的距離lij=1/wij。如果節點i和k不直接相連，但它們均與節點j有連邊，則節點i和k的距離[15]lik=wij wjk/（wij+wjk），以此為基礎，就可求得網絡中任意連續路徑的距離值。網絡中連接節點i和j的路徑可能不止1條。在這些連續路徑中距離最短的路徑長度定義為節點i和j的最短路徑長度，記為。所有節點對的最短路徑長度平均值稱為網絡平均最短路徑長度l，計算如下：

網絡平均最短路徑長度從總體上衡量了市場中股票間的價格波動關聯緊密程度，即路徑長度越小股票間的價格波動關聯越緊密。

（2）平均聚集系數。節點的聚集系數反映該節點的一級近鄰之間的集團性質，近鄰之間聯系越緊密，該節點的聚集系數越高。Petter等[15]根據Watts-Strogatz所定義的聚集系數表述方式，考慮三角形中任一條邊對聚集系數的貢獻，提出加權網絡中節點i的聚集系數，即

式中：maxij wij表示網絡連邊的最大權重，平均所有節點的聚集系數可得網絡的平均聚集系數，即

（3）邊權的平均值和方差。網絡中共有N（N-1）/2條邊，每條邊的權重反映了相應股票間的價格波動關聯性大小。網絡中所有連邊權重的平均值和方差分別為：

邊權平均值說明市場中股票間的平均價格波動關聯性，邊權方差說明了股票間價格波動關聯性的總體差異。

（4）點強度分布的無序性。在網絡中節點i的點強度，它反映了相應股票i與市場中其他股票的價格波動關聯性，該值越大說明股票i在市場中的價格波動影響力越強。網絡中每個節點的點強度各不相同。極端地，若所有節點的點強度都相同，說明點強度分布最有序；若節點的點強度值完全隨機，說明點強度分布最無序。利用熵Hs刻畫點強度分布的無序性，定義為

式中：s為節點點強度的一個取值；f（s）表示該取值發生的概率。點強度分布熵相當于將每個節點點強度的取值看作一個“微觀狀態”，將該取值發生的概率看作“微觀狀態數”，來計算熵。度分布熵值越大，點強度分布越無序。

1.3 網絡彈性

網絡彈性可理解為網絡結構應對隨機干擾的能力。在網絡性質發生改變后，可以通過分析動態系統中某些觀測變量的變化來衡量網絡彈性。根據文獻[7]，這里運用動態熵來衡量網絡彈性。動態熵刻畫了隨機過程產生“信息”的速率。在網絡背景下，“信息”指網絡上特定馬爾科夫隨機過程所訪問的節點序列。

假設信息源對應的隨機過程為一個馬爾科夫矩陣P=（pij），該矩陣描述了從狀態i到j的轉移概率pij。狀態轉移概率滿足pij≥0且∑jpij=1。該隨機過程的動態熵為

式中：π為該隨機過程穩定狀態下的分布且滿足π=πP；πi為分布的第i個元素。容易證明，矩陣P必有一個特征值為1。因此，π即為隨機矩陣P的特征值1所對應的特征向量。運用變分原理，將股票關聯網絡的距離矩陣W=（wij）與轉移概率矩陣P=（pij）聯系起來，其滿足如下條件[16]：

因此，轉移概率矩陣P內部元素可重新定義為[7]

式中：λ為矩陣W的主特征值；vi和vj為主特征值對應特征向量v的第i和第j個元素。股票i對動態熵的“貢獻度”為[7]

進而，網絡整體的動態熵為

網絡動態熵值越大，網絡的彈性越強。在股票關聯網絡背景下網絡彈性越強，說明股票間的價格波動關聯結構和模式具有較強的穩定性。

2 實證研究過程及結果

2.1 樣本數據

本文研究的樣本股票為我國滬深A股，研究期間自2002-01-04～2012-12-31共2 663個交易日（T=2 663 d）。截止研究期末，滬深證券交易所共有2 453支A股。為了構建時間連續性的股票關聯網絡，最終篩選出的樣本股票應滿足：①在該研究期間內，樣本股票始終處于上市狀態；②樣本股票連續停牌的時間不應超過28個交易日。這樣共篩選出符合上述條件的樣本股票498支（N=498）。所有股票的日收盤價數據經過復權處理。根據Thomas等[7]的研究，子樣本期間長度τ和2個股票關聯網絡的采樣時間間隔Δt分別設定為28個交易日和1個交易日，即τ=28，Δt=1。如此，形成2 636個（M=1+[（2 663-28）/1]）連續動態變化的股票關聯網絡。實證研究通過Matlab7.3編程實現，數據來源于Wind資訊。

2.2 價格波動關聯結構演化規律

（1）關聯結構指標相互關系。在第1.2節中所提出的幾個關聯結構指標從不同角度刻畫了網絡的基本拓撲結構特征。實證研究結果得到了2 636個股票關聯網絡。這說明，隨著網絡的動態演化，每個指標將擁有2 636個觀測值（樣本數據點）。其后將依據這些觀測值分析這幾個指標間的內在相互關系。圖1（a）揭示了網絡邊權平均值與平均最短路徑長度間的相關關系，圖1（b）則揭示了網絡邊權平均值與平均聚集系數間的相關關系。由圖1可見，網絡邊權平均值（股票間的平均價格波動關聯性大小）與平均最短路徑長度、平均聚集系數存在顯著的線性相關關系，即網絡邊權平均值越大，平均最短路徑長度越小、平均聚集系數越大。這說明，股票間的平均價格波動關聯性越大，網絡越小且呈現出越強的局部聚集性（集團性質）。此外，由圖1還可推斷出平均最短路徑長度與平均聚集系數存在顯著的負向線性相關關系，即平均最短路徑長度越小，平均聚集系數越大。

圖1 股票間平均價格波動關聯性大小與平均最短路徑長度、平均聚集系數間的關系

圖2揭示了邊權平均值與點強度分布無序性之間的關系。由圖2可見，兩者之間存在顯著的正向線性相關關系。點強度分布的無序性由熵Hs刻畫，Hs越大，點強度分布越無序。從本質上看，點強度分布說明了市場中各支股票對其他股票價格波動影響力的分布狀況。因此可以得出如下結論：股票間的平均價格波動關聯性越大，各支股票在市場中的價格波動影響力差異越大。

圖3揭示了股票間價格波動關聯性均值與方差間的關系。由圖3可見，兩者間存在顯著的正向線性相關關系。這說明，股票間的平均價格波動關聯性越大，股票間的價格波動關聯性取值越離散。

圖2 股票間平均價格波動關聯性大小與點強度分布無序性間的關系

圖3 股票間價格波動關聯性均值與方差間的關系

（2）關聯結構指標的時間演化。股票關聯網絡及其結構指標是隨時間動態演化的。將分析關聯結構指標的時間演化規律。在2002～2012年，以每半年為一個子期間，計算各子期間內每個網絡關聯結構指標的均值。從而每個指標均形成具有22個均值觀測值的時間序列。下面進一步分析關聯結構指標與股票市場走勢間的內在關系。首先引入上證綜合指數并用其代表市場走勢；然后類似于式（2），計算指數日對數收益率；最后與關聯結構指標均值觀測序列計算方法一致，計算各子期間內指數日收益率的均值，進而也得到具有22個均值觀測值的時間序列。通過比較分析關聯結構指標均值序列與上證指數日收益率均值序列，挖掘兩者的內在關系。

圖4為各關聯結構指標的時間演化情況，其中，圖4（a）～4（d）分別為平均最短路徑長度、平均聚集系數、邊權均值和點強度分布無序性。各圖中還揭示了同時期上證指數日收益率（MI）的時間演化情況。各圖橫坐標表示計算各指標均值的時期，如T1表示2002-01～2002-06、T2表示2002-07～2002-12，依此類推，T22表示2012-07～2012-12。明晰起見，橫坐標僅標明了T1、T5、T10、T15和T20。由圖4可見，隨著時間的推進，各關聯結構指標呈現不規則的上下波動。例如，在T13（2008-01～06），網絡平均最短路徑長度最小、平均聚集系數最大、邊權均值最大以及反映點強度分布無序性的熵值接近最高值。通過觀察上證指數的日收益率序列，發現在同一時期的指數日收益率均值為研究期間內的最低值。

圖4 各關聯結構指標及上證指數日收益率的時間演化情況

進一步，計算各關聯結構指標與上證指數日收益率的Pearson相關系數及顯著性檢驗。發現，上證指數日收益率與平均最短路徑長度存在顯著的正向相關關系，相關系數值為0.551 4（顯著性P=0.007 8），與平均聚集系數、邊權均值和點強度分布無序性存在顯著的負向相關關系，相關系數值分別為-0.543 0（顯著性P=0.009 0），-0.541 7（顯著性P=0.009 2），-0.505 8（顯著性P=0.016 3）。這說明，股票關聯網絡的平均最短路徑長度越大、平均聚集系數越小、邊權均值越小、點強度分布越有序，市場指數的日收益率越高。在深入挖掘股票間價格波動關聯結構的基礎上，關聯網絡結構指標與市場走勢間的內在關系，對于股票投資管理具有一定的指導意義。

2.3 網絡彈性及其影響因素研究

股票關聯網絡的彈性刻畫了股票間的價格波動關聯結構模式的穩定性，這里運用網絡動態熵來衡量。接下來分析影響網絡彈性的因素。首先，網絡彈性與關聯結構特征本身的關系如何，即具備怎樣特征的關聯結構擁有較強的網絡彈性？其次，股票本身的收益率高低及收益率的波動性大小，直接影響了股票間的價格波動關聯性及整體的關聯結構。那么，股票的收益率及其波動水平與網絡彈性的關系又如何？

在構建第m個股票關聯網絡時，股票i的日收益率序列表示為，則股票i在該時期的平均日收益率為，日收益率波動為，其中E（·）和D（·）分別表示均值和方差運算。則N支股票在該時期平均日收益率和日收益率波動的均值分別為：

為分析網絡彈性與關聯結構特征、股票收益率及其波動水平間的關系，建立如下多元回歸方程：

式中：bi（i=0，1，…，7）為回歸系數；ε為殘差項。樣本量為2 636，這意味著每個變量擁有2 636個觀測值。由上述可知，各關聯結構指標間存在較強的線性相關關系。因此，在回歸分析中采用逐步回歸法，最終得到的方程中自變量包含和，結果如表1所示。

表1 回歸分析結果

由表1可看出，各變量系數均通過了5%顯著性水平下的t檢驗。方程聯合檢驗F值等于87.223，伴隨概率為0.000，表明方程自變量系數通過了5%顯著性水平下的聯合檢驗。方程總體擬合較好。將各變量系數代入式（16），得

式（17）表明，股票關聯網絡的平均聚集系數、點強度分布的無序性、股票收益率水平以及股票收益率波動等因素會顯著地影響網絡動態熵（網絡彈性）。具體地，網絡平均聚集系數越大及股票收益率越高，網絡動態熵值越大，網絡彈性越強；點強度分布越無序及股票收益率波動越大，網絡動態熵值越小，網絡彈性越弱。

網絡彈性衡量了市場中股票價格波動關聯結構及模式的穩定性。即股票間的價格波動關聯結構及模式越穩定，越有利于建立風險分散的投資組合，進而有效地管理市場風險。因此，網絡彈性是股票投資及風險管理的重要依據。綜上所述，網絡彈性影響因素的識別及分析有助于加深對網絡彈性的理解，進而建立以相關影響因素為導向的投資策略。

3 結論

在股票市場中，網絡彈性即股票間的價格波動關聯模式及其穩定性，對于組合投資及風險管理具有重要的意義。本文從復雜網絡的建模視角出發，運用我國滬深A股從2002～2012年的數據，通過建立隨時間動態演化的加權股票關聯網絡，分析關聯網絡的拓撲結構特征及其演化規律。運用動態熵指標衡量網絡彈性，通過回歸分析挖掘網絡拓撲結構特征、股票的收益率及其波動水平與網絡彈性間的內在關系。結論如下：

（1）反映股票關聯網絡拓撲結構特征的各關聯結構指標間存在顯著的線性相關關系。股票間的平均價格波動關聯性越大，網絡越小且呈現出越強的局部聚集性（集團性質），同時各支股票在市場中的價格波動影響力差異越大。此外，股票間的平均價格波動關聯性越大，兩兩股票間的價格波動關聯性取值越離散。

（2）通過分析各關聯結構指標及市場指數日收益率的時間演化規律，發現各關聯結構指標呈現不規則的上下波動；市場指數日收益率與各結構指標間具有較強的相關關系。網絡的平均最短路徑長度越大、平均聚集系數越小以及邊權均值越小、點強度分布越有序，市場指數的日收益率就越高。

（3）通過運用多元回歸方法分析網絡彈性及其影響因素，發現網絡平均聚集系數越大、點強度分布越有序、股票收益率越高及股票收益率的波動越小，網絡彈性就越強、股票間的價格波動關聯結構及模式就越穩定。

股票關聯網絡拓撲結構特征的動態演化規律、網絡彈性及其影響因素的研究結果，有助于深入理解股票間的價格波動關聯規律，這對于有效的組合投資及風險管理具有重要的指導意義。