加權極大-極小隨機模糊投資組合模型及實證研究

金 秀，劉家和，苑 瑩

（東北大學 工商管理學院，沈陽 110819）

在金融市場中，投資組合作為一種有效的風險分散工具受到投資者關注，其理論的核心是在不確定環境下對資產進行有效配置。1952年，Markowitz提出均值-方差投資組合模型，假設證券收益率為隨機變量，能夠通過證券歷史信息獲得證券收益率隨機分布參數。許多學者在均值-方差模型的基礎上，對投資組合理論進行延伸[1-5]。然而，證券市場是一個復雜的動態系統，難以通過證券歷史信息獲得證券收益率隨機分布的準確參數，投資者只能根據專家的意見和分析，對證券收益率的分布參數進行經驗主觀估計，得到分布參數的區間數。Zadeh[6-7]提出模糊集和可能性理論，在此基礎上，一些學者提出證券收益率為模糊變量的模糊投資組合模型[8-12]。

在實際投資組合選擇問題中，投資者往往同時面臨證券市場隨機和模糊的雙重不確定性因素。Liu[13]提出隨機模糊變量，為投資者所面臨的隨機和模糊雙重不確定性提供了有效的研究方法。Liu[14]提出隨機模糊規劃理論，并利用隨機模糊模擬技術和混合智能算法對模型進行了求解。Huang[15]假設證券收益率為隨機模糊變量，利用本原機會測量投資組合虧損值大于閾值的可能性，構建了以本原機會為約束條件的隨機模糊投資組合模型。Hasuike等[16]將隨機模糊投資組合問題轉換為可利用凸規劃技術求解的問題，得到隨機模糊規劃問題的數值解，從而避免了隨機模糊模擬技術要求隨機模糊變量相互獨立的限制。

文獻[14-16]中主要集中于隨機模糊投資組合期末財富最大化研究。Kahneman等[17]提出的前景理論認為，投資者更加看重財富的變化量而不是最終量，在盈利狀態下投資者是風險規避的，在虧損狀態下投資者是風險偏好的。在不確定環境下對投資目標進行決策時，投資者難以精確確定投資目標的期望水平。因此，利用前景理論表達投資者真實的決策偏好，在投資組合財富變化量的基礎上，考慮期望收益和目標概率隸屬度的最大化，更符合投資者的心理特征。

本文考慮投資者面臨證券市場隨機和模糊雙重不確定性因素，以期望收益和目標概率的隸屬度作為目標函數，利用加權極大-極小算子考慮不同風險態度投資者對投資組合目標權重的差異要求，構建加權極大-極小隨機模糊投資組合模型。采用實證方法研究在隨機和模糊雙重不確定環境下，期望收益和目標概率的權重變化對投資組合收益和風險的影響，以及比較投資組合模型的投資收益。

1 加權極大-極小隨機模糊投資組合模型

1.1 隨機模糊變量

定義1[13]如果ξ是從可能性空間（Θ，P（Θ），pos）到隨機變量集合R的函數，則稱ξ是一個隨機模糊變量。若ξ1，ξ2，…，ξn是隨機模糊變量，則ξ=（ξ1，ξ2，…，ξn）是n維隨機模糊變量。

定義2[13]設ξ1，ξ2，…，ξn是隨機模糊變量，f：Rn→R是可測函數，則ξ=f（ξ1，ξ2，…，ξn）為定義在可能性空間（Θ，P（Θ），pos）上的隨機模糊變量，數學表達式為

定理1[14]設ξj是隨機模糊變量，μj是ξj的隸屬度函數，j=1，2，…，n。f：Rn→R是可測函數，則ξ=f（ξ1，ξ2，…，ξn）是隨機模糊變量，其隸屬度函數為

Hasuike等[16]假設證券收益為隨機模糊變量，并且服從均值為L-R模糊變量的正態隨機分布，即其數學表達式為：

其中：L（x）和R（x）是非遞增、上半連續函數，且L（0）=R（0）=1，L（1）=R（1）=0；參數αj和βj分別為第j種證券均值模糊數左側和右側的參數，且αj和βj均為正數；n為資產的種類。于是，隨機模糊變量的隸屬度函數為

其中：Γ為正態隨機分布的全集表示隨機模糊收益率的程度。

1.2 投資組合隨機模糊目標隸屬度函數

（1）投資組合隨機模糊期望收益隸屬度函數。令表示證券j的隨機模糊收益率，則為投資組合的期望收益。根據定義2可知，為隨機模糊變量，利用定理1可得投資組合期望收益的隸屬度函數：∈Y；σij為資產i和資產j的協方差。

（2）投資組合隨機模糊目標概率隸屬度函數。Kahneman等[17]指出，投資者在面對收益時是風險規避的。大多數投資者的投資目標不是收益的最大化，而是在一定收益水平f下，使目標概率最大。證券收益率是隨機模糊變量，因此，是隨機模糊變量。將式（1）代入中，可得投資組合目標概率的隸屬度函數：

1.3 投資者模糊目標隸屬度函數

（1）投資者模糊期望收益隸屬度函數。前景理論指出，投資者更加看重財富的變化量而不是最終量，即投資組合期末財富與參考點之間的距離。在面對收益時投資者更偏向于風險規避，在面對損失時投資者更偏向于風險偏好，并且財富的邊際效用呈現遞減趨勢。Kahneman等[17]的前景理論價值函數為

其中：v（x）為價值函數；x為相對于參考點的收益或損失；α和β分別為面對盈利時的風險厭惡程度和面對損失時的風險喜好程度；λ為損失厭惡系數。

投資者在進行決策時受主觀因素和社會因素的影響，難以精確確定投資組合目標期望值，只能確定目標值的模糊范圍。設f0表示投資者期望收益的參考點，以文獻[17]中的研究為基礎，構建以財富變化量為基礎的投資者模糊期望收益隸屬度函數：

式中：f1為投資者期望收益的上限；α為投資者在面對盈利時的風險厭惡程度。Tversky等[18]通過行為實驗得到α=0.88，因此，選擇α=0.88。

（2）投資者模糊目標概率隸屬度函數。設p0為投資者目標概率的下限，即當目標概率低于p0時，投資組合目標概率滿足投資者期望值的程度為0。設p1為投資者目標概率的上限，即當目標概率高于p1時，投資組合目標概率滿足投資者期望值的程度為1。利用線性表達式表示目標概率在[p0，p1]范圍內，投資組合目標概率滿足投資者期望值的程度，投資者模糊目標概率隸屬度函數為

1.4 模型建立

式（3）中，投資者的期望收益f為區間模糊數，需要在式（5）的基礎上，考慮期望收益滿足投資者的程度，才能使投資組合模型變成一個界線清晰的問題。投資者在進行多目標投資決策時，不同風險態度投資者對目標函數賦予不同的權重。為了能夠符合不同投資者的心理特征需求，利用保守策略以加權后期望收益和目標概率中隸屬度最小值表示某個投資組合滿足投資者心理期望值的程度，即

式中，λ1和λ2分別為投資者對目標概率和期望收益的目標權重。

投資者的目的是找到一個投資組合使得能夠最大化滿足其心理期望值。根據式（6），在不允許賣空的條件下，加權極大-極小隨機模糊投資組合模型為：

2 模型求解

2.1 模型轉換

引理1當（p）≥λ1h時，

其中：

證明 將式（2）代入μP～（p）≥λ1h，可得：

其中，Φ-1（·）為標準正態分布的反函數。

根據引理1，可得

根據式（8）、（9），可得：

根據定理2，可將式（7）轉換為

2.2 模型最優解推導

由于式（10）既非凸規劃問題，亦非線性規劃問題。目標變量h只存在于第1個約束函數當中，對式（10）引入參數q，構建式（10）的子問題：

當q值固定后，式（11）變為凸規劃問題。令x（q）和Z（q）分別為式（11）中權重的最優解和目標函數的最優值，且x*和h*分別為式（10）中權重的最優解和目標函數的最優值。

定理3當0≤q≤1/λ1時，Z（q）是關于q的一個嚴格遞減函數。

證明假設q′＜q，x（q′）和x（q）分別對應最優 目 標 值Z（q′）和Z（q）。由 于R*（λ1q）和Φ-1（（qλ1））分別是關于q的遞減函數和遞增函數。同時，由于目標函數為求最大值，故（q′，x（q））所得到的函數值小于（q′，x（q′））所得到的函數值。

因此，當0≤q≤1/λ1時，Z（q）是關于q的一個嚴格遞減函數。 證畢

定理4當0≤q≤min（1/λ1，1/λ2）時，如果

證明根據式（10）、（11）可得，當Z（q）≥）時，q滿足式（10）的第1個約束條件。因此可將式（10）轉換為求解滿足條件的最大q值點，其中q∈[0，min（1/λ1，1/λ2）]。假設存在，使，即

根據定理3可知

這與假設矛盾。

2.3 模型求解步驟

（λ2q）為關于q的遞增函數，根據定理3可知函數Z（q）和（λ2q）存在3種關系，如圖1所示。

圖1 函數Z（q）和g-1F（λ2q）的關系

由定理4可知，圖1（c）中，Z（q）和（λ2q）交點處的q值為式（10）的最優值。可通過二分法得到Z（q）和（λ2q）交點處的q值，進而得到式（10）的最優值和最優解，具體步驟如下：

（1）根據式（3）、（4）分別生成投資者模糊期望收益和目標概率隸屬度函數；

（2）設置q←min（1/λ1，1/λ2）并求解式（11）。如果Z（q）≥（λ2q）（見圖1（a）），則停止運算。在這種情況下，x（q）能夠完全滿足投資者的心理要求；否則，進行下一步；

（3）設置q←0并求解式（11）。如果Z（q）≤（λ2q）（見圖1（b）），則停止運算。在這種情況下，x（q）滿足投資者心理期望值為0，則應放棄該期證券投資；否則，進行下一步；

（4）Z（q）和（λ2q）存在交點（見圖1（c）），設置Rq←min（1/λ1，1/λ2）且Lq←0；

（5）設置q←（Rq+Lq）/2；

（6）求解式（11）。如果Z（q）＜（λ2q），則設置Rq←q并且返回（5）；如果Z（q）＞（λ2q），則設置Lq←q并且返回（5）；如果Z（q）=（λ2q），則停止運算，（x（q），q）=（x*，h*）。

3 實證分析

3.1 數據選取

從上證180指數中隨機選取10支股票作為研究樣本，分別是三一重工、保利地產、宇通客車、同仁堂、亞盛集團、包鋼稀土、中國衛星、巨化股份、創興資源、金種子酒。選取10支股票2010-01-01～2013-04-30的周收盤價數據，對股票價格進行后復權處理，數據來源于Wind數據庫。股票采用對數收益率，即股票j在第k周的周收益率為r j，k=lnPj，k-lnP j，k-1，j=1，2，…，n。其 中，P j，k和P j，k-1分別為股票j在第k周的周收盤價和第k-1周的周收盤價。

參考文獻[16]，假設每支股票的收益率服從均值為模糊變量的正態隨機分布，均值收益率設置為對稱的三角模糊數，如表1所示。

表1 10支股票的統計描述

3.2 計算結果與分析

3.2.1 模型有效邊界研究 投資者期望收益和目標概率的模糊參數分別設置為：f1=0.80，f0=0.051）投資者一般以年收益率作為投資收益參考水平，本文所設置的期望收益為年收益率，可通過復利計算轉換為周收益率，p1=0.9，p0=0.7。目標概率權重λ1從0.01～0.99，期望收益權重λ2從0.99～0.01變化。利用2010-01-01～2012-12-31股票周收盤價，根據式（10），按照模型求解步驟，采用Matlab R2010a求解加權極大-極小隨機模糊投資組合模型的投資組合，并計算對應的收益率和標準差。加權極大-極小隨機模糊投資組合和均值-方差投資組合有效邊界如圖2所示。加權極大-極小隨機模糊投資組合不同期望收益和目標概率權重所對應的投資組合收益率和標準差如表2所示。

圖2 投資組合有效邊界

表2 不同目標權重的投資組合收益率和標準差

（1）加權極大-極小隨機模糊投資組合有效邊界。由圖2可見，加權極大-極小隨機模糊投資組合模型有效邊界與均值-方差投資組合模型不一致。均值-方差投資組合模型假設能夠通過證券歷史信息，精確獲得證券收益率的隨機分布參數。在期望收益一定的情況下得到風險最小的投資組合，這與真實的證券市場不符。加權極大-極小隨機模糊投資組合模型將證券收益率視為隨機模糊變量，除了考慮證券歷史信息外，還根據專家信息獲得證券未來收益的區間范圍，導致加權極大-極小隨機模糊投資組合模型的有效邊界與均值-方差投資組合模型不一致。

（2）加權極大-極小隨機模糊投資組合模型的收益率和標準差。由表2可知，隨著目標概率權重λ1的增大、期望收益權重λ2的減小，投資者的風險態度從風險偏好轉為風險厭惡，投資組合收益率和標準差呈現遞減的趨勢。表明投資者目標權重的變化，對投資組合的收益和風險產生影響。因此，在構建投資組合模型時應考慮投資者目標權重不等的要求。在實際投資決策時，若投資者對目標概率更為關注，說明該投資者對投資組合風險的關心程度大于對收益的關心程度，就加大目標概率的權重；反之，如果投資者更加關心投資組合收益，就加大期望收益的權重。因此，加權極大-極小隨機模糊投資組合模型可以根據不同投資者對期望收益和目標概率的差別需求，構建與其心理期望一致的投資組合，達到投資目標。

3.2.2 模型投資收益研究 設置均值-方差投資組合模型的年期望收益為10%、20%和30%，分別計算均值-方差投資組合。由于均值-方差投資組合模型的均值和方差是等權重的，令加權極大-極小隨機模糊投資組合模型的目標概率權重λ1為0.5，期望收益權重λ2為0.5，計算加權極大-極小隨機模糊投資組合。利用所得到的投資組合，計算2013-01-01～2013-04-30的累積投資收益，如圖3所示。

由圖3可見，加權極大-極小隨機模糊投資組合模型的投資收益優于均值-方差投資組合模型。均值-方差投資組合模型利用證券歷史信息，獲得證券收益率的分布參數。由于證券市場的復雜性，難以精確估計分布參數值。加權極大-極小隨機模糊投資組合模型除了考慮證券的歷史信息外，還考慮專家的信息，使得對證券收益的分布參數具有更加準確的估計，導致加權極大-極小隨機模糊投資組合模型的投資收益優于均值-方差投資組合模型。

圖3 投資組合模型投資收益比較

4 結語

考慮投資者面臨證券市場隨機和模糊雙重不確定性因素，根據Kahneman等[17]的前景理論建立符合投資者心理特征的期望收益和目標概率隸屬度函數。以期望收益和目標概率的隸屬度作為目標函數，利用加權極大-極小算子考慮不同風險態度投資者對投資組合目標權重的差異要求，構建加權極大-極小隨機模糊投資組合模型，推導模型的最優解。采用實證的方法研究在隨機和模糊雙重不確定環境下，期望收益和目標概率的權重變化對投資組合收益和風險的影響，以及比較投資組合模型的投資收益。結果表明：①加權極大-極小隨機模糊投資組合模型有效邊界與均值-方差投資組合模型不一致；②加權極大-極小隨機模糊投資組合模型可以根據投資者對期望收益和目標概率的差別需求，構建符合不同風險態度投資者要求的投資組合；③加權極大-極小隨機模糊投資組合模型的投資收益優于均值-方差投資組合模型。