基于回傳射線矩陣法成層土中部分埋入黏彈性樁的波動響應研究

余云燕， 姚 棟

蘭州交通大學 土木工程學院，蘭州 730070)

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基于回傳射線矩陣法成層土中部分埋入黏彈性樁的波動響應研究

余云燕， 姚 棟

蘭州交通大學 土木工程學院，蘭州 730070)

基于回傳射線矩陣法獲得樁頂作用半個正弦波脈沖時成層土中部分埋入黏彈性樁樁頂處速度導納，利用Fourier逆變換與卷積定理獲得瞬態半正弦激振力作用下樁頂處時域速度響應。比較均勻地基部分埋入樁受樁身材料阻尼與樁側土體阻尼作用的樁頂速度響應，分析軟(硬)夾層厚度、夾層土土性參數、樁底土土性參數變化對樁頂速度導納及反射波影響。結果表明，樁身材料阻尼對樁頂速度導納及反射信號均有衰減作用，且會使樁底反射波發生彌散現象；樁側、樁底土體剛度變化會使速度導納低頻段曲線產生偏移量；樁側、樁底土體阻尼變化對樁頂速度導納及反射波較二者剛度變化影響更大。

回傳射線矩陣法；成層土；部分埋入黏彈性樁；瞬態波動；速度導納

樁基礎因其優點諸多廣泛用于土木工程領域，樁基檢測成為施工中不可缺少環節。而樁的縱向振動理論為各種樁基動力檢測的理論基礎，開展樁的縱向振動理論研究對進一步弄清動力測樁機理及正確分析測試曲線十分重要。已有諸多對樁的縱向振動理論及求解方法進行深入系統研究且成果頗豐。 Van Koten等[1]采用函數代換及求黎曼函數方法獲得均質土中半無限長均勻截面樁在任意激振力作用下的時域縱向響應。王奎華等[2-4]研究獲得有限長樁、變截面阻抗樁的時域解析解。劉東甲[5]利用分段矩陣相乘法求得不均勻土中多缺陷樁的縱向時域半解析解。馮世進等[6]運用拉普拉斯變換與矩陣理論獲得成層土中樁的振動半解析解。以往研究均針對全埋入樁基，而實際工程中大多樁基部分埋入，如橋梁、碼頭樁基等。因此，尋求新計算方法解決部分埋入樁基縱向振動非常必要。

Howard等[7-8]提出用回傳射線矩陣法分析框架、剛架結構的初期瞬態波動響應。 該方法采用兩組局部坐標系，使射線追蹤過程具有因果關系，使結果更精確；且主要求解過程均在頻域內進行，可精確求得解析解，用Neumann級數展開避免系統矩陣方程求逆中的奇異性問題，無需劃分更多單元即可求出結構動力響應的解析解。余云燕等[9-17]將該方法用于埋置框架的波動響應研究中，土體對樁基作用用彈簧模擬，對脈沖荷載作用下有無缺陷埋置框架的瞬態波動響應進行分析；并對軸向激振力作用下部分埋入完整樁、缺陷樁在均質土、成層土中的波動響應深入系統研究，獲得許多有價值的結論。雖對樁基波動響應研究已有不少文獻，但尚無能綜合考慮部分埋入樁基、土體分層性質及樁身材料阻尼等多種因素對波動響應影響。本文用回傳射線矩陣法研究成層土中部分埋入黏彈性樁樁頂脈沖作用下波動響應，分析土體剪切模量、上覆土層厚度、軟(硬)夾層厚度對樁頂速度導納、反射波影響。

1 問題提出與求解

成層土中部分埋入樁-土計算模型見圖1。基本假定為：① 樁為有限長，樁身材料為黏彈性材料，軸向應變黏性阻尼系數為ηp，樁總長l、橫截面積Ap、密度ρp、彈性模量Ep，下標p表示有關樁的參數。在樁長度、密度、橫截面積及彈性模量不變條件下，據樁身是否埋入土體及土層性質變化情況將樁分為n段，樁頂～樁底各段長度分別為l12，l23，l34，…，ln(n+1)。② 樁身部分埋于成層土中。樁側各土層對樁的作用簡化為線性彈簧κuj及線性阻尼器βuj以并聯方式耦合，下標u表示有關土體參數，j表示第j層土體參數，土層編號自上而下為1，2，…，n-1，各土層厚度分別為l23，l34…，lij…，ln(n+1)(i=2，3，…，n；j=3，4，…，n+1)。③ 樁底土對樁的作用簡化為線性彈簧κt與線性阻尼器βt以并聯方式耦合。④ 樁-土系統振動為小變形。

圖1 部分埋入樁-土計算模型Fig.1 Calculation model of pile-soil embedded partially in soil

所謂黏彈性樁為既有彈性又具有黏性性質，從能量轉換考慮，固體的彈性使外力在彈性體變形過程中所做功全部以彈性勢能方式儲存，而固體的黏性可視為其內部存在的內磨擦力，當固體在外荷載作用下變形時，外力克服磨擦力做功，導致能量在傳遞過程中耗散從而產生波在傳播過程中發生衰減現象。

以樁頂中心為原點對樁建立豎直向下總體坐標系X(圖1)。該樁設n個單元n+1個節點，對每個單元ij引入局部坐標系xi及xj，原點分別為節點i，j。

考慮樁身材料阻尼，局部坐標系下各單元運動方程統一寫為

(1)

式中：u=u(x,t)為樁身質點位移；j=0，1，2，…，n；κu0=0，βu0=0表示地面以上桿件無土體作用。

(2)

對式(2)進行Fourier變換，得

(3)

式中： “^”表示頻域中變量。

求解式(3)可得

(4)

經無量綱化后，頻域中速度、軸力表達式為

(5)

頻域中，對所有節點建立力的平衡、位移協調條件，以節點3為例，有

(6)

將上式整理合并為

d3(ω)=S3(ω)a3(ω)+s3(ω)

a3=[a32,a34]T,d3=[d32,d34]T

以此類推，得各節點局部入射波波幅向量及出射波波幅向量，分別將其組集到總體矩陣a(ω)，d(ω)中，有

d(ω)=S(ω)a(ω)+s(ω)

(7)

式中：a(ω)，d(ω)分別為總體入、出射波波幅向量；S(ω)，s(ω)分別表為總體散射矩陣及總體波源向量。

對任一單元ij，因其兩端各假設局部坐標系，故一端的入射波對另一端則為出射波，故a，d之間存在相位關系，即

a(ω)=PUd(ω)

(8)

式中：P=diag{-e-ik0l12,-e-ik0l21,-e-ik1l23,…,-e-iknln(n+1),-e-iknl(n+1)n}為傳播矩陣；U為置換矩陣。

將式(8)代入式(7)，得

d(ω)=[I-R(ω)]-1s(ω)

(9)

式中：R=SPU為回傳射線矩陣；I為單位矩陣。

將式(9)代入式(8)即可求出a。求出a，d后即可在頻域中求出任一點的任意物理量。如在樁頂單位脈沖作用下(即樁頂激勵f(t)=δ(t)時間函數，且f(ω)=1)的頻域速度響應為

(10)

式中：AV，DV分別為樁的入、出射波速度波相矩陣。

將式(8)、(9)代入式(10)得

(11)

(12)

為消除極點，可將[I-R]-1用Neumann級數方式展開，即

[I-R]-1=I+R+R2+…+RN+…

(13)

將式(13)代入式(12)得

[I+R+R2+…+RN+…]seiωtdω

(14)

式中級數每一項表示波從某一節點向相鄰節點的一次傳播，故實際計算中可只計算級數中所需前面若干項，獲得有限時間內瞬態波的波動響應。

d，a分別由N次多項式dN及N-1次多項式aN-1近似表示[18]為

(15)

式(14)可表述為

(16)

當樁頂輸入半個正弦波激振力f(t)=Qmax(sinπt/Ta),t∈[0,Ta]，其中Qmax，Ta分別為激振力幅值及持續時間，通過卷積定理即獲得樁頂速度波時域響應，即

(17)

2 參數分析

2.1 均質土中樁身材料及樁側阻尼對部分埋入完整單樁樁頂速度導納與反射波影響

圖2 樁身材料、樁側土體阻尼對完整樁頂速度導納影響Fig.2 Damping surrounding the pile or pile damping on velocity admittance at top of perfected pile

圖3 樁身材料、樁側土體阻尼對完整樁頂反射波影響Fig.3 Damping surrounding the pile or pile damping on velocity wave at top of perfected pile

2.2 樁身材料阻尼對三層土地基中部分埋入黏彈性樁樁頂速度導納和反射波的影響

圖4 三層土中部分埋入黏彈性樁-土計算模型Fig.4 Calculation model of viscous-elastic pile-soil embedded partially in three-layered soil

2.3 軟(硬)夾層厚度對三層土地基中部分埋入黏彈性樁頂速度導納及反射波影響

體呈衰減狀。低頻時三條曲線差異較大，說明軟夾層厚度對速度導納值影響較大；而到達高頻后三條曲線漸趨重合，說明樁材阻尼影響逐漸顯現，軟夾層厚度影響變得越不明顯。 由圖8知，隨軟夾層厚度增加，由樁頂首次到達軟夾層頂部(即節點3處)反射波(傳播路徑12321)到達接收點時間越來越早，而軟夾層底部(即節點4處)反射波(傳播路徑1234321)到達接收點時間越遲，4節點處反射信號越強烈經樁底(節點5)的反射波(傳播路徑123454321)信號越強。說明軟夾層厚度增加，樁側介質阻尼較小樁段占樁長比例增大，對樁內反射波能量耗散減弱。當然，樁材阻尼對波形彌散作用及信號強度衰減作用顯而易見。

2.4 樁周土性參數對三層土地基中部分埋入黏彈性樁頂速度導納及反射波影響

2.5 樁底土土性參數對三層土地基中部分埋入黏彈性樁頂速度導納及反射波影響

圖17 樁底土阻尼對黏彈性樁頂速度導納影響Fig.17 Effect of damping at tip of pile on velocity admittance at top of viscous-elastic pile

圖18 樁底土阻尼對黏彈性樁頂反射波影響Fig.18 Effect of damping at tip of pile on velocity wave at top of viscous-elastic pile

3 實例分析

圖19 實測曲線Fig.19 Fitted curve

圖20 理論曲線Fig.20 Measured curve

4 結 論

基于回傳射線矩陣法，研究成層土中部分埋入黏彈性樁頂速度導納及反射波，進一步分析軟(硬)夾層厚度與樁周、樁底土性參數對樁頂時域及頻域速度響應影響，結論如下：

(1) 樁身材料阻尼會使速度導納曲線及樁底反射波發生衰減，并使樁底反射波產生彌散現象；樁側介質阻尼會使速度導納曲線各波峰值驟減而波谷幅值不變，亦會對樁底反射信號強度產生衰減作用，且對樁側介質發生變化處反射波影響較大。

(2) 軟夾層越厚速度導納曲線各波峰值越大，各波谷幅值略微減小，樁底反射波信號亦越強；硬夾層越厚速度導納曲線各波峰值越小，各波谷幅值越大，樁底反射信號強度越弱。

(3) 樁周夾層土剛度越大，速度導納曲線在低頻段向右偏移量越大，而高頻時偏移現象消失；反射波隨無量綱時間增大會出現漸增向下偏移量。樁周夾層土阻尼越大速度導納曲線各波峰值減小，各波谷幅值增大；樁底反射信號強度越弱，而樁底反射波終止點之后的上抬量亦越大，并使土體阻尼變化段層面反射信號向下變化。

(4) 樁底土剛度越大，速度導納曲線在低頻時向右偏移量亦越大，但該偏移現象在高頻時越不明顯；樁底反射信號被扭曲，當樁底土剛度增大到一定程度后，反射波與入射波方向相反，樁底支撐由彈性支撐變為剛性支撐。樁底土阻尼越大樁頂速度導納曲線越平緩，當該值增大到某一值時曲線上各點僅在H(ω)=1處作輕微上下振蕩；樁底土阻尼對反射信號前期幾乎無影響，樁底土阻尼越大樁底反射信號強度越弱。

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Transient wave response of a viscous-elastic pile partially embedded in layered soil based on the method of reverberation-ray matrix

YU Yun-yan, YAO Dong

School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Based on the method of reverberation-ray matrix, the velocity admittance curves of a viscous-elastic pile partially embedded in layered soil, caused by a vertical unit impulse at the top of pile were derived. The time-domain velocity responses of the pile, subjected to a semi-sine impulse at the top, were obtained with the help of the inverse Fourier transform and the convolution theorem. The velocity responses at the top of pile embedded partially in homogeneous soil were compared, considering either the pile material damoing or the soil damping surrounding the pile. The influences of soft(or hard)interlayer thickness, interlayer soil parameters and soil parameters at pile end on the velocity admittance and the reflection wave of pile top were analyzed in detail. The results show that: the pile material damping makes the velocity admittance and reflecting signals of pile top attenuate, and causes the dispersion phenomenon of reflecting wave at the bottom of pile. The changes of soil stiffness surronding pile and at pile end may generate an offset of the low frequency band curves of velocity admittance, while the changes of soil damping surronding pile and at pile end may have a bigger effect on velocity admittance and reflecting wave of pile top.

reverberation-ray matrix method; layered soil; viscous-elastic pile embedded partially in soil; transient wave; velocity admittance

國家自然科學基金資助(51268031)；甘肅省高校基本科研業務費專項基金資助(212098)；甘肅省基礎研究創新群體(145RJIA332)

2014-04-28 修改稿收到日期：2014-07-01

余云燕 女，博士，教授，1968年生

TU473

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.14.011