基于灰色關(guān)聯(lián)度的形態(tài)濾波及滾動(dòng)軸承故障診斷中應(yīng)用

文 成，周傳德

(重慶科技學(xué)院 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，重慶 401331)

滾動(dòng)軸承發(fā)生局部損傷類故障時(shí)會(huì)產(chǎn)生周期性沖擊信號(hào)，若有效提取損傷或缺陷引起的脈沖成分，即能獲得故障特征信息進(jìn)行診斷。包絡(luò)分析為軸承故障診斷常用方法，包絡(luò)譜頻率結(jié)構(gòu)與所選頻帶有關(guān)，而頻帶選擇問題是限制包絡(luò)分析應(yīng)用的主要因素之一。數(shù)學(xué)形態(tài)濾波處理信號(hào)只取決于信號(hào)的局部形狀特征，無需預(yù)先設(shè)定濾波頻帶。形態(tài)濾波為基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的非線性濾波方法，通過移動(dòng)結(jié)構(gòu)元素捕捉信號(hào)特征，在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷中得到一定應(yīng)用，亦取得較好效果［1－3］。結(jié)構(gòu)元素作為“濾波窗”，只有與待分析信號(hào)形狀特征接近的結(jié)構(gòu)元素濾波效果才能達(dá)到最佳。因此，結(jié)構(gòu)元素設(shè)計(jì)在形態(tài)濾波中起關(guān)鍵作用。結(jié)構(gòu)元素特征包括形狀、尺度，尤其結(jié)構(gòu)元素尺度對(duì)濾波質(zhì)量影響較大。章立軍等［4］在對(duì)齒輪故障研究中提出結(jié)構(gòu)元素長度為沖擊周期長度的0.6倍～0.8倍，由對(duì)比不同結(jié)構(gòu)元素長度實(shí)驗(yàn)后獲得，計(jì)算量過大且難以推廣到其它故障研究領(lǐng)域。李豫川等［5］通過選擇不同結(jié)構(gòu)元素長度對(duì)信號(hào)進(jìn)行形態(tài)濾波，據(jù)濾波后信號(hào)沖擊特征幅值較大且變化較小時(shí)確定結(jié)構(gòu)元素尺度，亦存在計(jì)算量大、強(qiáng)噪聲情況下沖擊特征幅值不易提取問題。胡愛軍等［6］采用短結(jié)構(gòu)元素與長結(jié)構(gòu)元素相結(jié)合的形態(tài)濾波方法，在轉(zhuǎn)子碰摩故障診斷中取得較好效果，但未說明長、短尺度確定的數(shù)學(xué)原則，較難推廣應(yīng)用。沈長青等［7－8］利用信號(hào)局部極值確定結(jié)構(gòu)元素長度，但極值分布易受噪聲影響，尤其高噪聲下的有效性尚待研究。騰明春等［9］將遺傳算法用于結(jié)構(gòu)元素尺度優(yōu)化，從而克服傳統(tǒng)形態(tài)濾波器在結(jié)構(gòu)元素尺度選擇的盲目性，認(rèn)為后一個(gè)結(jié)構(gòu)元素長度為前一長度的2倍原則為據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇，但加權(quán)時(shí)權(quán)重分配原則未闡明，因此該方法需更深入的理論研究。灰色系統(tǒng)理論由鄧聚龍［10］提出，而灰色關(guān)聯(lián)分析為灰色系統(tǒng)理論的核心內(nèi)容之一，可評(píng)價(jià)各因素間接近程度，常用灰色關(guān)聯(lián)度表示待檢模式與參考模式間緊密關(guān)系。灰色關(guān)聯(lián)分析具有樣本要求低、方法簡單、計(jì)算量小、不會(huì)出現(xiàn)與定性不一致結(jié)論等優(yōu)點(diǎn)，已廣泛用于機(jī)械故障診斷［11－12］。

基于以上分析并結(jié)合滾動(dòng)軸承故障特點(diǎn)，提出利用灰色關(guān)聯(lián)度最大準(zhǔn)則選擇結(jié)構(gòu)元素尺度進(jìn)行形態(tài)濾波方法，可有效解決形態(tài)濾波中結(jié)構(gòu)元素尺度難以選擇問題，提高濾波效果。實(shí)例表明，該方法能有效提取滾動(dòng)軸承故障特征信息，提高故障診斷的準(zhǔn)確性。

1 基本理論

1.1 形態(tài)濾波

作為數(shù)學(xué)形態(tài)理論在信號(hào)處理方面的重要應(yīng)用之一，形態(tài)濾波通過特定的結(jié)構(gòu)元素探測(cè)待處理信號(hào)達(dá)到提取特征信息、抑制噪聲目的。探測(cè)信號(hào)即對(duì)信號(hào)進(jìn)行各種形態(tài)變換，其4個(gè)基本運(yùn)算為膨脹、腐蝕及開、閉運(yùn)算，形態(tài)濾波為基本算子的各種組合運(yùn)算。

設(shè)待處理信號(hào)x(n)及結(jié)構(gòu)元素g(n)分別為定義在 X=(0，1，…，N －1)及 G=(0，1，…，M －1)的一維離散函數(shù)，且滿足N≥M，則信號(hào)x(n)關(guān)于結(jié)構(gòu)元素g(n)的膨脹、腐蝕、開閉運(yùn)算分別定義為

式中:n∈［0，N －1］;m∈［0，M －1］;符號(hào)“⊕”、“Θ”、“°”、“·”分別為膨脹、腐蝕、開閉運(yùn)算。

形態(tài)開、閉運(yùn)算具有低通濾波特性，二者組合構(gòu)成形態(tài)濾波器。其中形態(tài)閉－開濾波器兼有閉、開運(yùn)算優(yōu)點(diǎn)，可同時(shí)抑制信號(hào)中正負(fù)脈沖干擾。本文采用閉－開形態(tài)濾波器對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行故障診斷研究。閉－開濾波器定義為

形態(tài)濾波效果與結(jié)構(gòu)元素g(n)形狀、幅值及長度有直接關(guān)系，只有與結(jié)構(gòu)元素幾何信息匹配的信號(hào)才能保留。結(jié)構(gòu)元素越復(fù)雜濾波效果越好，但計(jì)算量過大。對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)而言，結(jié)構(gòu)元素形狀對(duì)濾波結(jié)果無明顯影響［13］。直線型結(jié)構(gòu)元素由于形狀簡單、計(jì)算量小且能完整保留振動(dòng)信號(hào)的特征信息，故用幅值為0的直線型結(jié)構(gòu)元素對(duì)滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行形態(tài)濾波，確定最優(yōu)結(jié)構(gòu)元素尺度(長度)。

1.2 灰色關(guān)聯(lián)度

灰色系統(tǒng)指系統(tǒng)信息部分確定、不確定系統(tǒng)，是不確定系統(tǒng)研究的主要方法之一。灰色關(guān)聯(lián)度分析作為灰色系統(tǒng)理論分析的重要方法基本思想為據(jù)序列曲線幾何形狀相似程度判斷其聯(lián)系是否緊密。曲線越接近序列間關(guān)聯(lián)度越大，反之越小。灰色故障診斷利用未知故障信息與標(biāo)準(zhǔn)故障信息模式的關(guān)聯(lián)度大小探討故障發(fā)生的主要原因及程度。

設(shè)參考模式向量為Y0=［y0(1)，y0(2)，…，y0(n)］，待檢模式向量為Yi=［yi(1)，yi(2)，…，yi(n)］，則待檢模式與參考模式間關(guān)聯(lián)系數(shù)可以表示為

式中:ξ為分辨系數(shù)，在0＜ξ＜1內(nèi)取值，一般ξ=0.5。不同ξ雖不影響各關(guān)聯(lián)度相對(duì)排列次序，但會(huì)影響關(guān)聯(lián)度區(qū)分度，即區(qū)分的明顯程度。本文僅涉及各關(guān)聯(lián)度大小排列順序，故取ξ=0.5不影響研究結(jié)論。

灰色關(guān)聯(lián)度可由關(guān)聯(lián)系數(shù)取平均獲得，即

1.3 基于灰色關(guān)聯(lián)度最大法則的形態(tài)濾波方法

結(jié)構(gòu)元素形狀確定后，形態(tài)濾波效果取決于結(jié)構(gòu)元素尺度(長度)。結(jié)構(gòu)元素尺度過短達(dá)不到去除噪聲目的，過長則導(dǎo)致有用信息損失。結(jié)構(gòu)元素尺度一般不超過沖擊周期長度。形態(tài)濾波在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷中可采用長度為故障周期長度的0.6倍～0.8倍。杜必強(qiáng)［14］將振動(dòng)信號(hào)基頻周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)的1/12作為結(jié)構(gòu)元素尺度，而沈路［15］則提出尺度為沖擊周期長度的0.19倍～0.21倍。實(shí)際應(yīng)用中沖擊長度往往難以預(yù)知。為簡化運(yùn)算，本文提出結(jié)構(gòu)元素尺度最小值L1=3，最大值Ln取故障周期長度0.19～0.3之間。基于灰色關(guān)聯(lián)度的形態(tài)濾波方法見圖1。構(gòu)造故障信號(hào)x(t)的特征向量 G0=(K0，E0，T0，S0)，其中 K0、E0、T0、S0分別為信號(hào)的峭度系數(shù)、均方值、特征頻率幅值及頻譜重心。軸承出現(xiàn)典型故障時(shí)，峭度系數(shù)、均方值及頻譜重心會(huì)明顯增大，故障特征頻率處會(huì)現(xiàn)明顯峰值。因此，特征量對(duì)軸承缺陷非常敏感，能充分反映信號(hào)的故障信息。確定結(jié)構(gòu)元素尺度范圍［L1，Ln］，選用幅度為0的直線型結(jié)構(gòu)元素，以不同尺度Li對(duì)信號(hào)x(t)進(jìn)行形態(tài)濾波。構(gòu)建形態(tài)濾波后信號(hào)特征向量Gi=(Ki，Ei，Ti，Si)，其中 Ki、Ei、Ti、Si分別對(duì)應(yīng) xi(t)的峭度系數(shù)、均方值、特征頻率幅值及頻譜重心4個(gè)特征量。G0，Gi的4個(gè)元素存在量綱差別及較大數(shù)量級(jí)差異。為保證數(shù)據(jù)基本處于同一數(shù)量級(jí)，實(shí)現(xiàn)無量綱化，構(gòu)造特征向量時(shí)先對(duì)各特征參數(shù)進(jìn)行歸一化處理。利用灰色關(guān)聯(lián)理論計(jì)算向量G0，Gi的關(guān)聯(lián)度ri，確定最大關(guān)聯(lián)度rm對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)元素尺度Lm，該尺度即為最優(yōu)尺度。利用最優(yōu)尺度為Lm的結(jié)構(gòu)元素對(duì)故障信號(hào)x(t)進(jìn)行形態(tài)濾波，獲得包含故障信息豐富的分量xm(t)，對(duì)該信號(hào)進(jìn)行頻譜分析或Hilbert包絡(luò)解調(diào)分析，便可提取滾動(dòng)軸承故障特征信息。

圖1 基于灰色關(guān)聯(lián)度的形態(tài)濾波分析流程圖Fig.1 The flow diagram of morphological filter based on grey relational degree

2 信號(hào)仿真

以滾動(dòng)軸承仿真信號(hào)x(t)為例，說明基于灰色關(guān)聯(lián)度最大法則的形態(tài)濾波方法實(shí)施過程。滾動(dòng)軸承振動(dòng)可用周期沖擊力f(t)及系統(tǒng)沖擊響應(yīng)h(t)的卷積表示，即

式中:δ(t)為單位沖擊力;d為沖擊強(qiáng)度;ts為沖擊周期;ξ為系統(tǒng)阻尼比;fn為固有頻率;fd為振蕩頻率;n(t)為噪聲干擾。

設(shè)采樣頻率 fs=1000 Hz，沖擊周期 ts=0.1 s，加入高斯噪聲 n(t)=0.01*randn(1，length(k))，其中l(wèi)ength(k)為f(t)與h(t)卷積后數(shù)據(jù)長度。軸承故障仿真信號(hào)時(shí)域波形見圖2(a);仿真信號(hào)頻譜圖2(b)中幾乎得不到正確的特征信息，噪聲嚴(yán)重影響信號(hào)分析精度。為提高信號(hào)分析質(zhì)量，據(jù)仿真信號(hào)特征確定最大尺度Ln=19，利用灰色關(guān)聯(lián)度最大法則確定結(jié)構(gòu)元素尺度，再對(duì)軸承仿真信號(hào)x(t)進(jìn)行形態(tài)濾波，結(jié)果見圖2(c)～(f)。圖2(c)中尺度Li=9對(duì)應(yīng)灰色關(guān)聯(lián)度最大，利用結(jié)構(gòu)元素最優(yōu)尺度Lm=9對(duì)信號(hào)進(jìn)行閉－開形態(tài)濾波，濾波信號(hào)見圖2(d)。圖2(e)、(f)為形態(tài)濾波后信號(hào)頻譜及包絡(luò)譜，譜圖中均突出特征頻率9.8 Hz及諧波成分，與沖擊頻率f=1/0.1=10 Hz一致，已有效提取出信號(hào)中的特征信息。

圖2 仿真信號(hào)基于灰色關(guān)聯(lián)度的形態(tài)濾波分析結(jié)果Fig.2 The results of simulation signal analyzed by morphological filter based on grey relational degree

3 工程應(yīng)用

采用Case Western Reserve大學(xué)SKF 6205－2RS型滾動(dòng)軸承故障信號(hào)，軸承故障利用電火花加工技術(shù)形成局部缺陷，故障直徑0.178mm，深0.279mm。采樣頻率fs=12000 Hz，數(shù)據(jù)長度N=2048。轉(zhuǎn)速 n=1797 r/min時(shí)分別測(cè)得軸承外、內(nèi)圈故障振動(dòng)加速度信號(hào)。據(jù)軸承型號(hào)及轉(zhuǎn)速信號(hào)計(jì)算出外、內(nèi)圈特征頻率分別為107.4 Hz及162.1 Hz，相應(yīng)結(jié)構(gòu)元素最大尺度Ln分別確定為24及15。

利用基于灰色關(guān)聯(lián)度最大法則的形態(tài)濾波方法分析軸承外圈故障信號(hào)，結(jié)果見圖3。其中圖3(a)為外圈振動(dòng)信號(hào)，圖3(b)為頻譜，可見故障特征頻率在頻譜圖中未充分展現(xiàn)。利用不同尺度結(jié)構(gòu)元素對(duì)圖3(a)中信號(hào)進(jìn)行閉－開形態(tài)濾波，并與該信號(hào)進(jìn)行灰色關(guān)聯(lián)分析，獲得各尺度對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)度曲線見圖3(c)。利用圖3(c)最優(yōu)結(jié)構(gòu)元素尺度Lm=9對(duì)信號(hào)進(jìn)行形態(tài)濾波，所得濾后信號(hào)見圖3(d)，可見沖擊特征明顯，沖擊間隔0.00947 s，即沖擊頻率106 Hz，接近外圈特征頻率107.4 Hz。形態(tài)閉－開濾波后信號(hào)頻譜見圖3(e)。與圖3(b)相比，已突出106 Hz及諧波成分，顯示出外圈故障特征。而圖3(f)包絡(luò)譜也清楚顯示出106 Hz及其倍頻成分，與外圈故障頻率107.4 Hz一致，外圈故障特征十分明顯。

圖3 外圈故障基于灰色關(guān)聯(lián)度的形態(tài)濾波分析結(jié)果Fig.3 The results of outer race fault analyzed by morphological filter based on grey relational degree

結(jié)構(gòu)元素長度為外圈故障周期長度0.6倍～0.8倍(取L=67)的分析結(jié)果見圖4(a)、(b)。圖4(a)為形態(tài)濾波后時(shí)域波形，圖4(b)為圖4(a)頻譜圖。顯然圖4(a)已無沖擊特征，故圖4(b)不會(huì)出現(xiàn)故障特征頻率。長度為外圈故障周期長度0.19倍～0.21倍(取L=24)的分析結(jié)果見圖4(c)、(d)。圖4(c)為形態(tài)濾波后時(shí)域波形，圖4(d)為圖4(c)頻譜圖。而圖4(d)出現(xiàn)故障特征頻率及其二倍頻，與圖3(e)結(jié)果相似。長度為信號(hào)基頻周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)的1/12(取L=33)的分析結(jié)果見圖4(e)、(f)。圖4(e)為形態(tài)濾波后時(shí)域波形，圖4(f)為圖4(e)頻譜圖。圖4(f)出現(xiàn)故障特征頻率，但無故障頻率二倍頻成分。

圖4 外圈故障3種形態(tài)濾波器分析結(jié)果Fig.4 The results of outer race fault analyzed by three morphological filters

圖5為軸承內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)利用灰色關(guān)聯(lián)度最大法則的形態(tài)濾波方法分析過程。最優(yōu)結(jié)構(gòu)元素尺度Lm=7，形態(tài)濾波后頻譜及包絡(luò)譜見圖5(e)、5(f)。圖中29 Hz(理論值為29.95 Hz)為轉(zhuǎn)頻成分，突顯的主要譜線為164 Hz，與軸承內(nèi)圈特征頻率162.1 Hz接近。圖中出現(xiàn)以故障頻率為中心的邊頻帶，如130 Hz(130≈162.1 －29.95)及 100 Hz(100≈162.1－2 ×29.95)，因此可推斷軸承內(nèi)圈出現(xiàn)損傷。

圖5 內(nèi)圈故障基于灰色關(guān)聯(lián)度的形態(tài)濾波分析結(jié)果Fig.5 The results of inner race fault analyzed by morphological filter based on grey relational degree

圖6 內(nèi)圈故障的3種形態(tài)濾波器分析結(jié)果Fig.6 The results of inner race fault analyzed by three morphological filters

取L=43對(duì)內(nèi)圈故障信號(hào)進(jìn)行形態(tài)濾波分析結(jié)果見圖6(a)、(b)，可見圖6(b)中未出現(xiàn)故障特征頻率。取L=15的分析結(jié)果見圖6(c)、(d)，可見圖6(d)中故障特征頻率較突出。取L=33的分析結(jié)果見圖6(e)、(f)，頻譜圖中出現(xiàn)故障特征頻率106 Hz，但邊頻帶信息完全消失，調(diào)制成分未呈現(xiàn)。

由以上分析知，文獻(xiàn)［4］的形態(tài)濾波方法未獲得正確結(jié)果，文獻(xiàn)［14］方法雖獲得特征信息，但精度已下降，而文獻(xiàn)［15］方法較接近本文方法，但該方法中尺度是一種范圍，仍待研究。本文方法據(jù)最大關(guān)聯(lián)度確定結(jié)構(gòu)元素尺度，尺度具有唯一性，分析結(jié)果正確，便于應(yīng)用。

4 結(jié)論

(1)形態(tài)濾波借助結(jié)構(gòu)元素獲取信號(hào)特征，結(jié)構(gòu)元素尺度對(duì)濾波質(zhì)量影響較大。形態(tài)濾波應(yīng)用的關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)元素尺度設(shè)計(jì)。灰色關(guān)聯(lián)度可評(píng)價(jià)信號(hào)間的關(guān)聯(lián)程度，即評(píng)價(jià)形態(tài)濾波效果。

(2)利用灰色關(guān)聯(lián)度最大準(zhǔn)則選擇結(jié)構(gòu)元素尺度進(jìn)行形態(tài)濾波法，能有效解決形態(tài)濾波中結(jié)構(gòu)元素尺度難以選擇問題，可提高形態(tài)濾波在一維信號(hào)處理的適應(yīng)能力。

(3)信號(hào)仿真及滾動(dòng)軸承故障診斷實(shí)例結(jié)果表明，故障較明顯時(shí)該方法能有效提高故障診斷準(zhǔn)確性，對(duì)滾動(dòng)軸承故障特征提取具有一定應(yīng)用前景。

［1］Nikolaou N G，Antoniadis I A.Application of morphological operators as envelope extractors for impulsive-type periodic signals［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2003，17(6):1147 －1162.

［2］胡愛軍，唐貴基，安連鎖.基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)降噪方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2006，42(4):127－130.HU Ai-jun， TANG Gui-ji， AN Lian-suo. De-noising technique for vibration signals of rotating machinery based on mathematical morphology filter［J］.Journal of Mechanical Engineering，2006，42(4):127 －130.

［3］Wang Jing，Xu Guang-hua，Zhang Qing，etal.Application of improved morphological filter to the extraction of impulsive attenuation signals［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23:236 －245.

［4］章立軍，楊德斌，徐金梧，等.基于數(shù)學(xué)形態(tài)濾波的齒輪故障特征提取方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2007，43(2):71－75.ZHANG Li-jun，YANG De-bin，XU Jin-wu，et al.Approach to extracting gear fault feature based on mathematical morphological filtering［J］. Journal of Mechanical Engineering，2007，43(2):71 －75.

［5］李豫川，伍星，遲毅林，等.基于形態(tài)濾波和稀疏分量分析的滾動(dòng)軸承故障盲分離［J］.振動(dòng)與沖擊，2011，30(12):170－174.LI Yu-chuan，WU Xing，CHI Yi-lin，et al.Blind separation for rolling bearing faults based on morphological filtering and sparse component analysis［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30(12):170 －174.

［6］胡愛軍，向玲，唐貴基，等.基于數(shù)學(xué)形態(tài)變換的轉(zhuǎn)子故障特征提取方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2011，47(23):92－96.HU Ai-jun，XIANG Ling，TANG Gui-ji，et al.Fault feature extracting method of rotating machinery based on mathematical morphology［J］. Journal of Mechanical Engineering，2011，47(23):92 －96.

［7］沈長青，謝偉達(dá)，朱忠奎，等.基于EEMD和改進(jìn)的形態(tài)濾波方法的軸承故障診斷研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2013，32(2):39－43.SHEN Chang-qing，Peter W.Tse，ZHU Zhong-kui，et al.Rolling element bearing fault diagnosis based on EEMD and improved morphological filtering method［J］.Journal of Vibration and Shock，2013，32(2):39 －43.

［8］沈長青，朱忠奎，孔凡讓，等.形態(tài)學(xué)濾波方法改進(jìn)及其在滾動(dòng)軸承故障特征提取中的應(yīng)用［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2012，25(4):468－472.SHEN Chang-qing，ZHU Zhong-kui，KONG Fan-rang，et al.An improved morphological filtering method and its application in bearing fault feature extraction［J］.Journal of Vibration Engineering，2012，25(4):468 －472.

［9］滕明春，石林鎖，王新軍，等.形態(tài)變換與峭度在軸承故障診斷中的應(yīng)用［J］.軸承，2013(2):44－47.TENG Ming-chun，SHI Lin-suo，WANG Xin-jun，et al.Application of morphological transformation and kurtosis in fault diagnosis for bearings［J］.Bearing，2013(2):44－47.

［10］鄧聚龍.灰色系統(tǒng)理論教程［M］.武漢:華中理工大學(xué)出版社，1990.

［11］沈路，周曉軍，張文斌，等.基于形態(tài)濾波與灰色關(guān)聯(lián)度的滾動(dòng)軸承故障診斷［J］.振動(dòng)與沖擊，2009，28(11):17－20.SHEN Lu，ZHOU Xiao-jun，ZHANG Wen-bin，et al.Fault diagnosis of rolling element bearing based on morphological filter and grey incidence［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28(11):17 －20.

［12］程哲，胡蔦慶，高經(jīng)緯.基于物理模型和修正灰色模型的行星輪系疲勞裂紋故障預(yù)測(cè)方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2011，47(9):78－83.CHENG Zhe，HU Niao-qing，GAO Jing-wei.Prognosis of fatigue crack in planetary gear sets based on physical model and modified gray theory［J］. Journal of Mechanical Engineering，2011，47(9):78 －83.

［13］杜必強(qiáng)，唐貴基，石俊杰.旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)形態(tài)濾波器的設(shè)計(jì)與分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2009，28(9):79－81.DU Bi-qiang， TANG Gui-ji， SHI Jun-jie. Design and analysis of morphological filter for vibration signals of a rotating machinery［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28(9):79 －81.

［14］杜必強(qiáng)，王松嶺，唐貴基.轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)形態(tài)濾波器的設(shè)計(jì)［J］.中國機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2008，6(2):243 －248.DU Bi-qiang，WANG Song-ling，TANG Gui-ji.Morphological filter design for vibration signals from rotor system［J］.Chinese Journal of Construction Machinery，2008，6(2):243－248.

［15］沈路，周曉軍，張文斌，等.形態(tài)解調(diào)在齒輪故障特征提取中的應(yīng)用［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，44(8):1514 －1518.SHEN Lu，ZHOU Xiao-jun，ZHANG Wen-bin，et al.Application of morphological demodulation in gear fault feature extraction［J］.Journal of Zhejiang University，2010，44(8):1514－1518.