整體建構(gòu)分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)行動(dòng)研究

張 丹，孫京紅

（1．東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長(zhǎng)春 130024；2．北京教育科學(xué)研究院 基礎(chǔ)教育教學(xué)研究中心，北京 100191；3．海淀教師進(jìn)修學(xué)校 小學(xué)數(shù)學(xué)教研室，北京 100195）

整體建構(gòu)分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)行動(dòng)研究

張 丹1，2，孫京紅3

（1．東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長(zhǎng)春 130024；2．北京教育科學(xué)研究院 基礎(chǔ)教育教學(xué)研究中心，北京 100191；3．海淀教師進(jìn)修學(xué)校 小學(xué)數(shù)學(xué)教研室，北京 100195）

學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)意義的理解需要經(jīng)歷長(zhǎng)期的過程，教學(xué)中應(yīng)設(shè)計(jì)系列活動(dòng)幫助學(xué)生整體建構(gòu)分?jǐn)?shù)的意義．從“比、測(cè)量、運(yùn)算和商”4個(gè)方面設(shè)計(jì)了五年級(jí)分?jǐn)?shù)單元的6節(jié)課，共同承擔(dān)了對(duì)于分?jǐn)?shù)意義多個(gè)方面的學(xué)習(xí)；同時(shí)，設(shè)計(jì)了挑戰(zhàn)性的、貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)歷程的素材，并鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用對(duì)于分?jǐn)?shù)多方面的理解來解決問題．通過實(shí)驗(yàn)班的前后測(cè)對(duì)比、實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班后測(cè)的對(duì)比，設(shè)計(jì)的6節(jié)課達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)，通過了實(shí)踐的檢驗(yàn)．

分?jǐn)?shù)意義；單元設(shè)計(jì)；行動(dòng)研究

小學(xué)階段對(duì)于分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)要跨越3年級(jí)到6年級(jí)，對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解顯性地編排為兩個(gè)階段，第一階段是分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)；第二階段是分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)（或稱之為分?jǐn)?shù)的意義）．學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解是如何逐步加深的？如何整體設(shè)計(jì)教學(xué)促使學(xué)生更好地建構(gòu)對(duì)于分?jǐn)?shù)的理解？這些都是需要認(rèn)真思考和實(shí)踐的問題．

1 研究的緣起

關(guān)于分?jǐn)?shù)的意義，實(shí)踐中出現(xiàn)了一個(gè)“有趣”的現(xiàn)象：教師們往往把此僅僅定位在五年級(jí)分?jǐn)?shù)單元的起始課；而且學(xué)生在這節(jié)課中幾乎看不到困惑，但在后面的分?jǐn)?shù)運(yùn)算、分?jǐn)?shù)解決實(shí)際問題時(shí)卻出現(xiàn)了比較大的困難．初想起來，學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義似乎并不難，不少教師認(rèn)為不就是分?jǐn)?shù)的定義嗎，即“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)”．但知道了這個(gè)定義，學(xué)生還是存在著不少的困惑．下面列舉兩例．

案例1 怎么會(huì)有假分?jǐn)?shù)的存在？

案例2 分?jǐn)?shù)是數(shù)嗎？

當(dāng)學(xué)生完成類似“1÷3”的題目時(shí)，都會(huì)盡量使用小數(shù)來表示結(jié)果，而不愿意使用分?jǐn)?shù)，即使結(jié)果為循環(huán)小數(shù)．研究者訪談了一些學(xué)生，他們的理由是“分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)嗎？能表示運(yùn)算結(jié)果嗎？”看來學(xué)生即使記住了定義，但對(duì)于定義中“表示……的數(shù)”并不關(guān)注．

許多有經(jīng)驗(yàn)的老師都提出要想幫助學(xué)生克服這些困難，關(guān)鍵還是要使他們真正理解分?jǐn)?shù)的意義．有關(guān)研究也表明了中國(guó)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)運(yùn)算等的規(guī)則較為熟悉，而對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解還較為生疏[1～2]．總之，關(guān)于分?jǐn)?shù)的意義學(xué)生到底要理解什么？設(shè)計(jì)什么樣的系列活動(dòng)能夠促進(jìn)學(xué)生的理解？這構(gòu)成了研究所關(guān)注的問題．

2 整體把握分?jǐn)?shù)的意義

有學(xué)者認(rèn)為造成分?jǐn)?shù)理解困難的主要原因是分?jǐn)?shù)概念包括了多重意義[3]．史寧中提出理解分?jǐn)?shù)意義的兩個(gè)基本方面[4]：“就整個(gè)中小學(xué)數(shù)學(xué)來說，分?jǐn)?shù)主要有兩個(gè)作用：一個(gè)是作為有理數(shù)出現(xiàn)的一種數(shù)，它能和其它的數(shù)一樣參與運(yùn)算；另一個(gè)是以比的形式出現(xiàn)的數(shù)．而后者是小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)的重點(diǎn)．因此，最重要的分?jǐn)?shù)應(yīng)該是真分?jǐn)?shù)，它代表一個(gè)事物或一個(gè)整體的一部分，其本質(zhì)在于它的無(wú)量綱性．”Kieren的研究提出分?jǐn)?shù)的5個(gè)構(gòu)想（subconstructs）[5]，即部分/整體、比率、商、度量和運(yùn)算，這5個(gè)構(gòu)想不但彼此互相關(guān)聯(lián)，而且還可以從不同的觀點(diǎn)來解釋分?jǐn)?shù)的意義．Dckson、Brown和Gibson對(duì)分?jǐn)?shù)的研究也有相同的看法．他們認(rèn)為分?jǐn)?shù)概念應(yīng)該用5種形式表達(dá)[6]：部分/整體、子集/集合、在數(shù)軸上兩個(gè)整數(shù)間的一點(diǎn)、除法運(yùn)算的結(jié)果、兩個(gè)量的比．研究?jī)A向于從4個(gè)方面來完成對(duì)分?jǐn)?shù)意義豐富性的認(rèn)識(shí)，即比、測(cè)量、運(yùn)算和商．

“比”是指部分與整體的關(guān)系和兩個(gè)量之間的（比的）關(guān)系．那么對(duì)于“比”方面的認(rèn)識(shí)，從第一學(xué)段到第二學(xué)段有哪些進(jìn)步呢？

第一，從“數(shù)量比”到“份數(shù)比”．請(qǐng)看下面的例子．

圖1 用分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系

“商”主要是指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運(yùn)算的結(jié)果，它使學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)由“過程”凝聚到“對(duì)象”，即分?jǐn)?shù)也是一個(gè)數(shù)，也可以和其它數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算．

以上4個(gè)方面相輔相成，共同承擔(dān)著學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)意義豐富性的認(rèn)識(shí)．“就有理數(shù)的理解而言，不能停留于某種特定的解釋，也不能將所說的各種解釋看成互不相關(guān)、彼此獨(dú)立的；恰恰相反，只有將有理數(shù)的各種解釋（或者說，相應(yīng)的心里建構(gòu)）很好地聯(lián)系起來才能達(dá)到真正的理解”[10]．

3 分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計(jì)

整體設(shè)計(jì)的一個(gè)重要任務(wù)是“設(shè)計(jì)出系列學(xué)習(xí)活動(dòng)”[11]．由上面的分析不難看出，學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)絕不僅僅停留在五年級(jí)的起始課，因此，研究整體設(shè)計(jì)了五年級(jí)的6節(jié)新授課，共同承擔(dān)了對(duì)于分?jǐn)?shù)意義多個(gè)方面的學(xué)習(xí)（需要說明的是，在這6節(jié)新授課期間，3所學(xué)校還根據(jù)不同學(xué)校學(xué)生的實(shí)際情況，安排了2～3節(jié)的練習(xí)課）．

3.1 設(shè)計(jì)系列課體現(xiàn)分?jǐn)?shù)理解的多個(gè)方面

第一節(jié)課：分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)（一）．這節(jié)課的定位是進(jìn)一步體會(huì)部分和整體的關(guān)系，從分?jǐn)?shù)的“數(shù)量比”過渡到“份數(shù)比”，這是上文提到的分?jǐn)?shù)“比”方面第二學(xué)段比第一學(xué)段的一個(gè)進(jìn)步．

第二節(jié)課：分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)（二）．側(cè)重分?jǐn)?shù)的“測(cè)量”理解．首先，從測(cè)量的角度體會(huì)分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生，在此基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位，將分?jǐn)?shù)看成分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果，體會(huì)分?jǐn)?shù)單位的作用．最后將分?jǐn)?shù)單位與以前學(xué)習(xí)的長(zhǎng)度單位進(jìn)行聯(lián)系，體會(huì)“單位”的意義．相對(duì)以往教學(xué)，這節(jié)課將分?jǐn)?shù)單位的學(xué)習(xí)大大豐富，擴(kuò)展成為了一節(jié)課．

第三節(jié)課：分餅．用分?jǐn)?shù)表示分得的結(jié)果，解決例如“3張餅（或9張餅）平均分給4位小朋友，每位小朋友分到多少?gòu)堬灐保诖诉^程中，也將了解真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)．這節(jié)課還涉及了將關(guān)系與具體數(shù)量聯(lián)系在一起的題目，比如“3張餅（或9張餅）平均分給4位小朋友，每位小朋友分到多少?gòu)堬灒棵咳朔值玫娘炚妓酗灥膸追种畮祝俊保畬?duì)于此問題是否應(yīng)該作為五年級(jí)學(xué)生必須學(xué)習(xí)的內(nèi)容，研究者持保留態(tài)度，但由于此內(nèi)容經(jīng)常作為考試要求，因此在這次研究中也包括了．

第四節(jié)課，分?jǐn)?shù)與除法．從“運(yùn)算”和“商”的角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，體會(huì)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系．既認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)可以表示運(yùn)算的過程，同時(shí)又是運(yùn)算的結(jié)果．在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系進(jìn)行帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的相互轉(zhuǎn)換．

第五節(jié)課，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)．在分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的探索和驗(yàn)證中，運(yùn)用了前面學(xué)習(xí)的對(duì)于分?jǐn)?shù)理解的不同方面（或者從圖中部分與整體的關(guān)系中直接看出；或者利用商不變的規(guī)律），再次加深對(duì)于分?jǐn)?shù)意義“比”的理解．

第六節(jié)課，兩個(gè)量之間的關(guān)系．分?jǐn)?shù)的一個(gè)重要作用是刻畫兩個(gè)量之間的（整比例）關(guān)系，這也是解決實(shí)際問題的重要基礎(chǔ)．而前面幾節(jié)課的重點(diǎn)都是刻畫部分與整體的關(guān)系，所以特別增加了這節(jié)課，使學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)“比”的方面的理解更加全面，也豐富了學(xué)生刻畫兩個(gè)量之間關(guān)系的角度和方法．同時(shí)，和第五節(jié)課一樣，在刻畫（整比例）關(guān)系的過程中，學(xué)生將再次運(yùn)用對(duì)于分?jǐn)?shù)理解的不同方面．

實(shí)際上，雖然這6節(jié)課在定位上互有側(cè)重，但它們之間互相補(bǔ)充和促進(jìn)，共同支撐了對(duì)于分?jǐn)?shù)“比、測(cè)量、運(yùn)算、商”等方面的豐富理解．

教學(xué)設(shè)計(jì)的合理性，最重要的依據(jù)是學(xué)生的學(xué)習(xí)效果．研究者選擇了北京市海淀區(qū)3所不同特點(diǎn)的學(xué)校（2所市區(qū)校、1所農(nóng)村校；整體學(xué)習(xí)水平分別為優(yōu)秀、中等和偏弱）實(shí)施了上述6節(jié)課，在每所學(xué)校選擇了實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班．3所學(xué)校實(shí)驗(yàn)班的人數(shù)分別為36、34、24人；對(duì)照班的人數(shù)分別為35、35、25人．實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)均等于或略低于對(duì)比班的基礎(chǔ)，實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班教師的水平基本相當(dāng)．關(guān)于這6節(jié)課學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，見下面的第四個(gè)問題．

3.2 設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性的貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)歷程的素材

如前所述，分?jǐn)?shù)意義學(xué)習(xí)的首要定位是使進(jìn)一步體會(huì)部分和整體的關(guān)系，從分?jǐn)?shù)的“數(shù)量比”過渡到“份數(shù)比”．通過對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)之前的前測(cè)（見表1），研究者發(fā)現(xiàn)對(duì)于圖形擺放整齊、份數(shù)比較明顯的情況（如圖1-2），實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班在數(shù)量角度和份數(shù)角度方面進(jìn)行刻畫都表現(xiàn)得不錯(cuò)．相比之下，似乎數(shù)量角度的情況稍微弱一些，分析錯(cuò)誤原因，絕大多數(shù)都是因?yàn)閷W(xué)生數(shù)錯(cuò)個(gè)數(shù)，并不是學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)不理解而造成的．另外，從前測(cè)數(shù)據(jù)來看，實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班對(duì)于分?jǐn)?shù)的理解水平相當(dāng)，對(duì)照班略強(qiáng)于實(shí)驗(yàn)班，表示了他們分別的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)．

表1 實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班在分?jǐn)?shù)表示部分與整體關(guān)系方面的得分率

表2 挑戰(zhàn)性的貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)歷程的素材

下面以一位同學(xué)（學(xué)生A）的課堂作答為例，說明學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程（主要呈現(xiàn)的是分8塊糖、6塊糖、3塊糖的情況）．開始時(shí)，該同學(xué)面對(duì)每人分得的塊數(shù)是2塊的情形，運(yùn)用了“數(shù)量比”進(jìn)行表示；而分得的塊數(shù)不是整數(shù)的情況，不知如何表示每人分得的占總數(shù)的幾分之幾（見圖2）．

圖2 學(xué)生A開始的回答

然后，教師鼓勵(lì)同學(xué)在自己的任務(wù)單上，嘗試圈畫4個(gè)人每人分得的塊數(shù)．圖3呈現(xiàn)的是這位同學(xué)圈畫的情況．

圖3 學(xué)生A的圈畫情況

這位學(xué)生雖然沒有給出標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)定義，但豐富的語(yǔ)言表達(dá)了學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的真正理解，這也代表了他自己建立的“概念圖像”．

這一學(xué)習(xí)素材不僅僅用在了起始課的學(xué)習(xí)中，而且貫穿于后續(xù)的“用分?jǐn)?shù)表達(dá)結(jié)果”、“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”、“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”及練習(xí)課的教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于此學(xué)習(xí)素材進(jìn)行了不斷深入、多角度的思考．

圖4 學(xué)生A對(duì)于分?jǐn)?shù)的理解

3.3 鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用對(duì)于分?jǐn)?shù)多方面的理解來解決問題

在分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的探索和驗(yàn)證中，運(yùn)用了前面學(xué)習(xí)的對(duì)于分?jǐn)?shù)理解的不同方面，再次加深對(duì)于分?jǐn)?shù)意義的理解．這一點(diǎn)也是與以往教學(xué)不同的地方．以往教學(xué)，大多把重點(diǎn)放在了通過例子歸納規(guī)律——表達(dá)規(guī)律上，對(duì)于解釋為什么一組分?jǐn)?shù)相等采取了比較單一的方式（或者從圖中部分與整體的關(guān)系中直接看出；或者利用商不變的規(guī)律）．而這節(jié)課則鼓勵(lì)學(xué)生調(diào)動(dòng)所有對(duì)于分?jǐn)?shù)的理解來驗(yàn)證分?jǐn)?shù)相等，在交流中不同的理解角度正是對(duì)于分?jǐn)?shù)多方面意義的再次體會(huì)．類似的，在分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、運(yùn)用分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)量之間的關(guān)系中，學(xué)生都進(jìn)行了這方面的嘗試．

4 學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析

如前所述，選擇了實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班進(jìn)行了學(xué)生學(xué)習(xí)效果評(píng)價(jià)．通過實(shí)驗(yàn)班的前后測(cè)對(duì)比、實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班后測(cè)的對(duì)比，可以看到6節(jié)課達(dá)到了預(yù)期效果．學(xué)生對(duì)于復(fù)雜問題下分?jǐn)?shù)“份數(shù)比”的理解、運(yùn)用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果、分?jǐn)?shù)測(cè)量方面的理解、分?jǐn)?shù)刻畫兩個(gè)量之間的（整比例）關(guān)系的結(jié)果都明顯好于對(duì)照班．表3、表4分別是實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班在分?jǐn)?shù)測(cè)量方面的理解、分?jǐn)?shù)刻畫兩個(gè)量之間關(guān)系方面的表現(xiàn)．

表3 實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班在分?jǐn)?shù)測(cè)量方面的得分率

表4 實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班在分?jǐn)?shù)刻畫兩個(gè)量之間關(guān)系方面的得分率

從表3、表4中不難看出，實(shí)驗(yàn)班的得分情況明顯高于對(duì)照班，說明學(xué)生對(duì)于“分?jǐn)?shù)測(cè)量方面的理解”、“分?jǐn)?shù)刻畫兩個(gè)量之間關(guān)系”是需要經(jīng)歷專門的數(shù)學(xué)活動(dòng)的．下面，重點(diǎn)分析學(xué)生在“復(fù)雜問題下‘份數(shù)比’的理解”、“運(yùn)用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果”的學(xué)習(xí)效果，為此設(shè)計(jì)了如下的后測(cè)題目．

題目1 把3米彩帶平均分給4個(gè)小朋友．

（1）每個(gè)小朋友分到幾米？（請(qǐng)用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果）

（2）在下圖中表示出其中一個(gè)小朋友分得的結(jié)果．

（3）每人分得的長(zhǎng)度是這條彩帶的幾分之幾？

3米

題目2 把10塊巧克力平均分給3個(gè)小朋友．

（1）每個(gè)小朋友分幾塊？（請(qǐng)用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果）

（2）在下圖中表示出其中一個(gè)小朋友分得的塊數(shù)．

（3）每人分到的巧克力是10塊巧克力的幾分之幾？

10塊

從表5的數(shù)據(jù)中不難看出，實(shí)驗(yàn)班的情況要明顯好于對(duì)照班，說明整體教學(xué)設(shè)計(jì)起到了作用．特別是，實(shí)驗(yàn)班的教學(xué)反復(fù)利用了前文提到的挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)素材“分糖情境”；在每一次的討論中，不僅僅關(guān)注結(jié)果，而是再次鼓勵(lì)學(xué)生操作或畫圖，然后將畫圖與分?jǐn)?shù)表示聯(lián)系起來．而對(duì)照班只在第一次學(xué)習(xí)中，鼓勵(lì)學(xué)生充分經(jīng)歷操作或畫圖、并與分?jǐn)?shù)表示相聯(lián)系的過程．這一點(diǎn)從第（1）、（2）題的數(shù)據(jù)對(duì)比中也可以看出，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生畫圖的情況與分?jǐn)?shù)表示的情況基本一致；而對(duì)照班畫圖的情況明顯好于分?jǐn)?shù)表示，看來學(xué)生畫圖獲得答案相對(duì)比較容易，但不能將畫圖與分?jǐn)?shù)表示聯(lián)系起來．實(shí)踐表明，對(duì)于學(xué)生理解起來比較困難的內(nèi)容，適當(dāng)?shù)摹袄L(zhǎng)”過程是非常必要的．

表5 實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班在分?jǐn)?shù)表示分的結(jié)果及分?jǐn)?shù)表示部分與整體關(guān)系方面的得分率

再次觀察后測(cè)數(shù)據(jù)，無(wú)論是實(shí)驗(yàn)班還是對(duì)照班，學(xué)生的后測(cè)成績(jī)都不高，特別是分得的結(jié)果為假分?jǐn)?shù)的情況，看來學(xué)生理解此類問題還是比較困難的．這部分內(nèi)容是否應(yīng)作為每個(gè)人都應(yīng)該學(xué)會(huì)的內(nèi)容，還值得進(jìn)一步地思考與實(shí)踐．

通過學(xué)生學(xué)習(xí)效果的測(cè)試和分析，設(shè)計(jì)的6節(jié)課達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)，通過了實(shí)踐的初步檢驗(yàn)．進(jìn)一步，系列活動(dòng)設(shè)計(jì)的有效性還需要得到更多群體的檢驗(yàn)；對(duì)于分?jǐn)?shù)的“運(yùn)算”和“商”的理解還需要加強(qiáng)；學(xué)生個(gè)體對(duì)于分?jǐn)?shù)的理解歷程又是怎么樣的，需要更為精細(xì)的個(gè)案研究……這些都值得深入研究和實(shí)踐下去．

[1] 劉春暉，辛自強(qiáng)．五—八年級(jí)學(xué)生分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（5）：59–63．

[2] 蘇洪雨．七年級(jí)學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)情況的調(diào)查研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007，16（4）：48–51．

[3] Brousseau G, Brousseau N, Warfield V. Rationals and Decimals as Required in the School Curriculum. Part 1: Rationals as Measurements [J]. Journal of Mathematical Behavior, 2004, 23(1): 1–20．

[4] 史寧中，孔凡哲，楊樹春．從分?jǐn)?shù)的本質(zhì)看小學(xué)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)素養(yǎng)[J]．小學(xué)青年教師，2005，（1）：4–5．

[5] 劉儒德，楊伊生．兒童分?jǐn)?shù)概念發(fā)展研究綜述[J]．內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2008，（6）：130–134．

[6] 張睆，辛自強(qiáng)．分?jǐn)?shù)概念的個(gè)體建構(gòu)——起點(diǎn)與機(jī)制及影響因素[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（1）：29–32．

[7] 史寧中．基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M]．北京：高等教育出版社，2013．

[8] Stafylidou S, Vosniadou S. The Development of Students’ Understanding of the Numerical Value of Fractions [J]. Learning and Instruction, 2004, 14(5): 508–518.

[9] 倪玉菁．五、六年級(jí)小學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)的理解[J]．心理發(fā)展與教育，1999，（4）：26–30．

[10] 鄭毓信．國(guó)際視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教育[M]．北京：人民教育出版社，2004．

[11] 張丹．“整體把握小學(xué)數(shù)學(xué)課程”核心要素及其關(guān)系研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（8）：58–62．

Teaching Action Study of the Fraction Meaning in Overall Construction

ZHANG Dan1,2, SUN Jing-hong3
(1. Faculty of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China; 2. Research Centre of Education and Teaching in Basic Education, Beijing Academy of Educational Sciences, Beijing 100191, China; 3. Teaching and Research Section of Primary School Mathematics, Haidian Teachers Training College, Beijing 100195, China)

There needs a long term to learn the fraction meaning, and it requires to design a series of activities to help students with overall construction. This study designs 6 lessons of fraction Unit in grade 5 integrally in four aspects: ration, measure, operation and quotient, taking the multiple aspects of fraction meaning’s learning together. Meanwhile, we have designed some challenging material throughout the learning process, encouraged students to solve problems using different understanding of fraction. The 6 design lessons in the study have reached expectation through two contrast: the pretest-posttest contrast of experimental class and the posttest contrast between experimental class and control class, and then passed the test of practice.

fraction meaning; unit design; action study

G420

：A

：1004–9894（2015）02–0022–04

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2014–11–07

北京市中小學(xué)名師發(fā)展工程項(xiàng)目——基于小學(xué)生解決分?jǐn)?shù)實(shí)際問題思維過程的教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究

張丹（1972—），女，陜西西安人，北京教育科學(xué)研究院教授，東北師范大學(xué)博士生，主要從事數(shù)學(xué)課程和教師培訓(xùn)研究．