美國CM數學教材統計內容編寫特點及其啟示

王建波

（1．北京師范大學 數學科學學院，北京 100875；2．北京師范大學 出版集團，北京 100875）

美國CM數學教材統計內容編寫特點及其啟示

王建波1，2

（1．北京師范大學 數學科學學院，北京 100875；2．北京師范大學 出版集團，北京 100875）

美國初中3年，分別是6、7、8年級．由培生出版集團（Pearson）2009年出版的Connected Mathematics 2在美國有廣泛的影響，統計內容的設計非常有特色．研究該教材統計內容的設置及呈現方式，分析統計內容的編寫特點，得到如下啟示：適當增加統計內容的比重；注重探究；突出核心概念與方法；體會數據的隨機性；重視聯系及應用．

美國；數學教材；統計內容；編寫特點；啟示

統計內容在中國數學課程中受到越來越高的重視．教育部2001年正式頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》將“統計與概率”作為4個內容領域之一，列入中國義務教育階段各學段的數學課程[1]．《義務教育數學課程標準（2011年版）》進一步將“數據分析觀念”作為數學課程的重要目標之一，明確數據分析是統計的核心[2]．很多國家都將統計內容列為初中數學課程的重要組成部分[3]．

由培生出版集團（Pearson）2009年出版的Connected Mathematics 2教材（以下簡稱CM教材）包括3冊：Connected Mathematics 2（Grade Six，Seven，Eight），供6，7，8年級使用．CM教材是由美國國家科學基金提供資金支持、CMP項目組開發的面向中學教師和學生的數學教材．CM教材統計內容的設計非常有特色，內容設置、呈現方式及統計內容的編寫等方面很值得中國教育工作者進行思考和借鑒．

1 CM教材統計內容設置及呈現方式

1.1 內容設置

CM教材的統計內容共有3章、11節（探究），主要包括以下幾個方面的內容：統計圖（線圖、條形圖、莖葉圖、坐標圖、直方圖、盒式圖、散點圖）；統計量（平均數、中位數、眾數、極差）；抽樣（樣本、總體、抽樣方法）；數據的分布；有關聯的兩個變量等．CM教材的統計內容涉及面比較廣，具體章節內容的設置見表1．

表1 CM教材統計內容設置

分別從CM教材統計內容包含的章數、節數以及頁碼數3個方面進行統計，并計算其所占教材的比重情況，得到的結果見表2．

從表2可以看出：CM教材統計內容包含的章數、節數以及頁碼數分別為3章、11節（探究）、277頁，占全書的比重分別為12.5%，10.68%，12.99%．

表2 CM教材統計內容所占比重

1.2 呈現方式

CM教材統計內容的欄目設置和教材體例很有特色，具體呈現方式見表3．

表3 CM教材統計內容呈現方式

從表3可以看出：CM教材統計內容按照章節順序呈現相關內容，章前設置主題圖、章引言、學習目標及學習指引，章內設置若干節（探究）內容，章末設置回顧與展望、復習題及相關詞匯解釋．部分章內還設置有章“課題”，讓學生經歷完整的統計活動過程．

節（探究）內容是CM教材的核心部分，教材通過“探究”展開相關統計內容的學習，每個“探究”一般都會先提出問題或任務，引發學生進行思考，“探究”里面再分成若干小節（小探究）內容，每個小節都以實際問題為背景引出要學習的相關內容，并通過“問題準備”、“問題”等欄目的設計，讓學生在回答問題的過程中掌握相關的統計知識和方法．每個探究內容的最后都有節習題和數學反思：習題分成“應用”、“聯系”、“拓廣”3個層次；數學反思則是以問題的方式幫助學生梳理本節所學習的內容，通過思考并與同學、老師的討論建立自己對本節內容的學習總結．

2 CM教材統計內容編寫特點

2.1 以探究為主線

20世紀80年代，數學菲爾茲獎獲得者托姆曾針對當時中學數學學習的現狀大聲疾呼：數學的學習主要應是一個自發探究的過程，如果認為只需大量的生記強練，就會更容易地學到數學，那無論如何是一個可悲的錯誤[4]．而要使學生逐步建立統計觀念，最有效的方法是讓他們真正投入到統計活動中[5]．CM教材突出探究的重要性，以探究作為主線，將統計內容的學習融入到學生參與、思考的統計活動過程中．

以7年級“數據分布”一章為例，教材共包括4個探究：“探究1 理解變異性”、“探究2 理解集中趨勢”、“探究3 比較分布：同等數量的數據值”、“探究4 比較分布：不等數量的數據值”，分別從描述變異性、集中趨勢、比較數據分布等方面讓學生初步理解數據分布的刻畫和比較．每個“探究”里面再分成若干個小探究，如“探究1”分成“1.1 分類數據的變異性”、“1.2 計數數值的變異性”、“1.3 測量數值的變異性”、“1.4 兩種類型的變異性”4個小探究活動，讓學生從不同類型的數據分別探究和表示數據的變異性．每個小探究活動中，教材一般會先提出一個實際問題，讓學生進行自主探究和思考，并在解決問題的過程中學習統計的相關內容．如“1.3 測量數值的變異性”，教材在提出“班級需要定制合適尺寸的棒球帽”這一實際問題后，設計了A，B，C三個任務：任務A讓學生分別測量選定的一個男生、一個女生和自己頭的尺寸；任務B要求將全班測量的尺寸分別進行匯總，并用線圖將其表示出來；任務C則設置了8個小問題，對任務B中得到的3個線圖分別進行探究，8個問題從數據的最大最小值、極差、異常值、聚集和間隙情況、選擇典型尺寸等方面層層遞進，最后讓學生描述數據的變異性．學生在自主探究的過程中解決了實際問題，并逐步加深了對測量數值變異性的理解．

2.2 通過比較強調統計圖的異同

統計圖表是整理和描述數據的有力工具，它的作用是從數據中獲取信息．CM教材中涉及的統計圖主要包括線圖、條形圖、莖葉圖、坐標圖、直方圖、盒式圖、散點圖等．雖然教材中出現的統計圖種類較多，但教材并不是把每一種統計圖孤立割裂開分別進行學習，而是通過對統計圖的比較強調不同統計圖之間的相同與不同之處．例如，在線圖和條形圖的學習過程中，教材提出了以下問題：（1）分別用線圖和條形圖描述Ms. Jee班級學生名字的長度，你發現了什么？（2）兩個圖有什么相同與不同之處？（3）用每種圖如何能得到全部名字的字母總數？類似這樣比較的處理方式貫穿統計圖學習的始終，如垂直條形圖和水平條形圖、背靠背莖葉圖（兩個莖葉圖）、線圖和直方圖、同一刻度下兩個盒式圖等．通過對不同統計圖的比較，學生不僅學會了各種統計圖的概念、如何制作統計圖，而且更容易理解不同統計圖的適用條件和范圍，同時有助于他們在具體情境中選擇合適的統計圖解決實際問題．

2.3 從多個角度理解統計量的意義

統計量是將多個數據“加工”為一個數值，使這個數值能夠反映這組數據的某些重要的整體特征．CM教材涉及的統計量分為數據的集中趨勢和數據變異性兩個方面，主要包括平均數、中位數、眾數和極差．教材非常注重學生對統計量本身意義的理解，以平均數為例，在6年級的“探究3平均是什么意思？”中，通過“3.1尋找平均數”“3.2 具有相同平均數的數據”“3.3 使用平均數”3個小探究活動，讓學生從擺放立方塊開始初步體會平均的涵義（每堆立方塊都同樣高），然后利用線圖理解平均，進而得出一組數據的平均數的計算方法：所有數據值的總和除以這組數據的個數．在7年級的“探究2 理解集中趨勢”中，教材通過“2.1平均數作為均分”、“2.2平均數作為分布的平衡點”兩個小探究活動，分別從數值均分和數據分布的平衡點兩個方面進一步理解平均的涵義，同時還將對平均數的理解與條形圖和線圖聯系在一起（見圖1和圖2），從“數”和“形”兩個角度幫助學生建立起對平均數的不斷深入認識．CM教材螺旋上升的設計有助于加深學生對平均數意義的理解．

圖1 在條形圖中理解平均數

圖2 在線圖中理解平均數

2.4 以分布為線索整體把握數據

在生活、工作和學習中處處都有大量的數據，但數據并不等于信息，真正有用的信息是隱藏在這些數據之后的關于數據的整體特征的描述及對其發展趨勢的預測[6]．分布即用于描述數據的整體特征，一旦明確了數據的分布，也就對數據的規律有了全面把握．CM教材多處出現了分布的概念，并以分布為線索引導學生整體把握數據．6年級通過線圖、條形圖、中位數、眾數、極差、莖葉圖等描述、比較數據之間的分布．7年級探究數據的變異性、集中趨勢與分布形狀之間的關系，并進行了同等或不等數據值之間數據分布的比較．8年級進一步借助直方圖與盒式圖進行數據分布的比較，并且明確了描述數據分布的方法：讀取數據本身的信息，確定每個數據值及數據的最小值、最大值、極差；讀取數據之間的信息，確定數據聚集的區間或數據之間的間隙；讀取數據之外的信息，描述分布的形狀，確定統計量，如平均數和中位數，并與分布的形狀相聯系．CM教材把數據分布作為一個重要的概念和統計內容展開的線索，將對分布的理解滲透到相關統計圖表、統計量和數據比較的學習之中，通過對數據分布的不斷探究和深入理解，促進學生從整體上把握數據的特征．

2.5 明確抽樣方法及用樣本估計總體的思想

CM教材在8年級“探究2 從總體中選擇樣本”中介紹了有關抽樣的內容，通過實際案例給出了總體、樣本、抽樣的概念，明確“抽樣計劃（sampling plan）”是“從總體中選擇樣本的一種策略”，呈現了方便抽樣、系統抽樣、自愿響應抽樣和隨機抽樣4種具體抽樣方法，并重點討論了隨機樣本的選擇和樣本大小的選擇．在接下來的“探究3 解決現實問題”中，教材給出了兩個探究活動：一是考古學家在兩處新地址挖掘出土得到了箭頭的數據，借助其它4處已知年代的遺址和各處挖掘得到的箭頭數據信息，估計兩處新地址的年代；二是通過模擬餅干制作時巧克力豆的添加過程，得出為確保一打（12塊）餅干中每塊上面至少有5顆巧克力豆，總共需要多少顆巧克力豆．通過解決現實生活中的這兩個實際問題，讓學生會用隨機抽樣的基本方法，并體會用樣本估計總體的思想．

3 進一步研究及啟示

3.1 適當增加統計內容的比重并加強內容的層次性

從表2可道，CM教材統計內容包含的頁碼數占全書的比重12.99%．研究中國的北師大版、人教版初中數學教材，可以得到統計內容分別為2章、8節，2章、6節，統計內容頁碼數占全書的比重分別為6.89%，6.41%．通過比較容易看出，CM教材統計內容占全書的比重明顯高于中國兩個版本教材．對中英美3個國家數學課程標準中內容分布的比較研究顯示，美國和中國“統計與概率”內容在初中數學課程內容中所占的百分比分別為20.99%和7.33%[7]，這與中美兩國初中數學教材中統計內容所占百分比的差異是相符的．關于統計與概率教學內容的研究表明，雖然一些教材的編排達到要求，但還是有一些問題，如內容編排的層次、梯度不夠清晰[8]．因此，建議適當增加中國初中數學課程中統計內容的比重，引入CM教材中的數據分布、莖葉圖、盒式圖等內容，并進一步加強統計內容的層次性，使學生在初中階段有機會了解更多的統計知識和統計方法，且更符合學生的認知結構與學習規律．

3.2 注重探究并經歷統計活動的過程

數學探究作為培養學生自主學習、探究能力的重要途徑，已經成為最受關注的數學學習方式之一．數學探究學習的開展應立足于過程知識的獲取，而不是一味地追求結果知識的掌握[9]．中國初中數學教材統計部分的探究主要是在統計內容的學習過程中，結合具體的欄目設計（做一做、實驗與探究等）或活動設置（綜合與實踐、課題學習、數學活動等）進行的，簡單地說是以知識方法為主、探究為輔，是在知識方法的學習過程中進行適當的探究．CM教材則是將探究作為主線，把統計內容的學習蘊含在探究活動之中，讓學生在探究中感受統計知識發生發展的過程．此外，教材設置的與“探究”并行的章“課題”，同樣也是采用探究的方式，引導學生經歷完整的統計活動過程，且對學生探究水平的要求相對比較高，可以看成是對正文探究內容的有益補充．比如6年級的課題“有誰是典型的嗎”，圍繞初中生的一些典型特征進行問題設計，讓學生自主經歷收集數據、整理數據、分析數據、做出推斷等過程，并以制作海報、撰寫報告等方式展示各自的結論．

在統計教學中，設計有效的統計活動，使學生經歷完整的統計過程，包括收集數據、整理數據、展示數據、從數據中提取信息，并利用這些信息說明問題．學生在這樣的過程中，不斷積累統計活動經驗，加深理解統計思想與方法[2]．因此，建議中國教材更加注重探究，讓學生經歷統計活動的過程，可以借鑒CM教材的處理方式，將統計活動的開展和統計內容的學習進行更有效的整合，使過程知識的獲取和結果知識的掌握相互促進，讓學生在統計活動的過程中更好地掌握統計的知識方法，理解統計的基本思想．

3.3 突出核心概念并把握數據分析的方法

美國《共同核心數學課程標準》著重強調“突出重點（focused）”和“注重連貫（coherent）”兩個核心思想[10]．初中階段統計學習的重要內容之一即是對數據的分布進行概括和推斷．而分布同時又是一個很復雜的概念，具有許多不同的特征和理解的層次，與統計圖表和統計量等內容有著密切的聯系．中國教材對分布內容的處理相對比較弱化，初中階段只是在頻數直方圖的學習中提到了頻數分布的概念，分布的正式出現要到高中階段．CM教材則將分布這一核心概念作為學習的重點，將其貫穿統計學習的始終，重視分布與統計圖表和統計量等內容的聯系，有助于學生發現數據的整體特征，并把握數據分析的方法．

對于統計圖表和統計量等數據分析方法，中國教材主要定位于數據的整理、描述和分析，關注的重點是：不同數據分析方法的特點、能提供什么樣的信息、哪一種方法提供的信息更清晰有效，不同方法的優缺點和適用范圍，等等，并沒有將它們與數據的整體特征即分布建立必要的聯系．這也導致初中階段的統計教學經常出現下面的問題：學生總是把數據看作是離散的一列數，而不是一個具有共同性質的整體．因此，建議中國教材在有關統計圖表和統計量等內容的處理上借鑒CM教材的做法，處處滲透相關內容與分布的聯系，如7年級將平均數理解為分布的平衡點，體現了分布、平均數和線圖之間的內在聯系；8年級借助盒式圖分別描述普通花生醬和天然花生醬的質量等級圖并比較它們的分布，體現了分布與盒式圖的聯系．在此過程中，學生不僅能更好地把握數據分析的方法，而且加深了對分布這一核心概念的理解．

3.4 通過抽樣體會數據的隨機性

數據隨機性的內涵主要包括以下兩個方面：第一是不確定性，第二是足夠數據蘊含的規律性[11]．CM教材的設計不僅讓學生掌握了抽樣的必要性、抽樣的方法、樣本量的大小等內容，而且還讓學生通過抽樣初步體會了數據的隨機性．數據隨機性主要體現在以下方面：測量、概率實驗和抽樣．統計內容中主要研究抽樣的隨機性，即樣本信息與總體信息之間存在的差異、來自同一總體的幾個樣本信息之間的差異、以及樣本中個體之間存在的差異[12]．假設每一次抽樣獲得的數據都來源于同一個總體，在每一次抽樣之前，人們不可能知道會得到什么，但是當抽樣次數多了的時候，就能估計出現某種情況的可能性有多大，如果對每一種情況出現的可能性大小都了解的話，就等于對這個總體的事情了如指掌．

例如前面提到的模擬餅干制作時巧克力豆的添加過程，學生在模擬實驗的過程中會發現：每次得到的結果可能都不相同，有時可能只需要60顆，而有時可能需要90顆，但重復足夠多次模擬實驗后就能找到“典型”的結果．也就是說，在對總體情況不清楚的前提下，可以通過抽樣得到一些數據，根據數據的比例或者其他信息來推斷總體的真實情況．類似這樣的案例和統計推斷的過程有利于學生更好地體會數據的隨機性，能夠真正體現統計的基本思想，為中國教材的編寫提供了很好的啟示．

3.5 重視統計與現實的聯系及應用

數學應用意識是一種用數學的眼光、從數學的角度觀察、分析周圍生活中的問題并積極尋求問題解決的心理傾向和思維反應[13]．統計教學的最終目的是培養學生良好的統計意識，在日常生活和社會實踐中能夠主動地從統計的角度發現問題、提出問題，利用統計的方法解決實際問題[14]．中國教材的統計內容過多關注學生的個人生活，大部分內容都是圍繞學生的校園生活和家庭生活，如班級同學的成績、身高、體重、視力、校足球隊的年齡、教室衛生、學生鞋號、家庭支出、家庭用電用水量、做家務活情況等；而CM教材貼近學生現實，更加注重統計內容與現實的聯系，如模擬餅干制作、花生醬的價格和質量、估計鹿群的數量、考古之謎、人類發展指數和預期壽命等．建議進一步加強中國教材統計內容背景的多樣化，借鑒CM教材中與學生生活、生態學、考古學及測量、生命科學等諸多方面相關的背景與素材，使學生感受統計與生活、社會、科技文化等的密切聯系，在更廣闊的知識面上獲得對數學的認識，有助于學生在一個綜合知識背景下形成良好的數學素養[15]．

另外，在習題與現實的聯系及應用方面，中國北師大版教材“問題解決”、“聯系拓廣”習題數量共有34道，占全部習題數量的39%；人教版教材“綜合運用”、“拓廣探索”習題數量共有30道，占全部習題數量的56%；而CM教材探究內容后的習題分為“應用”、“聯系”、“拓廣”3種類型，其中僅“應用”、“聯系”兩類習題數量就有267道，占全部習題數量的87%，內容涉及現實生活的方方面面，充分體現統計與現實的聯系及應用的廣泛性．習題作為數學教材的一個重要組成部分，對具體的數學教學實踐產生了不可忽視的影響[16～19]．因此，建議中國教材借鑒CM教材的方式，適當提高聯系實際與應用類習題所占的比例，充分激發學生學習統計的興趣，幫助他們提高運用統計解決現實生活及其它學科問題的能力．

由于統計進入中國中小學數學課程相對較晚，與傳統的數學內容相比，已有的教材內容編寫和相關的經驗基礎也比較薄弱，學習借鑒CM教材統計內容編寫的先進思想與經驗，有助于提高中國數學教材統計內容的質量與水平，積累統計教學的相關案例和素材，促進統計教學的發展．

[1] 中華人民共和國教育部．全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M]．北京：北京師范大學出版社，2001．

[2] 中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[3] 曹一鳴．十三國數學課程標準評介[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[4] 寧連華．數學探究學習研究的特點及其思考[J]．數學教育學報，2005，14（4）：28-30．

[5] 張丹，呂建生，張春莉．統計觀念的發展和培養[J]．數學教育學報，2002，11（2）：61-63．

[6] 李紅梅．數據分析觀念的認識及調查分析——以七年級為例[J]．數學教育學報，2014，23（4）：78-82．

[7] 康玥媛，曹一鳴．中英美小學初中數學課程標準中內容分布的比較研究[J]．課程?教材?教法，2013，（4）：118-122．

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[11] 張丹．學生數據分析觀念發展水平的研究反思[J]．數學教育學報，2010，19（1）：60-64．

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[17] 吳立寶．中澳數學教科書書習題比較研究[J]．數學教育學報，2013，22（2）：58-61．

[18] 王光明，宋金錦，佘文娟，等．建立中學數學英才教育的數學課程系統——2014年中學英才教育數學課程研討會議綜述[J]．課程·教材·教法，2014，（5）：122-125．

[19] 呂世虎，曹春燕，葉蓓蓓．數學教育學學科建設三十年：回顧與反思[J]．當代教育與文化，2014，（5）：55-59．

Characteristics and Enlightenment of Statistical Contents of Connected Mathematics Textbook in America

WANG Jian-bo1,2
(1. School of Mathematical Science, Beijing Normal University, Beijing 100875, China; 2. Beijing Normal University Publishing Group, Beijing 100875, China)

The education system of junior high school is three years from grade 6 to grade 8 in America. The Pearson group published a set of mathematics textbooks named Connected Mathematics 2 in 2009, which has great influence in America, the statistical content is very unique. The paper studies the statistical contents layout and presentation, analyzes characteristics of the statistical contents, and get some enlightenment: increase the proportion of statistical content appropriately; emphasize exploration; highlight the core concepts and methods; experience randomness from data; pay attention to the connection and application.

America; mathematics textbooks; statistical contents; characteristics; enlightenment

G40-059.3

：A

：1004–9894（2015）02–0030–05

[責任編校：周學智]

2014–11–24

國家社會科學基金“十二五”規劃2012年度教育學重點課題——中小學理科教材國際比較研究（初中數學）（AHA120008）

王建波（1976—），男，江西吉安人，副編審，博士生，主要從事數學教材研究．