人教社三種教材中“圓”的課程內容比較

劉久成，劉久勝

（1．揚州大學 教育科學學院，江蘇 揚州 225002；2．江蘇省高郵中學，江蘇 高郵 225600）

人教社三種教材中“圓”的課程內容比較

劉久成1，劉久勝2

（1．揚州大學 教育科學學院，江蘇 揚州 225002；2．江蘇省高郵中學，江蘇 高郵 225600）

以人教社20世紀80年代、90年代和21世紀初先后出版的3種小學數學教材中“圓”的課程內容為研究對象，從內容廣度、內容呈現和習題水平等進行比較分析．可以看出，3種教材的內容廣度不斷縮小，內容呈現特點明顯、形式多樣，習題水平存在差異．

人教社；小學數學教材；圓；內容廣度；內容呈現；習題水平

改革開放三十多年來，中國小學數學課程教材改革大體上走過了3個發展階段：撥亂反正，重建小學數學課程；構建九年義務教育數學課程體系；以及實施新課程，編寫和實驗新教材．其間，教育部先后頒發了7部教學大綱（課程標準），人民教育出版社先后出版了多套小學數學教材．這里以人民教育出版社20世紀80年代、90年代和21世紀初先后出版的3套小學數學教材中“圓”的課程內容為研究對象，從課程內容廣度、內容呈現和習題水平等進行比較分析．研究不同時期、不同版本的教材，可以了解特定時期教材編寫的基本思想、風格與特點，以期觀照歷史，服務當前，探索未來．

1 內容廣度

內容廣度是指課程內容所涉及的范圍或領域的廣泛程度[1]，通常是以所含知識點的多少來衡量的．考慮到知識點的劃分有粗有細，采用層次分析法將其設計成兩個層次．第一層次為“知識主題”，一般指教材中以小標題出現的相對獨立的小單元；第二層次是知識主題下涉及到的概念、方法、規則等．

課程內容是依據課程性質、課程目標和基本理念作出的規劃，應體現社會需要、數學特點和小學生的認識規律，并在教學大綱（課程標準）中明確概要．這里所選3種教材分別對應于1986、1992、2001年頒發的大綱（標準）．其“圓”的教學要求分別列表如下（見表1）：

表1 3部教學大綱（課程標準）中“圓”的教學要求

3部教學大綱（課程標準）中關于認識圓、畫圓和計算圓的周長與面積的教學要求基本相同，但1986年大綱中扇形的教學要求明顯高于后兩部大綱；1992年大綱特別提出了“數學史”教學的要求，顯示了數學教育的完整性；2001年標準強調了學習方式的轉變，提倡學生動手操作、自主探索來獲取知識．依據上述教學要求，人教社3種教材對“圓”的課程內容進行了設計，經逐層分析，可以看出：

1989年版課程內容包含4個知識主題：圓的認識；圓的周長；圓的面積；扇形面積．涉及的知識點有10個：圓的特征，圓心、半徑、直徑，半徑和直徑的關系，畫圓，圓的對稱性；圓周率，圓的周長公式；圓的面積公式；弧、圓心角、扇形，扇形的面積公式．

1997年版課程內容包含4個知識主題：圓的認識；圓的周長和面積；*扇形；軸對稱圖形．涉及的知識點有11個：圓的特征，圓心、半徑、直徑，半徑和直徑的關系，畫圓；圓的周長，圓周率，圓的周長公式；圓的面積，圓的面積公式；*弧、圓心角、扇形；軸對稱圖形、對稱軸．這里加*號的內容為選學．

2009年版課程內容也包含4個知識主題：圓的認識；圓的周長；圓的面積；實踐活動（確定起跑線）．涉及的知識點有8個：圓的特征，圓心、半徑、直徑，半徑和直徑的關系，用圓規畫圓，圓的對稱性；圓周率，圓的周長公式；圓的面積公式．

比較3種教材的知識廣度可以發現，它們都包含有4個知識主題，并且，圓的認識、圓的周長和圓的面積是最基本的內容，相對穩定，而“扇形”的教學要求逐步降低，由必學內容改為選學內容，再到列為課外閱讀材料，地位不斷下降，份量也在減少．1989年版不僅包含扇形的認識，還要求“掌握扇形的面積計算公式”；1997年版已將扇形作為選學內容，并且只要求“認識扇形”，不要求計算扇形的面積；此時，將“軸對稱圖形”作為“圓”課程內容的一個獨立部分，不是十分妥當，應當單獨列為一個單元．2009年版沒有提出扇形的學習要求，只在閱讀材料“你知道嗎”中介紹了“扇形”、“圓心角”概念，增加了實踐活動的內容，強調了知識的應用，但沒有增加新知識點．因此，3種版本中“圓”的內容廣度是逐漸變小的．1986年大綱明確提出了“圓”的教學時間，此后的大綱（標準）雖沒有明確給出教學時間，但依據大綱和教學參考資料的說明，是可以大致確定的，3種教材中“圓”的教學時間依次約為10、9、8課時．教學時間的減少，一定程度上顯示了課程內容廣度在縮小．（當然，也可能表現為課程的深度變淺，后面的分析說明并非如此．）

2 內容呈現

“數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、基本線索和知識結構，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源．”[4]教材的知識主題和知識點確定以后，如何組織內容，以什么樣形式表達內容，影響教材的風格與特色，關系到教師如何教與學生如何學．

教材內容的呈現主要指數學知識結構的外部表征，包括情境設計、表達形式、內容表述的思維形式等．情境設計大致可分為生活情境、實踐操作、科學實驗3種情形，并且后者相對于前者需要更高的理解水平；表達形式可分為圖表、圖文結合（包括文字為主圖形為輔、圖形為主文字為輔）、文字符號．心理學研究表明，個體對問題的表征會受到所呈現的文本、符號、內容、圖片等外部特征的影響，有一定的視覺提示的問題呈現方式在不同程度上促進小學生數學問題解決能力的提高[5]．內容表述的思維形式主要表現為關于概念、命題、規則等內容的表達是以直觀操作的形象思維為主，還是以歸納或演繹等抽象思維為主的形式．顯然，直觀操作形象具體，適合以形象思維為主的小學生的學習特點；歸納是由特殊到一般的思維形式，主要適用于在層次上高于原認知結構中已有知識的學習，具有一定的概括性；演繹更多地應用于與已學知識有緊密聯系的下位知識學習，是由一般到特殊的思維形式，與歸納的思維方向相反，后者往往需要學生有更高的抽象思維水平和推理能力．通過對3種教材中“圓”的課程內容的具體分析，可以看出，它們在情境設計、表達形式、思維形式方面的共性和差異，并具有多樣性特點．

表2 3種教材中“圓”的課程內容的呈現情況

關于情境設計．3種教材中“圓的認識”、“圓的周長”和“圓的面積”都注意到通過適當的情境引入新知，其中“圓的認識”均注意從生活情境入手，通過讓學生說說我們生活周圍的物體上哪里有圓，使學生感受圓的基本特征，并通過畫、剪、折等操作活動，加深對圓的特征的理解．相比較而言，2009年版教材中的情境設計生活氣息更濃、內容更豐富，為了認識圓，教材首先出示街心廣場主題圖，引導學生觀察并思考“哪些物體是圓形的？”“車輪為什么都是圓形的？”來激發學生的學習熱情和探索欲望，進而引入本單元學習．“學生的數學學習過程是學生體驗數學的過程，學生的數學體驗需要經過活動才能得以實現．”[6]3種版本教材關于“圓的周長”和“圓的面積”的情境設計都采用了操作實驗，這對學生感受科學研究的方法，培養實事求是的科學態度非常重要．2009年版教材在注重操作實驗的同時，加強了數學與生活的聯系，通過創設生活情境，把公式的探索、規律的獲得，看作是解決生活中問題的一部分，更具特色．

關于表達形式．前兩種版本教材的表達形式均以文字為主，圖形為輔，內容簡潔明快，但不易引起學生的閱讀興趣．其中1997年版教材，除了用陳述性語言表述活動過程和結果，還設計了一些啟發性問題引發學生思考，這一變化表明教材對教學方法運用的引導．2009年版則以主題圖+問題的形式引入新課，形象生動，寓新知識學習于解決問題之中，具有一定的啟發引導性和實踐應用性，一些圖形代之以照片，更具真實感．事實上，六年級學生對于“圓”并不陌生，可以用“我們日常見到的物體中哪里有圓”作為“圓”的概念的引入．若用“圓形物體”作為從事例抽象為數學概念的中間環節，強調“哪些物體是圓形的”或直接提出“圓形物體”的概念，會使某些學生產生困惑：球是不是圓形物體？玻璃杯是不是圓形物體？從而導致認識上的混亂．數學教育是數學文化的教育，而數學史是數學文化的組成部分，“數學史融入數學課程有助于學生認識數學、理解數學并感受數學文化．”[7]1989年版教材中以腳注的形式簡要介紹了中國數學家祖沖之對計算圓周率的貢獻，后兩種教材均以閱讀材料式較具體地介紹了中國史書關于圓周率的記載，顯然后者表明了對數學史融入數學課程的重視．

關于內容表述所反映的思維形式．小學生學習心理研究表明，學生的數學學習一般要經過直觀——抽象概括——記憶、具體化等過程．3種版本教材將直觀操作——實驗歸納——演繹推理相結合，有利于學生理解概念，掌握規則和方法．由于1997年版教材降低了“扇形”的教學要求，因而舍棄了扇形面積定量刻畫的推理要求，不過1997年版教材，比較注重利用舊知，通過類比思維引進新知．比如，通過回想長方形、正方形的周長，類比得到圓的周長概念；不僅如此，教材同時給出了圓的面積概念，這與前后兩種教材相比更加突出了知識的系統性和邏輯性．2009年版教材特別注重問題情境創設，引導學生在豐富的活動中，提出問題、解決問題、探索規律．

3 習題水平

習題水平是指課本中習題的難易程度．參照美國教育心理學家B·S·布盧姆掌握學習理論關于學習水平的劃分，結合研究，將習題水平由低到高分成五級：識記——記住學習過的材料，包括知識、技能、方法的再現或再認；領會——弄清學習材料的由來及主要特征等．它可以表現為將學習材料從一種形式轉換成另一種形式，可以表現為解釋學習材料或對學習材料作出簡單判斷；運用——將學習過的材料運用于新的情境，解決一些簡單問題，比起“領會”有更高的理解水平；復雜運用——將學習過的多種材料綜合用于新的情景解決一些較復雜的問題；創見——在某個問題的某些環節上靈活運用已學過的材料，突破常規的思維模式，提出獨到的見解或解題方法[8]．這里將五級學習水平依次賦予權重1、2、3、4、5，按知識主題統計出各類題的數量并算出加權平均水平，以及主題平均水平．

表3 3種教材中“圓”的習題水平量化統計表

習題水平量化后可以發現，3種版本教材中習題總量比較接近，在40—44題之間，但總體平均水平存在一些差異，1997年版為最淺（3.15），2009年版為最深（3.58）．這一點與研究者對現行新課標實驗教材內容總體偏淺的看法并不一致．事實上，總體偏淺不代表各知識領域的內容都偏淺，相反是可以出現某些知識領域的內容有加深的情況，看來“圓”就屬于這種情況．

知識主題中“圓的認識”的加權平均水平在三級左右（2.67—3.00），比起“圓的周長”和“圓的面積”的平均水平要低．這是因為圓的周長和面積公式有廣泛應用，解決一些稍復雜的實際問題時還需要運用其變式；“扇形”的加權平均水平在3種教材中逐步降低，并且沒有列入2009年教材的知識點，而僅作為閱讀材料；由此說明，教材的內容廣度與習題水平的深淺是兩個不同的概念，并且為了保持課程難易的平衡常常會形成“寬而淺”或“窄而深”的課程模式．

由表3可以得出3種教材中，一、二級水平（識記、領會）的習題分別約占7.5%，9.1%，11.4%；三級水平（運用）的習題分別約占47.5%，43.2%，36.4%；四級水平（復雜運用）的習題分別約占40%，40.9%，47.7%；五級水平（創見）的習題分別約占5%，6.8%，4.5%；．顯然，一、二級水平的習題相對較少，三、四水平的習題占有很大比重，是教材中習題的主體部分．習題水平的高低，反映了課程的深淺．2009年版高水平習題（四、五級）所占比重是52.2%，為最大．這也是其習題水平深于前兩個版本的原因所在．

4 結論與討論

（1）小學數學“圓”的課程內容的設計，反映了不同時期的課程改革理念．20世紀80年代初，在強調“切實打好數學基礎”、“扎扎實實地學好數學”的精神指引下，注重精選傳統的算術內容，適當增加代數、幾何的部分內容，以及知識的系統性，因而關于“圓”的內容設計相對較為完整．在隨后逐步實施義務教育的過程中，提出“教學內容要適當，注意留有余地，增加靈活性，”處理好“共同要求與因材施教”的關系等，使課程保持一定的彈性和選擇性，“扇形”被確定為選學內容．始于21世紀初的課程改革，強調“義務教育階段的數學課程應突出體現基礎性、普及性和發展性”，強調數學應用和“自主、合作、探究”的學習方式，課程內容發生了重大變化．如圖形與幾何的學習領域得到了拓廣，注重幾何直觀；增加了“圖形的運動”、“圖形與位置”的內容，密切了數學與生活的聯系；削減了單純周長面積、體積的計算；變換思想、坐標思想以直觀的形式成為小學數學內容等．在2001年的調整中，刪除了“扇形”，“課程標準（2011年版）”又將“扇形”重新列入課程內容．這樣調整勢必有利于扇形統計圖的學習，增強知識的連貫性、系統性．

美籍華人學者馬立平撰文指出：20世紀末中國的小學數學內容結構是“核心學科型”．即以一個自成一統的完整學科貫穿始終，這個完整的學科是“小學算術”．而美國的“NCTM標準”中的小學數學內容結構是“條目并列型”的，即沒有一個完整的學科，所有的條目齊頭并進，共同從頭到尾貫穿小學數學教學．這種“條目并列型”的結構導致了小學數學“內容的不穩定、教學的不連貫、概念的不統一”[9]．華人學者的疑慮，應當引起人們的思考：當前中國進行的課程改革，改變了傳統的內容結構，以四大學習領域齊頭并進的方式設計課程內容，會不會重蹈美國的覆轍，一步一步地走向不穩定、不連貫、不統一的境地呢？

（2）教材中課程內容的呈現主要采用文字結合圖形的表述方式．1997年版與1989年版雖相隔近十年，但在內容呈現方式上比較相似，繼承較多．1997年版更加注重內容的系統性和語言表述的準確性，如在引進“圓”的概念時，讓學生說一說“周圍的物體上哪里有圓”，而不是讓學生“找圓形物體”，以免混淆圓與球的概念；同時，聯系已有知識運用類比的方法說明圓的周長和面積的含義．清晰的概念是進一步學習的必要基礎，刻意回避對一些概念的定義是否影響到學生的可持續發展呢？

幫助學生理解概念、習得技能和解決問題是數學教學的基本任務，培養學生探索問題、解決問題的能力是數學教學的重要目標．教材內容以什么樣的方式組織和呈現，有利于上述目標的實現？2009年版教材作了有益的嘗試．通過創設情境或圍繞某個問題，引導學生觀察事物、分析數學事實，提出有意義的數學問題，運用提示語，啟發學生合作、探究，減少沉長的語言敘述，便于學生自學，讓“教材”更多地表現為“學材”．然而，需要注意的是，數學本身的學科特征使其某種程度上具有脫離情境的特征，倘若一味強調通過創設情境—提出問題—實際操作—概括、表征—定義、符號等表述教材內容，會陷入某種僵化模式，不利于學生對數學本質的把握[10]．同時，需要處理好不同情境類型的比例，特別是生活情境與數學學科自身的情境．過多的生活情境可能出現“去數學化”傾向，數學自身的情境過多也會出現“去生活化”傾向[11]．要處理好“數學與日常生活的聯系”與“數學的形式特性”之間的辯證統一．

插圖可以促進學生對文本的理解．需要注意的是，對于五、六年級學生而言，他們的思維發展在直觀的水平上要及時抽象，幾何直觀是一種手段而非目的．插圖的使用可以加強文本的結構，促進學生對文本背景的理解，但不宜追求外觀的華麗、過多的數量和篇幅，否則會分散學生的注意力，使得學生的關注點不是在數學關系上，而在圖表的外觀上．運用表格形式表達課程內容，有助于培養學生獲取信息的能力以及數據的整理和分析能力，教材中可適當安排．過去教材使用單色版印刷，后改為雙色版，比較單調，不利于調動學生學習興趣和對教材的喜愛之情．現行教材的印刷技術明顯提高，都采用了彩色膠印．現行實驗教材的思想性、科學性、可讀性、實踐性明顯加強．但也應當注意，“不能因強調可讀性而忽視數學的學科性，不能因強調聯系生活實際而忽視知識的系統性，不能因強調體驗、感悟而忽視基本概念、方法的抽象概括”[12]．

（3）研究發現，教材中的習題水平基本集中在第三、四級水平上，較低水平和高水平的習題極少，缺乏一定的梯度．針對不同知識點，不同水平層次的習題宜采取適當的比例，高水平習題的設計應依據課程目標和內容標準確定．從現有的3種教材來看，概念題配備比較少，1989年版教材中的應用題題材偏重于工農業生產，缺乏聯系學生生活實際、為學生喜聞樂見的內容，不過在后兩種教材中有了明顯改變．

強調數學的應用是重要的，但要根據生活世界和學生成長的需要，科學利用和適度引進．強調數學應用，是要培養一種應用數學知識的意識和欲望，使數學融入人的整體素質，成為世界觀的一部分[13]．數學源于生活，那是從整體而言，決不是每一節課、每一個知識點的教學都要從生活中引出，再回歸“生活世界”．數學學習重要的是深入數學內容，要從“日常生活經驗”向“數學知識”轉變，從“操作性認識”向“結構性認識”轉變，揭示數學本質，探索數學規律，發展數學思維．通常進行畫一畫、折一折、量一量、擺一擺等操作活動需要經過“動腦”轉向活動的內化，否則，怎能發揮數學在培養人的理性思維中獨特的作用呢？

[1] 孔凡哲，史寧中．四邊形課程難度的定量分析比較[J]．數學教育學報，2006，15（1）：11-15．

[2] 課程教材研究所．20世紀中國中小學課程標準·教學大綱匯編（數學卷）[M]．北京：人民教育出版社，2001．

[3] 教育部．義務教育數學課程標準（實驗稿）[M]．北京：北京師范大學出版社，2001．

[4] 教育部．義務教育數學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[5] 游旭群．小學生數學應用題解題水平影響因素的研究[J]．心理科學，2006，（4）：868-873．

[6] 于波．基于學生發展的教科書編寫與使用[J]．數學教育學報，2013，22（1）：77-79．

[7] 朱哲．基于“數學史融入數學課程”的教科書編寫[J]．數學教育學報，2013，22（5）：9-13．

[8] 劉久成．對掌握學習理論的實踐與思考[J]．天津教科院學報，1995，（1）：23-26．

[9] 馬立平．美國小學數學內容結構之批判[J]．數學教育學報，2012，21（4）：1-15．

[10] 蒲淑萍．“中國美國新加坡”小學數學教材中的“分數定義”[J]．數學教育學報，2013，22（4）：21-24．

[11] 李卓，于波．小學數學教材中情境的類型及作用與原則[J]．數學教育學報，2012，21（3）：72-74．

[12] 劉久成．小學數學教材內容和結構改革六十年[J]．課程·教材·教法，2012，（1）：70-76．

[13] 張奠宙．數學教育的“中國道路”[M]．上海：上海教育出版社，2013．

Courses’ Comparison of “Circle” in Three Kinds of PEP Textbooks

LIU Jiu-cheng1, LIU Jiu-sheng2
(1. Institute of Education & Science, Yangzhou University, Jiangsu Yangzhou 225002, China; 2. Gaoyou Middle School of Jiangsu Province, Jiangsu Gaoyou 225600, China)

By studying courses of “circle” in three kinds of PEP primary school mathematics textbooks published in 1980s’, 1990s’ and beginning of this century, analyzing in scope & forms of content, difficulty of exercises, we can draw conclusion that the courses of “circle” in these three textbooks have smaller scope, more evident features & various forms of content and have differences in exercises difficulty.

PEP; primary school mathematics textbook; circle; content scope; content form; exercise difficulty

G423.3

：A

：1004–9894（2015）02–0046–04

[責任編校：周學智]

2014–11–08

全國教育科學“十二五”規劃專項課題——建國以來中國小學數學課程發展研究（GIA117014）；揚州大學教學改革重點研究課題——“小學數學課程與教學”課程的改革探索

劉久成（1960—），男，江蘇高郵人，教授、碩士生導師，江蘇省特級教師，主要從事數學課程與教學論研究．