硬彈簧Duffing隔振系統跳躍性對廣義混沌同步影響分析

樓京俊，張 暉，俞 翔，朱石堅

(1.海軍工程大學 動力工程學院，武漢 430033;2.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033)

針對線譜危害及難以消除情況，樓京俊等［1－5］提出線譜混沌控制方法。利用非線性隔振系統處于混沌狀態時響應功率譜呈連續譜特征，實現減弱或消除特征線譜、提高聲隱身性能目的。線譜混沌化控制方法用于工程實際時，存在如何在隔振系統中實現持續混沌運動難。對此，文獻［2］提出基于廣義混沌同步的線譜控制及附加碰撞子系統的隔振系統混沌化方法。前者利用廣義混沌同步原理，即用外加混沌系統驅動非線性隔振系統某些隔振參數，使系統始終保持混沌運動狀態。過榴曉等［6］研究非線性系統兩類廣義混沌同步的存在性，從理論上嚴格證明該廣義同步化流形的指數吸引性，并用數值仿真證實理論分析結果。Qin等［7］提出通過速度的線性耦合實現原始系統與驅動系統間混沌同步與混沌反同步控制，并理論證明其可行性;針對Duffing系統仿真結果驗證該方法的正確性、有效性。張瑩等［8］研究正弦參激Duffing系統共存的周期與混沌吸引子及在初始平面中心對稱分形吸引域錯綜復雜圖像，定性探索其鄰近發生的對稱破缺激變。Wen［9］提出修正的映射同步方法，實現較大參數范圍內持續混沌化。李盈麗［10］利用廣義混沌化同步原理控制方法，以Lorenz系統族作為驅動信號，調整驅動系統參數使其作混沌運動，通過混沌同步化原理混沌化非線性隔振系統。然而，對最基礎的非線性隔振系統－Duffing系統，因在一定參數區間存在跳躍性，對其進行廣義同步混沌化過程中會產生因初始條件不同，將系統混沌化為小振幅混沌運動或大振幅現象，大、小振幅混沌的隔振效果存在差別較大。俞翔等［11］雖認為廣義混沌同步系統中普遍存在多值性，對耦合Duffing系統混沌化同步時發現系統存在兩個同步混沌吸引子，但未分析多值性與非線性系統跳躍性關系。本文通過分析Duffing系統廣義混沌同步化，實現隔振系統在較寬參數范圍內產生穩定的混沌運動，并研究Duffing系統跳躍性對線譜混沌化控制效果影響。

1 Duffing隔振、驅動系統模型

為用廣義混沌同步線譜控制方法分析如何在隔振系統中實現持續混沌運動，考慮圖1的非線性隔振系統，其運動微分方程為

式中:K1X+K3X3為非線性彈性恢復力。

圖1 非線性隔振系統Fig.1 Nonlinear vibration isolation system

簡化式(1)，得

式中

k3＞0為硬彈簧Duffing方程，k3＜0為軟彈簧Duffing方程。分析中選硬彈簧Duffing系統為研究對象，即

采用參數驅動(parameter－driven scheme)廣義混沌同步控制方法實現系統間混沌同步。選混沌驅動系統為

將 v作為驅動信號，a=0.1，b=9，ω =3.9311，G=2，取初始條件(0，0)時相圖及Poincaré圖見圖2。

圖2 驅動系統的相圖和Poincaré圖Fig.2 Phase diagram and Poincarémap of the drive system

對式(3)的Duffing非線性隔振系統，僅討論驅動非線性隔振系統的線性剛度k1情況。以驅動系統輸出v為驅動信號，式(3)中k1=kv，k為驅動強度。式(3)可改寫為

2 廣義混沌同步化方法及穩定性分析

研究發現，參數取 k1=k3=1，δ=0.1，ω =2 時，f在0.4～2.3范圍內未驅動Duffing系統(3)會因初始條件不同而在大小振幅上跳動，見圖3。由圖3看出，系統在選取不同初始條件時可得兩個不同周期運動。

圖3 方程·x·+0.1·x+x+x3=1cos2t分析Fig.3 Duffing equation in Van del Pol plane

分析系統未受驅動與受驅動時響應振動及功率譜。取式(3)參數為 k1=k3=1，δ=0.1，ω =2，f=1，未用驅動系統時系統會因初始條件不同產生大小兩個振幅的周期運動，其響應相圖、位移功率譜見圖4，其中功率譜圖以1為參考值獲得分貝數(其它功率譜圖均以此參考值為準)。圖4(a)、(b)為小振幅周期運動，(c)、(d)為大振幅周期運動。

圖4 未受驅動時系統響應大小振幅相圖及功率譜圖Fig.4 Phase diagram and power spectrum of the Duffing system in unsynchronized state

圖5 受驅動時系統響應相圖及功率譜圖Fig.5 Phase diagram and power spectrum of the Duffing system in synchronized state

圖5為受驅動后Duffing系統相圖及功率譜圖。由圖5看出，系統受驅動后系統無論在小振幅或大振幅運動中均產生穩定的混沌運動，功率譜亦由線譜變為連續譜。取驅動強度 k=0.08，計算系統(5)的 Lyapunov指數得系統最大Lyapunov指數為－0.04893，故系統(5)為漸近穩定的［12］，見圖6。

圖6 系統Lyapunov指數Fig.6 Lyapunov exponents of the drive system

3 跳躍性與混沌化效果分析

取參數 k1=k3=1，δ=0.1，ω =2，f=1，k=0.08，分析獲得系統受驅動前后周期解吸引域與混沌吸引域見圖7。圖中深色表示被驅動系統產生小振幅的初始條件區域，淺色表示驅動系統產生大振幅混沌運動的初始條件區域。兩者疊加區域表示系統未受驅動時處于小振幅周期運動，混沌同步后變為大振幅混沌運動。

圖7 受驅動前后周期解吸引域與混沌吸引域Fig.7 Small periodic attraction basin in unsynchronized state and chaotic attraction basin in synchronized state

取初始條件(－0.1，－9.5)進行分析，見圖8。系統未受驅動時系統響應為小振幅周期運動;受驅動后系統響應為大振幅混沌運動，見圖9。通過廣義混沌同步化，系統在取圖7中重疊區域初始條件時雖能實現將線譜變為連續譜，但會增加功率譜最大值。此因系統受驅動后，系統從小振幅周期運動轉化為大振幅混沌運動結果。

同理，對系統受驅動前后周期解吸引域與混沌吸引域進行分析，結果見圖10。深色表示被驅動系統產生大振幅運動的初始條件區域，淺色表示被驅動系統產生小振幅混沌運動的初始條件區域。兩者疊加區域為系統未受驅動時處于大振幅周期運動，混沌同步后變為小振幅混沌運動。

圖8 未受驅動時系統響應的相圖及功率譜圖Fig.8 Phase diagram and power spectrum of the Duffing system in unsynchronized state

圖9 受驅動時系統響應相圖及功率譜圖Fig.9 Phase diagram and power spectrum of the Duffing system in synchronized state

選圖10中疊加區域取初始條件(0.1，－3.5)進行分析見圖11。由圖11看出，系統未受驅動時系統響應為大振幅周期運動;受驅動后系統響應為小振幅混沌運動見圖12。通過廣義混沌同步，在取圖10中重疊區域初始條件時系統不僅能實現將線譜變為連續譜，且功率譜亦得到大幅度降低。此為系統受驅動后從大振幅周期運動轉化為小振幅混沌運動結果。

圖10 受驅動前后周期解吸引域與混沌吸引域Fig.10 Large periodic attraction basin in unsynchronized state and chaotic attraction basin in synchronized state

圖11 未受驅動時系統響應的相圖、功率譜圖Fig.11 Phase diagram and power spectrum of the Duffing system in unsynchronized state

綜上分析，硬彈簧Duffing隔振系統在跳躍區間實施廣義混沌同步時，系統可實現在較寬參數范圍內產生穩定混沌運動，并將線譜轉換為連續譜。系統初始條件取(圖10)重疊區域時，系統不僅可產生持續的混沌運動，且功率譜也能大幅降低，但系統初始條件應避開(圖7)重疊區域才能取得較好的混沌化隔振效果。

圖12 受驅動時系統響應的相圖、功率譜圖Fig.12 Phase diagram and power spectrum of the Duffing system in synchronized state

4 結論

通過對硬彈簧Duffing隔振系統進行廣義混沌同步化分析得，① 實現隔振系統在較寬參數范圍內產生穩定的混沌運動;② 發現Duffing系統跳躍性對混沌化隔振效果產生重要影響。在系統產生跳躍區間上內應避開一定初始條件區間才能取得較好隔振效果。

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