2014年高考數學數列專題解讀

靳文嵐

【關鍵詞】 數學教學；數列；解讀

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2015）08—0123—01

數列是高中數學的重要內容，也是高考數學的重要考查內容.2014新課標全國卷Ⅱ理科數學高考中數列為第18大題，分值12分；文科數學數列為第5題選擇，分值5分和第16題填空，分值5分，共10分.從考題的類型來看，數列會在高考中以各種題型出現，并且題目的難易程度分布均勻，是每年的必考題型之一.從分值來看，數列占10或12分，在高考中占舉足輕重的作用，而且是學生容易得分的模塊，所以數列在高考中的重要性是不言而喻的.

數列在高考中考查的內容主要有以下幾個方面：1.能用等差或等比數列的概念、性質、通項公式、求和公式求解；2.等差或等比數列的判斷與證明；3.數列和其他知識的結合，其中數列常與函數、方程、不等式等知識綜合求解.

下面對2014高考中的一些典型題進行分析

一、等差、等比數列基本量的計算

[2014·湖北卷18] 已知等差數列{an}滿足：a1=2，且a1，a2，a5成等比數列.

（1）求數列{an}的通項公式.

（2）記Sn為數列{an}的前n項和，是否存在正整數n，使得Sn>60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由.

解：（1）設數列{an}的公差為d，

依題意得：2，2+d，2+4d成等比數列，

故有（2+d）2=2（2+4d），

化簡得d2-4d=0，解得d=0或d=4.

當d=0時，an=2；

當d=4時，an=2+（n-1）·4=4n-2.

從而得數列{an}的通項公式為an=2或an=4n-2.

（2）當an=2時，Sn=2n，顯然2n<60n+800，

此時不存在正整數n，使得Sn>60n+800成立.

當an=4n-2時，Sn==2n2.

令2n2>60n+800，即n2-30n-400>0，

解得n>40或n<-10（舍去），

此時存在正整數n，使得Sn>60n+800成立，n的最小值為41.

綜上，當an=2時，不存在滿足題意的正整數n；當an=4n-2時，存在滿足題意的正整數n，其最小值為41.

考點分析：本題主要考查等差數列的通項公式，前n項和公式和不等式的相關知識，考查方程思想、分類討論的思想，同時考查學生的運算能力以及綜合運用知識分析問題、解決問題的能力.

二、等差、等比數列的判斷與證明

[2014·新課標全國卷Ⅱ17] 已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

（1）證明an

+是等比數列，并求{an}的通項公式；

（2）證明++…+<.

解：（1）由an+1=3an+1得an+1+=3an

+

又a1+=，所以an

+是首項為，公比為3的等比數列，所以an+=，因此數列{an}的通項公式為an=.

（2）證明：由（1）知=.

因為當n≥1時，3n-1≥2×3n-1，

所以≤，即=≤.

于是++…+≤1++…+=1-

<.

所以++…+<.

考點分析：本題主要考查數列的遞推關系，考查等比數列的概念，不等式的證明及數列的求和等知識，意在考查考生的分析轉化能力與推理論證能力.

三、等差、等比數列性質的應用

1.[2014·安徽卷12] 數列{an}是等差數列，若a1+1，a3+3，a5+5構成公比為q的等比數列，則q= 1

考查性質：（1）若{an}是等差數列，則ak，ak+m，ak+2m，…（k、m∈N+）也是等差數列；（2）若{an}，{bn}是等差數列，則{pan+qbn}是等差數列.

2.[2014·北京卷12] 若等差數列{an}滿足a7+a8+a9>0，a7+a10<0，則當n= 8 時，{an}的前n項和最大.

3.[2014·遼寧卷8] 設等差數列{an}的公差為d.若數列2a1an為遞減數列，則（ C ）

A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0

考點分析：本題主要考查等差數列的通項公式、函數的單調性等知識，體現了對數列和函數的綜合考查.

編輯：謝穎麗