對中職生數學思維縝密性的調查分析及對策研究

羅海霞

?

對中職生數學思維縝密性的調查分析及對策研究

羅海霞

對中職生的數學思維縝密性現狀進行調查，包括對其數學形式把握時的縝密性、解題時的縝密性、反思時的縝密性、數學學習方式和習慣等進行調查，嘗試從心理層面分析中職生數學思維方式的主要特點，并提出解決對策。

中職生；數學教學；思維縝密性；調查；對策

在基礎教育的教學實踐中，對提高數學思維縝密性的實踐性探究比較深入，而在職業院校特別是中等職業學校未見到專門的研究，本文擬通過對中等職業學校學生數學思維縝密性現狀的調查，分析其思維特點，并提出相應解決對策。

數學思維縝密性主要是指正確理解公理、定義、定理、法則，通過演繹的方法導出結論，運用數學陳述的形式進行推理，且能準確評價數學陳述過程的正確性。在假設——演繹結構中，“產生協調與相容性的感覺，能以獨立于實際約束條件的命題形式進行思考”。包括：(1)對形式(公理、定理、定義和法則)的準確把握；(2)掌握一定的解題程序和理論驗證推導的形態；(3)數學學習反思時能完備對知識的理解。

一、調查背景及意義

中職生是指中等職業學校學生。生源主要是初中畢業生，學制3年。

教育部對中職生的教育目標定位包括“需要掌握必要的文化基礎知識和具有基本的科學文化素養”。數學素養是重要的文化素養之一。“數學思維縝密性”則是數學素養的核心內容。因為數學是邏輯的優良載體，而“邏輯”的核心就是要“縝密”。數學學習就是要借助數學的具體內容，通過對命題的4種基本形式(原命題、逆命題、否命題、逆否命題)的真假判斷，進行論證的方法，培養邏輯思維能力。學習數學不僅是為了增加中職生的知識，主要是將數學作為學習邏輯的基本途徑之一。

然而，目前中職生的數學學習現狀不容樂觀。由于中職生數學基礎薄弱，作為具有累積性特點的數學學習效益十分低下。在中職數學教學過程中，筆者發現許多中職生不善于運用數學概念、公理、定理、規則進行論證，在論證過程中，常常出現隨意模仿、更改、刪減、添加條件，進行非規律性的概括，未經論證的推理，不完備的證明，不徹底、不完備的分類，以達成結論，表現出數學思維的隨意性，從而淪為數學學習困難生。隨著年級的升高，數學困難生逐漸增多，而經常處于這一狀態的學生無法培養邏輯思維能力，形不成基本的數學素養，數學教育的功能得不到體現。因此，剖析中職生數學學習困難的成因，對預防及矯正數學困難生有一定的現實意義。而形成中職學生數學學習困難的成因很復雜，其中數學學習中思維縝密性不足是核心因素之一。

本文試圖通過案例分析、問卷調查、教學觀察、個別訪談，結合相關理論，調查中職生數學思維縝密性狀況，并進行分析，提出對策。

二、調查對象、內容和方法

調查對象是連云港中等職業學校2010級機電(2)班、數控(1)班97名學生的數學思維縝密性情況。這兩班中考數學平均成績為64分、61分(總分150分)。這樣的成績在連云港中等職業學校已經算是中上等的水平。調查時間為2010上9月-2013年7月共3年的跟蹤調查。

調查內容包括數學課堂提問(出聲思考)、練習、作業、試卷(數學陳述)、數學學習習慣、方式等。本文主要從以下4個方面進行調查：(1)對數學形式的把握。指對公理、定理、定義和證明的掌握情況；(2)解題。指學生掌握的解題程序和理論驗證的形態；(3)反思。指學生對數學學習的反思情況；(4)中職生數學學習方式、習慣等。

調查方法主要采用觀察法、訪談法、問卷調查法、文獻研究法。觀察法，就是觀察中職生在回答問題時的出聲思考過程、做練習時的書寫過程、做作業的情況；訪談法，對學生數學學習中存在的思維困惑進行訪談；問卷調查法，調查學生的學習習慣和方式等；文獻研究法，通過文獻研究，分析影響學生數學思維縝密性的心理原因。

三、調查結果及分析

(一)對數學形式把握的縝密性情況

調查發現，60%及以上的中職生對較為直觀的公理、概念、法則理解程度較高，如空間圖形的認識和變換，立體幾何中的公理“在同一平面內，不共線三點確定一個平面”，解析幾何中的向量坐標加、減運算。對于累積性知識需求不高的知識掌握的水平較高，如邏輯變量的基本運算、編制工作計劃。

88%的中職生對較為抽象的概念的完整理解不夠，如對數集中通過映射定義的函數概念理解程度很低。學生往往不理解為什么要定義“在原象集合中的每一個元素，在象集中只有唯一一個元素與之對應；同時象集中的每一個元素，在原象集中都有原象”。學生在判斷：“從數集Z到數集R，對應法則f取絕對值”是不是集合時，學生往往忽略象集中的每一個元素是否有原象，而認為這是集合，表現出影響數學思維縝密性的完備性不足。

中職生對定理、公式的理解不夠準確，表現出影響數學思維縝密性的準確度不高。如學生經常出現以下錯誤。

案例1：(a+b)2=a2+b2,23%的中職生對完全平方公式理解不準確。

案例3：sin(A+B)=sinA+sinB,81%的中職生對兩角和的正弦公式完全是想當然。

中職生對公式、定理、運算法則的理解是不準確的，記憶是模糊的，甚至是想當然的。

94%的中職生對于需要累積性知識支撐的內容理解程度很低，表現出影響數學思維縝密性的思維深刻性不夠。如解一元二次不等式，需要一元二次方程和一元二次函數的圖像作為基礎，中職生的掌握程度較低。中職生不能理解一元二次方程的解和一元二次不等式的解之間的關系，以及一元二次不等式與一元二次函數圖像的對應關系。

86%的中職生對數學概念的直覺理解往往存在較大的偏差。這也是影響數學思維縝密性的因素之一。如認為集合中的元素必須要有明確的共性，不接受空集。對極限概念中的“趨向”，學生往往有以下的理解：接近于(最終離開它)、接近于(不必達到它)、接近于(恰好達到它)、類似于(差不多就是它)。這樣學生往往不認為數列1、1、1收斂于極限1。

(二)解題時的縝密性情況

85%的中職生對所有的數字加減運算掌握程度較高，如向量的坐標運算。而中職生對乘、除、乘方、開方運算掌握程度較差。

中職生在推理過程中的隨意性較大，呈現出思維縝密性方面最大的障礙。

案例6：教師講解了“用向量法證明，平行四邊形兩條對角線的平方和等于平行四邊形四邊平方和”后，布置學生做“用向量法證明，矩形的兩條對角線相等”。被試兩個班級中75%的中職生錯解如下：

案例7：已知x>1，求證X3-(X2-X+1)>0

本案例在被試班級中有62%的“中職生”錯解如下：

證明：∵X3-(x2-x+1)

=X3-X2-X-1

=x2(x-1)-(x-1)

=(x-1)(X2-1)

=(x-1)2(x+1)

∵x>1

∴(x-1)2(x+1)>0

即x3-(x2-x+1)>0

為了達成結論，隨意改變正負號，X3-X2-X-1 =x2(x-1)-(x-1)

表現出推理過程中較大的隨意性，使得數學思維縝密性缺失。

(三)對數學問題反思時的縝密性情況

所謂反思，就是對已經進行過的行為、結果的再思考、再認識。反思的深刻性，決定了思維縝密性程度。中職生在數學學習過程中往往表現出反思時不深入、不徹底，不能觸及問題的核心和關鍵。

被試班級56%的中職生錯解如下：

=30°

(四)對數學學習習慣和方式的調查

調查內容涉及影響學生數學思維的可能因素。調查步驟：(1)準備階段：編制調查表，收集典型案例；(2)統計分析調查結果(見表1)。

表1 調查結果統計

調查表明，中職生在數學學習過程中，普遍表現出放任的態度和不求甚解的習慣，特別是對數學的推理過程缺少應有的熱情。

四、影響中職生數學思維縝密性的原因分析及解決對策

(一)空間認知能力的障礙

這種障礙可以導致去括號時變號操作出錯。變號中包括運動功能(憑借軀體去把握)與言語功能(讀數)的作用，筆算還要求有空間認知能力。案例7，是中職生在筆算中易犯的初級演算技能的錯誤。錯解x3-(x2-x+1)=X3-x2-x-1 去括號時“變號”的邏輯不明白，所以往往把括號內第二項及其它中間項的符號變錯。這類問題多涉及空間認知問題。這種障礙的產生主要源于大部分中職生“視覺的信息處理能力的失常”所致，“這不是看不見或視力弱的末梢感官問題，而是不能理解其間的關系和賦予的意義”，[1]有些中職生存在認知發展的滯后，這就是腦功能本身的問題。需要幫助學生分析錯誤的原因，并彌補正確的運算規則，再進行反復訓練，加強對基礎知識的理解和把握。

(二)抽象思維能力薄弱

中職生對于概念理解及邏輯操作這樣的抽象思維能力表現得很薄弱。案例2表明，學生不懂得求差法的關鍵在于對差的判別，而不僅僅是模仿格式，從而導致這類錯誤。其缺乏對“求差”意義的抽象思維能力，導致解題過程缺少邏輯性。這與關系理解(“求差法”與證明不等式)和共同要素(“求差法”的關鍵是判別差)的抽象能力的缺陷有關。“學業不良的人很少自覺地對記憶內容進行語言式編碼并符號化，因此無法長時記憶，使得抽象思維的基礎不在，給學習能力的形成帶來巨大的障礙”。[2]56%的中職生“遇到數學學習障礙就放棄”。解決的方法就是教給他們分析與綜合信息的方法。如加強審題方法的指導，使學生明確要解決的問題與已學內容的關系。教學過程中，教師要挑選典型例題幫助學生學習一般的、原則性的解題方法，讓學生通過少量的習題訓練后弄清某種解題方法的原則。這樣學生在解答同一類型的問題時就不會感到困難。

(三)假設驗證推理能力薄弱

(四)數學推理的形式側面、算法側面、直覺側面不能協調發展

數學思維的縝密性研究很復雜。根據調查，幾乎所有中職生在數學思維縝密性方面存在不足，表現為對數學形式把握的準確性不高、完備性不夠，解題過程中推理的隨意性較大，數學學習反思的深刻性不足，不能形成運用高度省略、簡化和濃縮的方式洞察數學關系的能力。如搞不清簡單的運算概念，分不清去括號、抽取公因數等基本的初等操作技能，理解不了如“求差法”證明不等式的方法、技巧的內涵，證明時對形式化、符號化了的邏輯用語的理解尤為困難。中職生表現出不定型、不穩定的特殊數學思維樣式。教學過程中，教師要根據這些特點，通過精講、精練，多組織趣味性較強的教學活動，采取小步推進教學內容的策略，及時做好個別指導，以逐步提高中職生的數學思維縝密性。

[1]鐘啟泉.差生心理與教育[M].上海：上海教育出版社，1994.

[2]ROLF Biwhler.數學教學理論是一門科學[M].上海：上海教育出版社，1998.

[3]丁爾升, 唐復蘇.中學數學課程導論[M].上海：上海教育出版社，1999.

[4]馮躍峰.推理是數學思維的核心[J].中學數學，1996(4)：24-26.

[責任編輯 陳國平]

羅海霞，女，江蘇省連云港中等專業學校高級教師，教育碩士，主要研究方向為數學教育。

G712

A

1674-7747(2015)27-0022-05