比較：概念教學的有效路徑

陳惠芳

[摘 要]結合蘇教版小學數學教材三年級“認識分數”一課的教學，闡述了比較這一數學思想方法在教學中的重要作用，指出了小學數學概念教學中，采用“比較”的數學思想方法，要注意三個方面：找準“比較”前的點、把握“比較”時的度、關注“比較”后的思，對一線教師的數學課堂具有一定的借鑒意義和參考價值。

[關鍵詞]比較 概念教學 路徑 認識分數

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）08-015

著名教育家烏申斯基曾經說過：“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切。”在蘇教版小學數學教材中，有很多基礎概念，例如在“數與代數”領域中，就有小數、分數、百分數等。概念教學是小學階段非常重要的內容之一，除了在日常生活中應用廣泛，還為深入地開展認識活動提供了必要的理論工具。在概念教學中，如果采用比較的數學思想，幫助學生舉一反三，觸類旁通，就能幫助學生抓住概念的內在本質，準確地理解概念，凸顯概念的重要價值。現以三年級下冊“分數的認識”一課為例，談談這方面的教學思考。

一、在比較中，讓新舊知識自然對接

從蘇教版小學數學教材編排體系看，分數這一內容被分成了三個階段來進行教學。三年級上學期，學生已經初步學習了把一個物體、一個圖形平均分成幾份，用幾分之一或幾分之幾表示其中的一份或幾份。五年級下學期，學習把單位“1”平均分成若干份，其中的一份或者幾份可以分數來表示。三年級下冊的分數教學主要包括兩方面的內容：一是把由若干個物體組成的一個整體平均分成幾份，用幾分之一或幾分之幾這樣的分數表示這個整體里的一份或幾份;二是應用對分數的理解，解決求一個整體的幾分之一或幾分之幾是多少個物體的實際問題。因此，這部分內容的教學起到了一個承上啟下的作用。新課學習時，我采用師生談話交流的方式，先讓學生回憶：“我們已經學過了分數，你能舉例說出一個分數，并說說它表示什么意思嗎？”學生有的說四分之一，有的說五分之二，通過對它們意義的確認與理解，我及時進行總結：“通過學習我們知道，把一個物體平均分成幾份，每份就是它的幾分之一。今天這節課，我們繼續來研究分數。”接著，出示教材例題 “猴媽媽把一盤桃平均分給4只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？”……

從建構主義理論來看，任何學習都是在學習者已有的知識和認知結構的基礎上進行的。原有的認知結構對于新的學習任務是一個關鍵的因素。因此，找到新知的認知起點很重要。學生通過回憶、分析，對一個物體的幾分之一有了清晰的認識，在此基礎上揭示課題，顯得水到渠成。更重要的是讓舊知與新知聯結起來，讓學生對分數意義的認識上升到一個新的高度。

二、在比較中，讓核心概念動態呈現

所謂核心概念，指的是反映對象的本質屬性的思維形式。針對本節課的教學內容來看，從一個物體的幾分之一到一個整體的幾分之一，是學生認識分數的一次發展。一方面要讓學生理解“為什么要把許多個物體看作一個整體”，這是認識分數過程中的一個難點。另一方面就是讓學生充分認識到，把一個整體平均分成幾份，這是分數產生的重要因素，平均分成幾份，每一份就是幾份中的一份，也就是幾分之一，這是教學的重點與關鍵所在。如何能突出這一重點，我精心設計了多個層次的比較。

1.通過例題的變式進行比較

第一層次，通過比較，深化對四分之一的理解。教材的例題是把一盤桃（4個桃子）平均分給4只猴子，要求每只小猴分得這盤桃的幾分之幾。教學時，我放大了例題的教學價值：把4個桃子依次變成8個桃子、12個桃子、無數個桃子，仍舊是平均分給4只猴子，每只猴子分得這盤桃的幾分之幾？讓學生通過分一分、想一想、說一說，觀察比較后得出“不管盤子里有多少個桃子（4個、8個、12個、很多很多個），桃子的總個數不同，都可以把它看作一個整體，只要把這盤桃平均分成4份，每只小猴都分得這盤桃的四分之一，都可以用分數1 / 4來表示。不同的是，每一份的個數不同”。（異中有同，同中有異）學會觀察非常重要！

第二層次，通過比較，凸顯二分之一與四分之一的異同。“同樣是一盤桃，分給4只猴子、2只猴子后，同樣是四個桃子，為什么每份有的用四分之一來表示，有的卻用二分之一來表示呢？”這樣的比較不僅符合學生的認知規律，更重要的是讓學生充分意識到“平均分成的份數”決定著不同分數的產生。此處教學筆墨不多，但恰到好處，學生的思維一下子動起來了，真正給學生創造了一個生動活潑的動態學習過程。

2.通過習題的變式進行比較

（1）在比較中，深化對總數、總份數、每份數的認識。如根據教材“想想做做第2題（教材只提供了圖1-1和圖1-2），我還補充了圖1-3、1-4。教學時，先讓學生口答每個圖可以用幾分之幾來表示，接著讓學生依次對圖1-1和圖1-2、圖1-1和圖1-3、圖1-和圖1-4進行比較。

我出示比較1：同樣是12個小正方體，其中的一份，為什么第一個是四分之一，第2個是三分之一？比較2：同樣是每份3個，為什么圖1-1用表示，圖1-3用表示？讓學生觀察圖1-2和圖1-4后，提出問題來考考同學。通過對這3組分數的比較，深化了學生對于總數、總份數、每份數的認識，讓學生進一步體會幾分之一所表示的實際含義，及時溝通了“部分與整體”、“份數與分數”等相互之間的關系，凸顯出分數的本質。

（2）在比較中，深化對平均分的理解。為了讓學生對平均分有深刻的理解，我在三組分數比較之后，還出示了圖2，問：“現在圖中涂色部分還能用分數來表示嗎？”

學生通過觀察，一致認為圖2中的3份不是平均分，第一排有5個，第二排也是5個，第三排是6個，所以不能用三分之一來表示。我及時總結：“說得好！看來，要想得到一個分數，必須要把這個整體平均分。”看來，對圖1-1、圖1-2、圖1-3、圖1-4、圖2多種層次的比較，尤其是運用反例，讓學生意識到分數的產生一定是要建立在平均分的基礎上。也正是這樣的比較活動，學生的思維始終處于活躍狀態，在對比中辨析，在辨析中理解，真正做到“同中辨異，異中求同”，學生對分數的理解自然是全面而深刻的。

三、在比較中，讓思想方法悄然浸潤

史寧中教授在《數學思想概論》中指出：數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理和模型……通過抽象，在現實生活中得到數學概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后再通過模型建立數學與外部世界的聯系。《義務教育數學新課程標準（2011年版）》也突出強調落實“四基”的要求，其中包括“培養學生基本的數學思想方法”。可見，在數學教學活動中，自覺滲透基本的數學思想方法十分重要。本課中，比較這一思想方法的滲透是悄然無聲的，除了上面提及的核心概念的呈現中，采用比較的方法，從直觀到抽象，深化對分數的認識外，練習設計中，我還注重了一一對應、數形結合等數學思想的滲透。

如在12根小棒的游戲練習中，我先提出：“（課件出示）一堆小棒有12根，你能表示出這堆小棒的嗎？”學生自然想到每份是6根。“那么，除了，你能表示出這些小棒的幾分之一呢？”學生通過交流，想到了還可以拿出它的、、、。

接著，我要求學生觀察：“同樣是12根小棒，為什么得到了不同的分數呢？隨著分的份數增加，每份數怎樣變化？分數怎樣變化？”讓學生通過比較，體會到變與不變的思想。

第二步，我把12根小棒變成了這樣一條特殊的“線段”，追問：“現在能把它看作一個整體嗎？說說這一份占線段全長的幾分之一？”（如圖3、圖4）

在學生說出十二分之一和四分之一后，我把線段進行了“瘦身”，讓學生繼續觀察，猜一猜：這一份是這個整體的幾分之一？（如圖5）

在此基礎上，我引導學生得出：只要把這條線段看作一個整體，平均分成幾份，每份就是它的幾分之一（如圖6）。這個練習的設計，基于教材，又創生教材，從小棒圖到數軸圖的巧妙變化，對小學階段“分數的意義”做了較好的對接，既有趣味性，又讓學生對分數的認識有了適當的拓展和延伸，而“一一對應”思想、變與不變的思想、數形結合思想等也悄然滲透其中。

基于上面的思考，我覺得在數學概念教學中，采用“比較”的數學思想方法，要注意以下幾點。

其一，找準“比較”前的點。任何概念都有其內涵和外延，教師進行概念教學時，要認真解讀教材，摸清教材的編寫意圖，熟悉概念的來龍去脈，了解核心概念在本冊教材中乃至在整個小學階段（可適量延伸至中學）中的重要地位，全面把握其內涵和外延，找準教材的邏輯起點、學生的認知起點和思維起點，確定適切的教學目標要求。備課時，找一找與學生已有知識、經驗之間的聯系，借助于具體情境的支撐，找準新舊知識的聯結點，確定課堂上圍繞該內容的具體訓練點，通過學情分析，努力挖掘其生長點，使新概念的學習有“根”有“據”，幫助學生積累數學活動經驗。

其二，把握“比較”時的度。為理解而教，這是概念教學中很重要的理念。小學生對任何概念的理解，絕不是一次完成的，都要經歷一個比較復雜的認識過程。縱觀一些概念教學，可以發現，在感性向理性的抽象思維活動中，教者可以及時變換材料的非本質屬性，提供充分的學習素材，通過不斷的變式、比較，豐富概念的內涵，讓學生充分感知、觀察、操作、比較，把操作活動與語言表達、觀察比較與思維活動有機結合，學會“數學地思維”，從而深化概念本質的理解。

其三，關注“比較”后的思。英國哲學家洛克曾經指出：省思是人心對自身活動的注意和知覺，是知識的來源之一;人通過反省心靈的活動和活動方式，獲得關于它們的觀念，如知覺、思維、懷疑、信仰等。對于小學生來說，對一些數學基本概念的學習、把握，主要為以后高一層次的學習打基礎。學習這些基本概念，不僅獲得數學知識，更重要的是掌握一些數學思想方法，提高數學思維能力。因此，教師在課堂上要關注“比較”后的思，讓學生通過看一看、比一比、說一說，自己來整理發現，自己來盤點收獲，在學生獨自匯報的過程中，引發其他學生卷入其中，相互激發，啟迪思考，外化學生的思維過程。這樣的由此及彼、舉一反三，有助于學生對概念的認識從模糊到清晰、從淺表到深刻，不斷豐富完善，從而獲得對概念的深刻理解和整體把握，進而內化為數學思想方法，真正提升數學素養。

（責編 金 鈴）