初等數學新體系的教學實驗調查與分析

李蘋芳，朱華偉

（1．廣州大學 附屬中學，廣東 廣州 510006；2．廣州市教育研究院，廣東 廣州 510030）

初等數學新體系的教學實驗調查與分析

李蘋芳1，朱華偉2

（1．廣州大學 附屬中學，廣東 廣州 510006；2．廣州市教育研究院，廣東 廣州 510030）

張景中院士結合自身多年的教學實踐和科研探索提出了初等數學新體系，廣州市海珠實驗中學的“院士數學教育創新實驗班”在張景中團隊的指導下認真實施初等數學新體系與現有初中數學體系的整合教學．課題組對此次教學實驗進行了跟進與調查分析，調查結果表明學生可以較好地掌握初等數學新體系中正弦新定義以及正弦的基本性質等知識．

初等數學新體系；正弦新定義；整合教學

1 引 言

張景中院士結合自身多年的教學實踐和科研探索提出了初等數學新體系，它涵蓋了大部分現在初中數學教材中的內容．張院士給正弦以新的定義，將許多有關三角函數的知識下放到初中階段，讓三角函數成為解決幾何問題的有力工具，同時又為代數變換提供天然的訓練平臺．在張景中院士的“三角下放，全局皆活——初中數學課程結構性改革的一個建議”一文中，比較詳細地介紹了適用于初中數學教學的新邏輯體系[1]．

近年來，北京、寧波、邛崍、上海、臺北等市已經陸續展開了有關初等數學新體系的教學實踐[2～4]．2012年6月24日“院士數學教育創新實驗班”（以下簡稱實驗班）在廣州市海珠實驗中學正式成立，該班在張景中團隊的指導下，以《一線串通的初等數學》[5]為教材參考，認真實施初等數學新體系與現有初中數學體系的整合教學．課題組對此次教學實驗進行了跟進，并從兩個方面進行調查分析：一是從教師角度深入了解該班學生對初等數學新體系的接受情況，還有教師本身對初等數學新體系的學習情況及評價建議；二是從學生角度了解學生對初等數學新體系的學習情況及評價建議．

2 研究過程

2.1 調查對象

調查對象為廣州市海珠實驗中學“院士數學教育創新實驗班”的53名7年級學生和該實驗班的數學教師兼班主任張老師．

2.2 調查工具和方法

采用自編“初等數學新體系實施狀況調查教師訪談提綱”、“初等數學新體系實施狀況調查學生問卷”和“正弦新定義及性質的水平測試題”．對教師的調查主要包括實驗班的基本情況、初等數學新體系的教學現狀及今后的教學計劃、學生對新體系的接受情況、教師對新體系的評價及建議等．對學生的調查問卷共5個單選題，主要反映學生對新體系的評價情況．問卷共發放53份，回收53份，回收率100%，其中52份為有效問卷，有效率為98.11%．水平測試題共8題，包括4個單選題，2個填空題，2個解答題，總計100分．測試時間40分鐘．測試卷共發放53份，回收53份，回收率100%[6～7]．

2.3 調查過程

課題組教師與張老師進行了多次交流，并根據張老師對實驗班的情況介紹，有針對性地編制了調查問卷及測試題．在實驗班的某次班會課上，研究者首先說明問卷調查的目的及問卷作答的注意事項，再將調查問卷集體發放，然后統一回收，學生大約在10分鐘內完成問卷．當實驗班學習完“正弦新定義及性質”的內容后，在班主任張老師的幫助下，先向學生說明測試題的大致結構和答題時的注意事項等，接著向學生發放測試題，測試時間40分鐘．

3 研究結果與分析

3.1 從教師角度評價初等數學新體系的實施情況

張老師從現有的教學進度和今后的教學計劃兩方面談了初等數學新體系在實驗班實施的基本情況，并且從自身角度評價了初等數學新體系的內容和自己遇到的困難，同時介紹了實驗班學生學習初等數學新體系的效果及體會[8]．

3.1.1 教學實驗實施的基本情況

據張老師介紹，實驗班在學習完七年級上冊所有內容后補充了初等數學新體系中的“關于三角形面積公式的思考”，其中涉及的內容有：共高定理、共邊定理、平行線面積判定法、共角定理及平行線的面積性質等．因為這些內容需要的預備知識在小學階段學生已經學過，而且當學生學完七年級上冊這本書后，基本上已經適應了初中階段的學習方式，所以選擇此時間段補充初等數學新體系的知識．

進入七年級下學期以來，實驗班對現有人教版初中數學七年級下冊的“相交線與平行線”和“三角形”的內容與初等數學新體系中的“三角形內角和與平行線”進行了整合教學．整合教學之后，實驗班又補充了“正弦定義與性質”的內容．接下來，實驗班計劃繼續補充初等數學新體系中“直角三角形銳角的正弦”、“正弦定理”和“正弦增減性”等內容．

有關實驗班學習初等數學新體系內容的進度及教學設計等問題，張老師一直都在與張景中團隊進行聯系和溝通，并且以《一線串通的初等數學》為教材參考，進行整合教學．

3.1.2 教師對初等數學新體系的理解

張老師在進行初等數學新體系教學之前，已經深入學習了《一線串通的初等數學》，并且多次向張景中院士請教自己遇到的有關新體系中的教學問題．她遇到的問題諸如有：在具體的哪一章節（人教版初中數學教材）更適合加入新體系的內容？新增的初等數學新體系內容，如何更好地與已學的數學知識相聯系？當然，最大的困難就是她對超級畫板的不熟練，以至于不能更形象生動地展現初等數學新體系中某些知識的形成過程給學生，從而影響了啟發學生觀察和思考的效果．

張老師對初等數學新體系中的“正弦新定義”給予了肯定，同時也贊揚了新體系內容的連貫性和整體性．她覺得面積定義正弦比現有人教版九年級教材中的正弦定義更生動形象，更易于讓學生理解正弦的本質，更容易與高中的正弦性質相聯系．同時，她認為教學中結合新體系所涉及的內容與方法，更能夠促進教學．比如平行線的知識，用新體系的方法，從三角形內角和出發，引導學生探究平行公理、平行線的概念、性質、判定等，學生們學起來更容易，對概念的理解更深刻，她的講解也更輕松、更生動．

當然，張老師對新體系本身和新體系的實施情況也給出了一些建議．她認為新體系中有部分內容偏難且初中階段教學大綱不作要求，故不宜整合進入現有初中數學教材．比如：正切、余切以及有關圓的一些定理等．另外，張老師希望能夠有更多關于初等數學新體系的教師學習與培訓機會，同時也期望增加有關超級畫板的教師培訓[9]．

3.1.3 教師對實驗班學生學習初等數學新體系的評價

據張老師介紹，實驗班的教學進度與學校同年級的其他班基本保持一樣．從學校平時統一測試的成績來看，實驗班已經明顯優于其他班．從有關初等數學新體系內容的測試來看，張老師認為學生都基本掌握了其中的概念和定義，大部分同學能熟練應用初等數學新體系中的知識解決相應的數學問題．在張老師與實驗班學生的交流中，大部分學生覺得新體系中的概念新穎而有趣，推理過程簡單而自然，大家對學習初等數學新體系內容的興趣較高．

張老師認為，在計算能力的要求方面，從整體上看，初等數學新體系要高于現有人教版初中數學教材，這會給學生補充學習初等數學新體系的知識帶來一定困難．但是由于現在補充的初等數學新體系知識中所涉及的計算都是較簡單的乘法和比值運算，因此學生現有的計算能力完全能夠達到學習初等數學新體系知識的要求．后期的整合教學需要先加強學生計算能力的培養．

另外，張老師還認為整合學習新體系的內容更有助于學生學好現有人教版初中數學教材中的內容．比如：相交線與平行線一節，結合新體系中所提出的“從三角形內角和出發探究平行線的定義、性質、判定及平行公理”，學生們對相應人教版的“相交線與平行線”及“三角形”知識的理解更加透徹了．

3.2 從學生角度評價初等數學新體系的實施情況

學生是學習初等數學新體系的主體，他們能否接受初等數學新體系的內容？是否對初等數學新體系感興趣？他們對初等數學新體系內容的學習情況如何？這些問題都是評價初等數學新體系實施情況的關鍵因素．

3.2.1 問卷調查

此份問卷共5個單選題，主要反映學生對初等數學新體系的評價情況．

（1）對于平行線的內容，你覺得初等數學新體系與現有人教版初中數學教材相比，哪個更容易理解？（統計結果見圖1）

圖1 問題1的統計結果

由圖1得知，有68%的學生認為初等數學新體系中平行線的內容更容易理解，14%的學生認為理解兩者在有關平行線的內容上差別并不大，18%的學生認為現有人教版初中數學教材中平行線的內容更容易理解．這表明了大部分學生認為初等數學新體系中有關平行線這節的內容更容易理解．同時也說明了初等數學新體系中有關平行線的內容能促進學生更好地學習人教版初中數學教材中有關平行線的定義、判定及性質．

（2）你覺得初等數學新體系中“正弦定義及性質”一節內容的難易程度如何？（統計結果見圖2）

圖2 問題2的統計結果

由圖2得知，有64%的學生認為此節內容難度適中，36%的學生認為此節內容較容易，沒有學生認為初等數學新體系中的“正弦定義及性質”難學．這說明了大部分學生可以理解此節課學習的內容．即，七年級的學生基本可以接受“正弦定義及性質”這一節內容的學習．

（3）你覺得初等數學新體系的內容對你學習現有人教版初中數學教材中的內容有什么影響？（統計結果見圖3）

圖3 問題3的統計結果

由圖3得知，有77%的學生認為學習初等數學新體系的內容有助于學習現有人教版初中數學教材的內容，有14%的學生認為初等數學新體系的內容并沒有對現有人教版初中數學教材內容的學習產生影響，另外還有9%的學生認為初等數學新體系的內容會妨礙自己對現有數學教材內容的學習．這表明了大部分學生認為學習初等數學新體系的內容可以有效促進學習現有初中數學教材的內容．

（4）補充的初等數學新體系的內容對你們數學學習負擔有什么影響？（統計結果見圖4）

圖4 問題4的統計結果

由圖4得知，有20%的學生認為初等數學新體系內容的補充減輕了他們的學習負擔，有57%的學生認為初等數學新體系內容的補充并沒有增加他們的數學學習負擔，有23%的學生認為初等數學新體系內容的補充加重了他們的數學學習負擔．這表明了大部分學生認為新增加的初等數學新體系內容并不影響他們的數學學習負擔，這是因為新體系的主旨是把數學變得更容易，所以即使是新增加學習內容，也不會增加學生的數學學習負擔．

（5）你喜歡學習新體系的內容嗎？（統計結果見圖5）

圖5 問題5的統計結果

由圖5得知，有77%的學生表示喜歡學習初等數學新體系的知識，有23%的學生對學習初等數學新體系的知識既不喜歡也不討厭，沒有學生討厭學習初等數學新體系的內容．這表明了初等數學新體系得到了學生們的認可．

3.2.2 水平測試

課題組針對實驗班剛學習過的“正弦定義及性質”一節編制了一份測試卷，用來檢驗學生對這部分內容的掌握情況．

（1）對第1、2、3、4題的分析．

第3題：在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，下面表示△ABC面積的公式中哪個是正確的？

此題考察了學生對計算三角形面積新公式的理解，難度適中．關鍵在于考察學生是否理解了“已知兩邊和夾角的三角形面積公式”中的“兩邊”是指相鄰的兩邊，“夾角”是指兩相鄰邊的夾角．若已知三角形的3邊及3個角，則有3個不同的計算三角形面積的新公式．從圖6得知，大部分學生已經掌握了這一知識．

第4題：如下圖所示，請比較△AOD與△COB的面積大小（ ）．

A. SΔAOD＞SΔCOB；B. SΔAOD=SΔCOB；

C. SΔAOD＜SΔCOB；D. 無法確定

此題考察了學生對計算三角形面積新公式的運用及互補角正弦相等的知識的理解及運用，難度較大．解答此題時，還需要用到同一個圓的半徑相等的知識以及圓周角為360°的知識．題中要比較大小的兩個三角形雖然形狀不同，但是各有兩條邊對應相等，且對應相等的這兩組邊所夾的角互補，因此，利用新學習的“已知兩邊和夾角的三角形面積公式”及“互補角正弦值相等”的基本性質便可得到兩個三角形的面積相等．從圖6得知，78%的學生已經能熟練運用所學的知識解決數學難題了．

圖6 第1～4題的正確率統計圖

（2）對第5、6題的分析．

第5題：請寫出正弦的定義．此題考察了學生對概念的理解及表述能力，較為容易．從回收的試卷得知，全部學生都可以將正弦定義完整表述出來．這說明學生已掌握了正弦的定義，同時也反映了正弦新定義易于學生理解．

（3）對第7、8題的分析．

第7題：已知三角形的兩條邊長分別為8 cm和10 cm，這兩條邊的夾角為30°，求這個三角形的面積．（sin30°=1/2）．此題考察了學生對計算三角形面積新公式的運用，難度較低．從回收的試卷得知，93%的學生答對了這道題．這說明了學生已經基本掌握了“已知兩邊和夾角的三角形面積公式”的簡單運用．

4 結 論

調查分析表明，教師和大部分學生對初等數學新體系的整合教學給予了肯定．

首先，教師一直在張景中院士的指導下認真實施初等數學新體系的整合教學，并且所教的實驗班成績領先于同年級的其他班．教師認為補充初等數學新體系的知識有助于學生學習現有初中數學教材中的內容，并且可以使一些數學內容更簡單更有趣．

其次，從發放給學生的問卷調查結果得知，大部分學生能從心理上和學習上接受初等數學新體系的內容，并且認為初等數學新體系把現有初中數學的部分內容變得更容易了，補充的初等數學新體系的知識不僅沒有增加他們的數學學習負擔，反而對他們學習現有初中數學教材中的部分內容起到了促進作用，在一定程度上減少了他們的數學學習負擔．從學生的測試反饋情況可知，大部分學生已經基本掌握了初等數學新體系中計算三角形面積的新公式、正弦新定義以及正弦的基本性質等知識．

最后需要說明的是，初等數學新體系的實施才是起步階段，有關它的經驗介紹和培訓項目相對較少，這在一定程度上給了實施者很大挑戰，在探索前進的道路上，難免會出現種種問題，給初等數學新體系的整合教學帶去困難．雖然這次調查中教師和學生對現階段初等數學新體系的教學給予了肯定，但是后續需要整合的內容還有很多，還需要專家、教師和學生們的進一步努力，才能將初等數學新體系的整合教學做得更好，才能將初等數學新體系的優越性體現得更全面[10]．

[1] 張景中．重建三角，全局皆活——初中數學課程結構性改革的一個建議[J]．數學教學，2006，（10）：1-4．

[2] 崔雪芳．用“菱形面積”定義正弦的一次教學探究[J]．數學教學，2008，（11）：40-43．

[3] 王文?。咧须A段“用面積定義正弦”教學初探[D]．華東師范大學，2008．

[4] 楊姍．初中數學課程結構性改革的可行性研究[D]．廣州大學，2011．

[5] 張景中．走進教育數學：一線串通的初等數學[M]．北京：科學出版社，2009．

[6] 周仕榮，唐振松．新課程理念下初中生數學學習情況的調查與分析[J]．數學教育學報，2003，12（4）：24-26．

[7] 呂世虎，郭秀娟．甘肅省義務教育階段7～9年級數學新課程實施現狀調查——從教師視角的研究[J]．數學教育學報，2008，17（5）：31-35．

[8] ?；莘?，王淑玉．教學效果評價方法研究[J]．數學教育學報，2010，19（2）：89．

[9] 呂國良．新課程實施中數學教師面臨的現實性挑戰[J]．數學教育學報，2005，14（2）：41-43．

[10] 景敏，謝慧．影響初中數學教師實施新課程的歸因分析[J]．數學教育學報，2005，14（2）：64-65．

Investigation and Analysis on Experimental of the New System of Elementary Mathematics

LI Ping-fang1, ZHU Hua-wei2
(1. The High School Affiliated to Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China; 2. Guangzhou Institute of Educational Research, Guangdong Guangzhou 510030, China)

Based on years of teaching practice and a considerable number of researches, Prof. Zhang Jingzhong has put forward the new system of elementary mathematics. Under the guidance of Zhang Jingzhong team, the innovation experimental class in Haizhu Experimental School has implemented the integration teaching of the new system of elementary mathematics and the existing junior high school mathematics system. We have found that students can better master the basic properties and the new definition of sine in the new system of elementary mathematics through further investigating and analyzing the teaching practice.

new system of elementary mathematics; new definition of sine; integration of teaching

G420

：A

：1004–9894（2015）02–0026–04

[責任編校：周學智]

2014–12–06

：廣東省教育科學“十二五”規劃課題強師工程重點項目——教育數學創新教學實驗——以初中數學為例（2014ZQJK001）

：李蘋芳（1986—），女，廣西桂林人，碩士研究生，主要從事數學教育與數學奧林匹克研究．